第七讲：高阶偏导数极值题ppt课件

1、第七讲第七讲 高阶偏导数、极值高阶偏导数、极值1高阶偏导数的计算高阶偏导数的计算,ln zyxr ru222 例例1 (练习九练习九/一一(2) 设设求求 zzyyxxuuu 解解211rxrxrxrrux 21ryyrruy 21rzzrruz 42232221rxrrxrxruxx )(4222rzruzz 4222ryruyy 2422123rrrruuuzzyyxx 例例2 设设 , 求求 ),(xy yxfz2 yxz 2解解22122122fxyxyfxyfxyfxz )()()(22122fxyxxyfyyxz )()(xfxfyfxxfxfyfx1112222212212211

2、1 22312113221212fxyyfyfxfxxf 求求 例例3 (练习九练习九/二二) , ),( yx zy xyzfu2232 设设2Cf 且且 , zxu 2解解313122xfyzfxfyzfux )()(323323112111 fxyfxfxyfzfyuxz32312121121623xffyxyzffxzyyf 例例4 ),(yxzz 设设 由由 确定确定 , 求求 0 ),(yzxyf22xz 解解将方程两边对将方程两边对 x 求导求导 ( z 是是 x , y 的函数的函数 ) 有有021 xzyff21yffxz 两边再对两边再对 x 求导得求导得012221222

3、1211 )()(xzyffxzfxzyxzyff将将 代入解得代入解得 xz )()()(122122211122322221ffffffffyxz 例例5 证明证明: 当当 时时 , 方程方程 y xy ,022222222 yuyyxuxyxux可化为可化为 , 其中其中 u 具有连续的二阶偏导数具有连续的二阶偏导数 022 u解解把把,看作中间变量看作中间变量 uxyxuxuxu2 uuxyuyuyu1)( uxxyxu2221)(xuxuxuxy 2222312224232 uxyuxyyuyuyuyuxyu 222222221)(22222221 uuxux)(yuyuyuxyxu

4、 222221 uxyuxyux2222321代入原方程得代入原方程得: 0222 uy022 u 例例6在函数在函数 u = f(x , y) 中中 , 若令若令 , sincosry , rx 试证试证 : 22222222222ruryuyyxuxyxux 解解把把 x , y 看作中间变量看作中间变量yxuuryyurxxuru sincos)(sin)(cosyxururru 22)(sin)(cosryurxuryurxuyyyxxyxx yyxyxxuuu 222sincossincosyyxyxxurururrur2222222)sin(cossin)cos( yyxyxxuy

5、xyuux222 例例7 设设 , 求求 ),(yxf),(),( , 00223 yxyxxy),(),(000 yx , ),(, ),(0000yxxyf f解解当当 时时 ,0 ),(yx222223)()(),(yxxyyyxfx 2222223)()(),(yxyxxyyxfy 00000000 xfxffxx),(),(lim),(00000000 yfyffyy),(),(lim),(yfyffxxyxy ),(),(lim),(0000000110022230 yyyyy)()()(limxfxffyyxyx ),(),(lim),(00000000000 xxlim, yf

6、0 试证试证: 对任意的常数对任意的常数 c , f (x , y) = c 为一为一例例8在函数在函数 z = f (x , y) 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数 , 且且直线的充要条件是直线的充要条件是0222 yyxxyyxxxyfffffff)()(解解 “ ” 设设 f (x , y) = c 为一直线为一直线 , 则有则有dbyaxyxf ),(000 yyxyxxyxfffbfaf , , , , 0222 yyxxyyxxxyfffffff)()( “ ”只需证明由只需证明由 f (x , y) = c 确定的函数确定的函数 y = y(x)有有0 )( xy将将 f (

7、x , y) = c 两边对两边对 x 求导有求导有 0 dxdyffyx),(),( yxfyxfdxdyyx 222)()()( yyxyxffdxdfffdxddxyd 2)()()( yyyyxxxyxxyfdxdyfffdxdyfff 2)()()( yyyyxxxyxxyfdxdyfffdxdyfff 021223 )()()( yyxxyyxxxyyffffffff y = y(x) 是线性函数是线性函数 f (x , y) = c 为一直线为一直线 2极值极值 、最值、最值1、局部极值、局部极值 例例9 (练习九练习九/六六) 设设 有一有一 )(),(yxxeyxfay222

8、 驻点为驻点为 M0 = (1 , 1) ,(1) 求常数求常数 a 的值的值(2) 研究函数在该点处是否取得极值研究函数在该点处是否取得极值 ？解解(1) 02222211112 ),()( , )( ),(yxxaexefayay02 )( aea2 a (2) 此时此时 )( , )(yxxefxefyyyx222222222 )( , )( , yxxefxefefyyyyxyyxx22241422222 08400211422 eeeD ),( 驻点驻点 M0 不是极值点不是极值点2、条件极值、条件极值 最值最值 函数函数 在该点沿在该点沿 222zyxzyxf ),(, l011

9、例例10 在椭球面在椭球面 上求一点上求一点 , 使使 122222 zyx方向的方向导数最大方向的方向导数最大解解 , , 02121 l设所求点为设所求点为 M = ( x , y , z )( , , , , yxzyxlfM 202121222构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数 )()(),(1222222 zyxyxzyxL zLyLxLzyx 24242 , , 122222 zyx解得可能的最值点为解得可能的最值点为: ) , , ( , ) , , (021210212121 PP , 2221 PPlflf比较比较 知知) , , (021211 P为所求的点为所求的点例例11 (练习九练习九/十三十三) 在曲面在曲面 ,1 zyx :上作一个切平面上作一个切平面 , 使它与三个坐标面所围成的使它与三个坐标面所围成的四面体体积最大四面体体积最大 , 求切平面方程求切平面方程解解 任取任取 M = ( x , y , z ) , 法向法向: , , zyxn111 切平面切平面:0111 )( )( )( zZzyYyxXx1 zZyYxX 即即截距截距: zcybxa , , xyzV61 构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数: )(1 zyxxyzL 022 xxyzLx 022 yyxz