材料分析方法第一章晶体学基础

1、第一章第一章 电磁辐射与材料结构电磁辐射与材料结构第三节第三节 材料结构基础（二）材料结构基础（二） 一、晶体结构一、晶体结构 二、二、倒易点阵倒易点阵 三、晶带三、晶带一、晶体结构一、晶体结构1.1.空间点阵的概念空间点阵的概念：能体现晶体周期性的最小物能体现晶体周期性的最小物质结构质结构(分子，原子，原子团，离子对等分子，原子，原子团，离子对等)。晶体晶体: 结构基元在三维空间有规则排列结构基元在三维空间有规则排列形成的固体。形成的固体。 NaCl结构结构点阵：点阵：将结构基元抽象为几何点将结构基元抽象为几何点 (阵阵点点) 便得到一个空间阵列便得到一个空间阵列 (点阵点阵)；将阵点用直线

2、连接成的空间格子叫晶格。将阵点用直线连接成的空间格子叫晶格。点阵点阵 2.2.阵胞与点阵阵胞与点阵类型类型阵胞阵胞(晶胞晶胞)：在点阵中选择一个由阵点在点阵中选择一个由阵点连接而成的平行六面体来表达晶体结构的连接而成的平行六面体来表达晶体结构的周期性，称为周期性，称为阵胞阵胞(晶胞晶胞)阵胞阵胞点阵点阵点阵点阵阵胞阵胞阵胞的描述阵胞的描述: 阵胞由表示其形状与大小的3个矢量a、b、c来描述。 a、b、c称为点阵基矢。 阵胞更具体一点由点阵常数来描述。 cbaacb 为b、c边夹角为a、c边夹角 为a、b边夹角点阵常数点阵常数: 矢量a、b、c 的长度（a、b、c）+ 矢量间的夹角（ 、 、 ）

3、 注意注意:晶体学上的坐标系均采用右手定则晶体学上的坐标系均采用右手定则cbaacb 例如，例如，NaCl点阵常数点阵常数:a = b = c = 5.62 ; = = = 90TiO2 (金红石金红石) 点阵常数点阵常数:a = b = 4.59 , c= 2.96 , = = = 90晶体结构晶体结构 空间点阵空间点阵 晶胞晶胞阵胞在空间的重复堆砌阵胞在空间的重复堆砌 空间点阵空间点阵阵胞与点阵的关系阵胞与点阵的关系:abco点阵中任一阵点的矢量表示：点阵中任一阵点的矢量表示：以阵胞任一阵点为坐标原点，a、b、c分别为三坐标轴单位矢量由原点向任一阵点（坐标x,y,z)的连接矢量为rxyz，

4、则: rxyz = xa + yb + zcabc（x,y,z)rxyzr133 = a+3b+3c阵胞的选取原则：阵胞的选取原则：能同时反映出空间点阵的周期性和对称性；能同时反映出空间点阵的周期性和对称性；在满足的条件下，有尽可能多的直角；在满足的条件下，有尽可能多的直角；在满足和的条件下，体积最小。在满足和的条件下，体积最小。 无直角无直角有两直角有两直角布拉菲的研究布拉菲的研究表明，按上述三表明，按上述三原则选取的阵胞原则选取的阵胞只能有只能有14种，称种，称为为14种布拉菲种布拉菲点点阵阵。 PP按阵胞中按阵胞中阵点阵点位置的不同，位置的不同，14种布拉菲点种布拉菲点阵可分为阵可分为4

5、种点阵种点阵类型（类型（P、C、I、F）：）：简单点阵，简单点阵，P P 八个顶点上有阵点，每个阵胞占有一个八个顶点上有阵点，每个阵胞占有一个阵点，阵点坐标为阵点，阵点坐标为000000除八个顶点上有阵点除八个顶点上有阵点外，两个相对的面心外，两个相对的面心上有阵点，面心上的上有阵点，面心上的阵点为两个相邻的平阵点为两个相邻的平行六面体所共有。因行六面体所共有。因此，每个阵胞占有两此，每个阵胞占有两个阵点。阵点坐标为个阵点。阵点坐标为000，1/2 1/2 0底心点阵，底心点阵，C除除8个顶点外，体个顶点外，体心上还有一个阵心上还有一个阵点，因此，每个点，因此，每个阵胞含有两个阵阵胞含有两个阵

6、点点, 其坐标为其坐标为:000，1/2 1/2 1/2体心点阵，体心点阵，I除除8个顶点外，每个顶点外，每个面心上有一个阵个面心上有一个阵点，每个阵胞上有点，每个阵胞上有4个阵点，其坐标个阵点，其坐标分别为分别为:000，1/2 1/2 0， 1/2 0 1/2， 0 1/2 1/2面心点阵面心点阵, F按阵胞形状的不同，按阵胞形状的不同， 14种布拉菲点阵种布拉菲点阵可归纳为可归纳为7个晶系：个晶系：立方立方晶系晶系a=b=c = = =90四方四方晶系晶系a=b c = = =90正交正交晶系晶系a b c = = =90三方三方晶系晶系a=b=c = =90六方六方晶系晶系a=b c

7、= =90, =120单斜单斜晶系晶系a b c = =90, 90三斜三斜晶系晶系a b c 90 3.3.晶体结构与空间点阵晶体结构与空间点阵将空间点阵的阵点复原为结构基元，便将空间点阵的阵点复原为结构基元，便得到晶体结构，即：得到晶体结构，即： 晶体结构晶体结构 = 空间点阵空间点阵 + 结构基元结构基元面心面心F点阵点阵NaCl结构结构+=结构基元结构基元0,0,01/2,0,0Na+ Cl-注意：注意：虽然空间点阵只有虽然空间点阵只有14种，但由种，但由于结构基元是无穷尽的，因而晶体结构于结构基元是无穷尽的，因而晶体结构也是无限的也是无限的 (同一点阵因结构基元不同同一点阵因结构基元

8、不同形成多种结构形成多种结构)。例：例：Cu和和NaCl 同属面心同属面心F点阵，因结点阵，因结构基元不同，而晶体结构不同构基元不同，而晶体结构不同面心面心F点阵点阵NaCl结构结构+=结构基元结构基元0,0,01/2,0,0Na+ Cl-面心面心F点阵点阵Cu 结构结构+=结构基元结构基元0, 0, 0Cu4.4.晶向指数与晶面指数晶向指数与晶面指数晶体中连接基元的直线和平面分别称为晶体中连接基元的直线和平面分别称为晶向晶向和和晶面晶面;国际上通用国际上通用密勒指数密勒指数 来标识晶向和晶面。来标识晶向和晶面。(1) 建立坐标系建立坐标系: 以任一阵点为坐标原点，以以任一阵点为坐标原点，以晶

9、轴为坐标轴晶轴为坐标轴, 并以点阵基矢并以点阵基矢a、b、c为相为相应坐标轴单位矢量应坐标轴单位矢量;yzx0,0,01,1,1B 晶向指数确定方法：晶向指数确定方法：(4) 将三个坐标值按比例化将三个坐标值按比例化为互质的整数，并加方括为互质的整数，并加方括号号 111.(3) 求出该直线上任意求出该直线上任意一点的坐标一点的坐标 1,1,1;(2) 通过坐标原点引一直线，通过坐标原点引一直线，使其平行于待标识的晶向使其平行于待标识的晶向;abc晶向组晶向组: 空间所有相互平行（方向一空间所有相互平行（方向一致）的晶向，其晶向指数相同致）的晶向，其晶向指数相同, 称之为称之为晶向组晶向组右图

10、中三个右图中三个晶向的晶向指数晶向的晶向指数均为均为 111, 称之为称之为111晶向组晶向组 abc晶向族晶向族: 晶体中方位不同但基元晶体中方位不同但基元排列状况相同的所有晶向的组合排列状况相同的所有晶向的组合.例例: 立方系立方系100 晶向族包含晶向族包含6个晶向个晶向组组:010001100oabc =100 + 010 +001 + 100 +010 + 001(1) 建立坐标系: 以任一阵点为坐标原点，以晶轴为坐标轴, 并以点阵基矢a、b、c为相应坐标轴单位矢量; 晶面指数确定方法(2)在待标识的晶面组中,选择最靠近坐标原点的晶面, 求出其在3个坐标轴上的截距;(3) 取3个截距

11、值的倒数;(4) 将倒数按比例化为互质的整数, 并加圆括号: 型如 (hkl). 若某截距为负值，则在相应指数上加 “-” 号。(2) 求出待标识晶面在求出待标识晶面在3个个坐标轴上的截距坐标轴上的截距: : x = 1, y = 1, z = 1(3) 取取3个截距值的倒数个截距值的倒数: 1/x = 1, 1/y = 1, 1/z = 1(4) 将倒数按比例化为互质的整数将倒数按比例化为互质的整数, 并加圆括号并加圆括号: (111)yzxA(1) 建立坐标系建立坐标系abco例例1: 求点阵面求点阵面 A的密勒指数的密勒指数例例2: 求点阵面求点阵面 MSR的的密勒密勒指数指数(2)截距

12、截距 x=1/4, y=2/3, z=1/2步骤如下步骤如下: (1) 建立坐标系建立坐标系(3)倒数倒数: 1/x = 4, 1/y =3/2, 1/z =2(4)将倒数乘公因子将倒数乘公因子2, 化为最小整数化为最小整数 (5)加圆括号加圆括号: (834)问题：问题：求下列点阵面的求下列点阵面的密勒密勒指数？指数？ aaaaxyz(100)(111)(110)晶面组晶面组: (hklhkl) 表示的不是一个晶面，而是空表示的不是一个晶面，而是空间所有相互平行间所有相互平行(方位一致方位一致)的一组晶面的一组晶面, 称之为称之为晶面组晶面组晶面组晶面组晶面组晶面组晶面组晶面组晶面族晶面族

13、hkl: 晶体中方位不同但基元晶体中方位不同但基元排列状况相同的所有晶面的组合排列状况相同的所有晶面的组合.例例: 立方晶系立方晶系,111 = (111) + (111) + (111) + (111) + (111) + (111) + (111) + (111) (111)晶面在背面晶面在背面xyz(111)(111)(111)右图中四个晶右图中四个晶面的基元排列相面的基元排列相同同, 同属同属111晶晶面族面族 注意注意: : 立方晶系中立方晶系中, 凡指数相同的晶向凡指数相同的晶向与晶面均互相垂直与晶面均互相垂直, 如如100100(100100), 110110(110110)等等

14、除用密勒指数标识外，还可用四轴定向法标识即以a1、a2、a3 、 c为坐标轴单位矢量建立四轴坐标系，然后仍按密勒标识法的步骤确定晶向和晶面指数;但此时获得的晶向和晶面指数均由4个数值组成，型如uvtw 和(hkil)。a1a2a3c六方晶系晶向与晶面指数六方晶系晶向与晶面指数 六方系四数值晶向指数六方系四数值晶向指数uvtw 和晶面指和晶面指数数(hkil) 中均只有中均只有3 3个值是独立的：个值是独立的：t = -(u+v)i = -(h+k)5.5.干涉指数干涉指数问题：问题：在（在（hkl）晶面组（其晶面间距晶面组（其晶面间距为为d dhklhkl）同一空间方位上，设若有晶面间同一空间

15、方位上，设若有晶面间距为距为 d dhklhkl/n (n为任意整数）的晶面组，应为任意整数）的晶面组，应如何标识？如何标识？ A1A2B1B2A301/21yzd010d010/2x图中图中: A1A1，A2A2，A3A3，为（为（010010）晶面）晶面组（其面间距为组（其面间距为d d010010），在此组晶面中分），在此组晶面中分别插入别插入B1，B2B2，晶面，则形成面间距晶面，则形成面间距为为d d010010/2/2的的A1A1， B1 B1， A2 A2， B2 B2，晶面晶面组组应如何标识？应如何标识？A1A2B1B2A301/21yzd010d010/2x答：答：按照以前晶

16、面指数的确定方法按照以前晶面指数的确定方法, (1) A1,B1, A2, B2, 最靠近坐标原点的晶面最靠近坐标原点的晶面 B1在在3个坐标轴上的截距为个坐标轴上的截距为: , , (2) 截距的倒数为截距的倒数为: 0，2，0(3) 将倒数除公因子将倒数除公因子2, 化为最小整数化为最小整数: 0，1，0(4) 加圆括号可表示为加圆括号可表示为:（010）A1A2B1B2A301/21yzd010d010/2x结论：结论：若仅考虑晶面的空间方位，则若仅考虑晶面的空间方位，则A1A1，B1B1，A2A2，B2B2，与与A1A1，A2A2，A3A3，一样，一样，均以晶面指数（均以晶面指数（01

17、0010）标识）标识若要考虑二者晶面间距的不同，则分别若要考虑二者晶面间距的不同，则分别用用 (020020) 和和 (010010) 标识，此即标识，此即干涉指数干涉指数A1A2B1B2A301/21yzd010d010/2x干涉指数干涉指数: 将将(hkl)晶面间距记为晶面间距记为dhkl，则晶面间距为，则晶面间距为dhkl/n (n为整数为整数) 的虚拟晶面的晶面指数为的虚拟晶面的晶面指数为(nh nk nl)，记为记为(HKL), 称称。例：例：晶面间距为晶面间距为d d110110/2， d d110110/3的虚的虚拟晶面的干涉指数分别为拟晶面的干涉指数分别为 (220) 和和(3

18、30330) 。 干涉指数的定义干涉指数的定义:（HKL) = (nh nk nl) = n(hkl);可见：干涉指数可以看成是带有公约数可见：干涉指数可以看成是带有公约数的晶面指数，即广义的晶面指数。的晶面指数，即广义的晶面指数。将干涉指数按比例化为互质整数时将干涉指数按比例化为互质整数时(n=1)，不论晶面间距如何，干涉指数均还原为不论晶面间距如何，干涉指数均还原为晶面指数晶面指数(hkl)。干涉指数和晶面指数：干涉指数和晶面指数：干涉指数同时标识出晶面的空间方位干涉指数同时标识出晶面的空间方位和晶面间距；和晶面间距；而晶面指数仅仅标识了晶面的空间方位。而晶面指数仅仅标识了晶面的空间方位。

19、求晶面指数时求晶面指数时, 要将截距的倒数化为互要将截距的倒数化为互质的整数质的整数;而求干涉指数时而求干涉指数时, 要将截距的倒数化为整要将截距的倒数化为整数数, 但不必互质。但不必互质。干涉指数和晶面指数：干涉指数和晶面指数：干涉指数表示的晶面不一定真有结构干涉指数表示的晶面不一定真有结构基元存在。干涉指数概念的建立基元存在。干涉指数概念的建立主要为主要为简化布拉格方程，分析衍射。简化布拉格方程，分析衍射。干涉指数和晶面指数：干涉指数和晶面指数：yzxc 二、二、倒易点阵X射线衍射分析射线衍射分析: 通过对通过对衍射花样衍射花样的分析来反推的分析来反推出出晶体结构晶体结构。正点阵: 晶体中

20、的原子在三维空间周期性排列，这种点阵称为正点阵。正点阵: 与晶体结构相关，描述的是晶体中物质的分布规律。 倒易点阵: 以长度倒数为量纲与正点阵按一定法则对应的虚拟点阵-称倒易点阵。倒易点阵:与晶体的衍射现象相关，描述的是衍射强度的分布规律。1. 倒易点阵定义：对于一个由点阵基矢a、b、c 定义的正点阵，如果存在另一个由点阵基矢a*、b*、c* 定义的空间点阵，满足： aa*=1， ab*= 0， ac*= 0 ba*= 0， bb*=1， bc*= 0 ca*= 0， cb*= 0， cc*= 1则称由a*、b*、c*所定义的点阵为a、b、c所定义的点阵的倒易点阵。 aa*=1， ab*= 0

21、， ac*= 0 ba*= 0， bb*=1， bc*= 0 ca*= 0， cb*= 0， cc*= 1式中，等于1的3式决定了a*、b*、c* 的长度，而另外6式决定了a*、b*、c* 的方向。亦即: a* b, a* c, b* a, b* c, c* a, c* b, bc*a*b*(001)(010)ac(100) a* b, a* c, b* a, b* c, c* a, c* b, a*/(bc)， a*= K(bc) b*/(ca)， b*= K(ca) c*/(ab)， c*= K(ab)又 a*a = K(bc)a = 1而(bc)a 为正点阵晶胞体积V a*a = KV

22、= 1 K = 1/V a*= K(bc) = (bc)/V b*= K(ca) = (ca)/V c*= K(ab) = (ab)/V这就是倒易点阵的基矢表达式，即教材中（1-43）式。2. 倒易点阵晶胞参数和正点阵晶胞参数关系正点阵晶胞用六个参数a,b,c, , 表示。倒易点阵也用六个参数来表示，即：a*,b*,c*,*, *, *其中a*,b*,c*为倒易晶胞三个棱边的长度 *为b * 、c *边夹角 *为a * 、c *边夹角 *为a * 、b *边夹角c*b*a* * * *(1)从正点阵参数求取a*、b*、c* a*= (bc)/V = (bcsin/V)nn为bc方向的单位矢量。

23、 a* 之长度a* = bcsin/V同理 b* 之长度b* = casin/V c* 之长度c* = absin/V 注意: 习惯上，点阵常数以为单位，故倒易点阵参数a*、b*、c*的单位是-1。(2) 从正点阵参数求取*、 *、 * b* c* = b* c* cos* cos* = b* c*/ b*c* = (ca) (ab)/V2 b*c* =(ca)(ab)-(cb)(aa)/V2 b*c* = c a cosa b cos- c b cos a2/ /(c a sina b sin) = (coscos-cos)/sinsin同理 cos*= (coscos -cos)/sins

24、in cos*= (coscos -cos)/sinsin b* = casin/Vc* = absin/V a* = bcsin/V b* = casin/V c* = absin/V cos*=(coscos-cos)/sinsin cos*=(coscos-cos)/sinsin cos*=(coscos-cos)/sinsin 总结: 如果正点阵晶胞参数：a,b,c, , 倒易点阵晶胞参数:a*,b*,c*,*,*,*则它们之间有下列关系:这就是教材中（1-44）式。从从正点阵参数求取正点阵参数求取倒易点阵参数的例子倒易点阵参数的例子 一个立方晶系的化合物， 其正点阵参数 a = b

25、= c =10.000 , = = = 90, 求其倒易点阵参数.a* = bcsin/V = 1/a = 0.1 -1b* = casin/V = 1/b = 0.1 -1c* = absin/V = 1/c = 0.1 -1cos* = (coscos-cos)/sinsin= 0cos*= (coscos -cos)/sinsin= 0cos*= (coscos -cos)/sinsin= 0 * = * = * = 903. 倒易点阵的性质：倒易矢量：由倒易点阵原点向任一倒易阵点的连接矢量，用r*表示:r*HKL= Ha*+Kb*+Lc*(式中a*、b*、c*为三坐标轴单位矢量， H，

26、K，L为倒易点的坐标值）a*b*c*231r*231=2a*+3b*+1c*倒易矢量的两个基本性质： 倒易矢量的方向垂直于正点阵中的同指数晶面(HKL), r*HKL (HKL); 倒易矢量的长度等于对应晶面 (HKL)面间距的倒数, | r*HKL| = 1/ dHKL xyzABCO(O*)a/Hb/Kc/Ln0r*HKL(HKL)证明证明( (自学）：自学）：如图所示，正点阵坐标系O-xyz中；设平面ABC为(HKL)晶面组中距原点最近的晶面，则平面ABC在3个坐标轴上的截距分别为1/H、1/K和1/L，即有: OA = a/H, OB = b/K, OC = c/LxyzABCO(O*

27、)a/Hb/Kc/Ln0r*HKL(HKL)又设n0为（HKL）法线单位矢量，并设倒易原点O*与正点阵坐标原点O重合由由 AB = OB - OA = b/K - a/H有r*HKL AB = (Ha*+Kb*+Lc*) (b/K - a/H) = 0 (此处用到倒易点阵的定义) r*HKL AB 同理r*HKL BC r*HKL 平面ABC 即 r*HKL （HKL）xyzABCO(O*)a/Hb/Kc/Ln0r*HKL(HKL) r*HKL （HKL） r*HKL与n0共线n0 = r*HKL/|r*HKL| = (Ha*+Kb*+Lc*)/|r*HKL|又 dHKL为OA在在n0方向上的

28、投影，即dHKL= OA n0 =a/H (Ha*+Kb*+Lc*)/|r*HKL| = 1/ |r*HKL| |r*HKL| = 1/ dHKLxyzABCO(O*)a/Hb/Kc/Ln0r*HKL(HKL)如果正点阵与倒易点阵具有共同的坐标原点，则正点阵中的一组（hkl）晶面在倒易点阵中可用一个倒易点 hkl 来表示。(1) 倒易阵点与正点阵(HKL)晶面的对应关系讨论：讨论：晶面与倒易矢量晶面与倒易矢量(倒易点倒易点)的对应关系的对应关系倒易点阵正点阵Oa(200)的晶面间距 d d200 200 = d d100100/2 (200) 晶面的倒易矢量长度比(100) 的倒易矢量长度大一

29、倍。 倒易点阵与正点阵的倒易关系倒易点阵与正点阵的倒易关系 晶体点阵参数p18, 式1-44 相应的倒易点阵参数平行六面体的平移堆砌建立倒易点阵(平行六面体的顶点就是倒易点) 或用作图法，在正点阵中取若干不同方位的（HKL）晶面，据其作出各对应的r*HKL ，各r*HKL终点的阵列即为倒易点阵。(2) 倒易点阵的建立已知:晶体点阵参数a,b,c, , 按下式求出相应的倒易点阵参数 a* = bcsin/V b* = casin/V c* = absin/V cos*=(coscos-cos)/sinsin cos*=(coscos-cos)/sinsin cos*=(coscos-cos)/s

30、insin 画出a*,b*,c*,*,*,*定义的平行六面体该平行六面体的平移堆砌, 就建立起倒易点阵 (平行六面体的顶点就是倒易阵点). 如何用第一种方法建立倒易点阵 ?例例: : 一个立方晶系的化合物， 其正点阵参数 a = b = c =10.000 , = = = 90, 画出其倒易点阵.解解: : a* = bcsin/V = 1/a = 0.1 -1b* = casin/V = 1/b = 0.1 -1c* = absin/V = 1/c = 0.1 -1cos* = (coscos-cos)/sinsin= 0cos*= (coscos -cos)/sinsin= 0cos*=

31、(coscos -cos)/sinsin= 0 * = * = * = 900.1 -1a* = b* = c* = 0.1 -1, * = * = * = 90其倒易点阵可建立如下：每个小球代表一个倒易阵点000100010020001002101102o*a*b*c*用作图法，在正点阵中取若干不同方位的（HKL）晶面，据其作出各对应的r*HKL ，各r*HKL终点的阵列即为倒易点阵。如何用第二种方法建立倒易点阵 ?例例: :立方晶格倒易点阵的建立1(210)(100)(110)(010)cba正晶格a=b=4 (220) r*100 (100); |r*100| = 1/ d100 = 0

32、.25 -1 r*010 (010); | r*010| = 1/ d010 = 0.25 -1r*110 (110); | r*110| = 1/ d110 = 0.252 -1公式：1/ dHKL2 = (H2 + K2 + L2)/a2例例: :立方晶格倒易点阵的建立1(210)(100)(110)(010)cba正晶格a=b=4 (220)r*210 (210); | r*210| = 1/ d210 = 0.25(22+12) -1r*220 (220); | r*220| = 1/ d220 = 0.25 22 -1公式：1/ dHKL2 = (H2 + K2 + L2)/a2例例

33、: :立方晶格倒易点阵的建立0.25 -1200100000r210r110210110010220120020C*b*a*倒易晶格r2201(210)(100)(110)(010)cba正晶格a=b=4 (220)1(120)(100)(110)(010)cba正晶格a=b=4 , =120例例: :六方晶格倒易点阵的建立 r*100 (100); |r*100| = 1/ d100 = 0.25(4/3) -1 r*010 (010); | r*010| = 1/ d010 = 0.25(4/3) -1公式：1/ dHKL2 = 4(H2 + K2 + HK)/(3a2)1(120)(10

34、0)(110)(010)cba正晶格a=b=4 例例: :六方晶格倒易点阵的建立r*110 (110); | r*110| = 1/ d110 = 0.25(8/3) -1r*120 (120); | r*120| = 1/ d120 = 0.25(20/3) -1公式：1/ dHKL2 = 4(H2 + K2 + HK)/(3a2)0.25 -1200100000r120r110210110010220120020c*b*a*倒易晶格例例: :六方晶格倒易点阵的建立1(120)(100)(110)(010)cba正晶格a=b=4 (1) 晶面间距公式 晶面间距: 两个相邻的平行晶面间的垂直距

35、离，通常用dHKL或简写为d来表示。公式推导： |r*HKL| = 1/ dHKL 1/ dHKL2 = |r*HKL| 2 = r*HKL r*HKL= (Ha*+Kb*+Lc*) (Ha*+Kb*+Lc*)= H2 a*2 + K2b*2 + L2c*2 + 2HK a*b* + 2HL a*c* + 2KL b*c*4. 晶面间距与晶面夹角公式:1/ dHKL2 = H2 a*2 + K2b*2 + L2c*2 + 2HK a*b* + 2HL a*c* + 2KL b*c*为晶面间距的一般表达式，适用于各个晶系。以立方晶系为例，a*2 = b*2 = c*2 = 1/a2cos* =

36、cos* = cos* = 0 1/ dHKL2 = (H2 + K2 + L2)/a2例1 金属镍的立方晶胞参数a = 3.524 ，试求d100, d200, d110, d220, d111公式：1/ dHKL2 = (H2 + K2 + L2)/a2答案： 3.524；1.762; 2.492; 1.246; 2.035(2) 晶面夹角公式 晶面夹角：两晶面(H1K1L1) 、 (H2K2L2)法线间夹角。也等于两晶面对应之倒易矢量间夹角，故有:为晶面夹角的一般表达式，适用于各个晶系以立方晶系为例，a*2 = b*2 = c*2 = 1/a2cos* = cos* = cos* = 0r*HKL = 1/ dHKL = (H2 + K2 + L2)1/2/a代入到上式后，得立方系晶面夹角公式： 222222212121212121LKHLKHLLKKHHcos+=例： 求立方晶系中下列几组晶面间的夹角:(001)与(010), (111)与(11-1) ?222222212121212121LKHLKHLLKKHHcos+=NaClNaCl晶体晶体( (立方体立方体) )明矾晶体明矾晶体( (八面体八面体)