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1、实验实验11 11 多元函数极值与一元函数极值的比较多元函数极值与一元函数极值的比较 内容提要内容提要 本实验通过几个具体的例子，说明多元函数本实验通过几个具体的例子，说明多元函数极值中存在着一些与一元函数极值不同的现象，极值中存在着一些与一元函数极值不同的现象，并通过图形把这些现象显示出来，从而加深对它并通过图形把这些现象显示出来，从而加深对它们的理解。们的理解。 实验步骤实验步骤 1. 1. 方向导数方向导数 我们知道，对于二元函数若其偏导数连续，我们知道，对于二元函数若其偏导数连续，则它在任意方向上的方向导数都存在，但是若其则它在任意方向上的方向导数都存在，但是若其偏导数存在而不连续，则

2、它在某些方向上的方向偏导数存在而不连续，则它在某些方向上的方向导数就可能不存在，请看下面的例子。导数就可能不存在，请看下面的例子。多元函数极值与一元函数极值的比较多元函数极值与一元函数极值的比较 例例 1 1 （1 1证明：函数在原点处连续，而证明：函数在原点处连续，而且在原点处的偏导数且在原点处的偏导数fxfx和和fy fy 都存在即都存在即沿沿x x轴和轴和y y轴方向导数都存在），但原点处轴方向导数都存在），但原点处其他方向的方向导数都不存在；（其他方向的方向导数都不存在；（2 2利用利用计算机作出该函数在原点附近的图形，并计算机作出该函数在原点附近的图形，并从图上验证从图上验证1 1的

3、结论。的结论。多元函数极值与一元函数极值的比较多元函数极值与一元函数极值的比较 解：由于解：由于 是初等函数，其定义域为是初等函数，其定义域为R2R2，故函数在原点处连续，故函数在原点处连续， 而由于而由于 而而)23,2, 0(sincos0sincos)0 , 0()sin,cos(3332 ff上的方向导数不存在。，函数在其它方向时的极限不存在时，即sincos0),(yxf，故在原点处0, 0), 0(, 0)0 ,(yxffyfxf多元函数极值与一元函数极值的比较多元函数极值与一元函数极值的比较 下面我们作出函数的图形，由于下面我们作出函数的图形，由于MathematicaMathe

4、matica中中 在在x0 xNoneClipFill-None表示去掉因变量范围表示去掉因变量范围PlotRange-10,5PlotRange-10,5）后其范围以外部分图形，）后其范围以外部分图形，最后我们再改变视角作出图形，即键入：最后我们再改变视角作出图形，即键入： 运行后即得图运行后即得图1515c c）-202-4-202-10-505-10-505Plot3D g x, y ,x,3, 3 ,y,4, 2 , ViewPoint2.985, 1.462, 0.634 ,PlotRange10, 5 , PlotPoints40, ClipFillNone多元函数极值与一元函数极值的比较多元函数极值与一元函数极值的比较 从图上可以看出，尽管该函数在1，0处有极大值却是不存在的事实上 ）。这

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