第九章 压杆稳定

1、第九章第九章 压杆稳定压杆稳定材料力学的材料力学的三大任务三大任务 保证材料或结构在服役期间，具有以下能力：保证材料或结构在服役期间，具有以下能力：2、抵抗、抵抗变形变形的能力的能力3、保持其原有平衡状态保持其原有平衡状态的能力的能力1、材料抵抗、材料抵抗破坏破坏的能力的能力平衡构形平衡构形结构或构件在载荷作用下保持平衡的位置。结构或构件在载荷作用下保持平衡的位置。平衡状态的稳定性平衡状态的稳定性结构或构件在载荷作用下保持其初始平结构或构件在载荷作用下保持其初始平衡构形的能力；经历任意微小干扰能否回到原有平衡构形。衡构形的能力；经历任意微小干扰能否回到原有平衡构形。几个基本概念几个基本概念失稳

2、失稳(instability)：构件或体系丧失原有平衡状态的稳定性构件或体系丧失原有平衡状态的稳定性粗短压杆粗短压杆强度破坏强度破坏91 压杆稳定的概念压杆稳定的概念低碳钢短柱：屈服破坏低碳钢短柱：屈服破坏铸铁短柱：剪切破坏铸铁短柱：剪切破坏sbFFFFcrFFcr正直变形状态是正直变形状态是稳定的稳定的F1干干扰扰力力细长压杆细长压杆失稳破坏失稳破坏1、当、当F较小时，变形状态为较小时，变形状态为正直变形状态正直变形状态：横向尺寸增大，纵：横向尺寸增大，纵向尺寸缩短。向尺寸缩短。FFcrFFcrFFcr正直变形状态是正直变形状态是稳定的稳定的F1干干扰扰力力FFcrFFcr拆拆除除干干扰扰力

3、力后后当当F逐渐增大时，压杆平衡状态的稳定性也在变化。逐渐增大时，压杆平衡状态的稳定性也在变化。当当F较小时，正直平衡状态是稳定的，弯曲平衡状态是不稳定较小时，正直平衡状态是稳定的，弯曲平衡状态是不稳定的；的；当当F较大时，弯曲平衡是稳定的，正直平衡是不稳定的较大时，弯曲平衡是稳定的，正直平衡是不稳定的临界临界( (压压) )力力(critical force) ：压杆：压杆临界平衡状态临界平衡状态时所受的时所受的轴向轴向压力。压力。 Fcr或或 使压杆使压杆保持正直变形状态保持正直变形状态所能承受的所能承受的最大最大轴向轴向压力压力。或或 使使压杆压杆达到弯曲平衡状态达到弯曲平衡状态( (失

4、稳失稳) )所需所需的的最小轴向压力最小轴向压力。本章需要回答：轴向载荷本章需要回答：轴向载荷F=？时，才会出现失稳时，才会出现失稳？临界平衡状态临界平衡状态：压杆处于正直平衡状态与弯曲平衡状态之间的临：压杆处于正直平衡状态与弯曲平衡状态之间的临界状态。界状态。两重性：两重性：既可在既可在直线状态直线状态保持平衡，又可保持平衡，又可在在弯曲状态弯曲状态维持平衡。维持平衡。 mM(x) = -FwxwFwxF(b) 假设假设理想压杆理想压杆处于临界平衡处于临界平衡状态的微弯状状态的微弯状态，态，材料材料处于处于线弹性线弹性范围。范围。距离原点距离原点x处截处截面面m的挠度为的挠度为w=w(x)。

5、wxml/2xwFlF(a) 92 两端两端( (球球) )铰支细长压杆临界力的欧拉公式铰支细长压杆临界力的欧拉公式由图由图( (b) )所示分离体的平衡可知所示分离体的平衡可知：0EIwFw则挠曲线近似微分方程为：则挠曲线近似微分方程为： M xF w 在所选定的坐标内，在所选定的坐标内，w为正时为正时，M(x)为负。为负。令令2FkEI则则20wk wmM(x) = -FwxwFwxF(b) 微分方程的解微分方程的解：边界条件边界条件：sincoswAkxBkx(0)( )0ww l00sincos0ABAklBkl 即 0sin0BAklsin0kl0,1,2,3,klnn即 2220,

6、1,2,3,nEIFnl故 0A 又因 2222nkl20wk wwxml/2xwFlF2mincr2EIFl故 由由于临界力于临界力F是使压杆失稳的最小压力，故是使压杆失稳的最小压力，故n应取不应取不为零的最小值，即取为零的最小值，即取n=1。 上式即上式即为为两端铰支两端铰支细长压杆临界力细长压杆临界力Fcr的计算公式，由的计算公式，由欧拉欧拉（L.Euler）于于1744年首先导出，所以通常称为年首先导出，所以通常称为欧拉公欧拉公式式。应该注意，压杆的弯曲是在其弯曲刚度最小的纵向平面。应该注意，压杆的弯曲是在其弯曲刚度最小的纵向平面内发生，因此欧拉公式中的内发生，因此欧拉公式中的I应该是

7、截面的应该是截面的最小惯性矩最小惯性矩。2cr2EIFl 欧拉公式欧拉公式 对对于各种支承情况的理想压杆，其临界力的欧拉公于各种支承情况的理想压杆，其临界力的欧拉公式可写成统一的形式：式可写成统一的形式： 2mincr2()EIFl式中式中 称为称为长度系数长度系数，与杆端的约束情况有关。，与杆端的约束情况有关。 l称为称为相当长度相当长度(equivalent length) 。 其它支承条件下细长压杆临界压力公式其它支承条件下细长压杆临界压力公式表表91 各种支承条件下细长压杆的临界力各种支承条件下细长压杆的临界力 支承情况支承情况两端铰支两端铰支一端固定一端固定一端铰支一端铰支两端固定两

8、端固定一端固定一端固定一端自由一端自由失稳时挠曲线形状失稳时挠曲线形状临界力临界力长度系数长度系数lFcr= 1= 0.7= 0.5= 22llFcr22lEIFcr22rc)7 . 0(lEIF22)5 . 0(lEIFrc22(2 )crEIFllFcr0.7llFcr一、欧拉公式的应用范围一、欧拉公式的应用范围1、实验表明、实验表明：粗短压杆粗短压杆没有失稳现象；没有失稳现象；中等长度的压杆中等长度的压杆失稳时的临界力，与欧拉公式计算的临界力并不符合；失稳时的临界力，与欧拉公式计算的临界力并不符合；细长压杆细长压杆失稳时的临界力，可以用欧拉公式来计算。失稳时的临界力，可以用欧拉公式来计算

9、。93 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围临界应力总图临界应力总图2、临界应力临界应力 cr：为量化欧拉公式的适用范围，定义临界为量化欧拉公式的适用范围，定义临界力力Fcr除以压杆横截面面积除以压杆横截面面积A为为临界应力临界应力。crcrFA22crcr22()FEIEAlAl i则则引入压杆引入压杆长细比长细比或或柔度柔度(slenderness) ：il22crE式中式中 为为压杆横截面对中性轴的压杆横截面对中性轴的惯性半径惯性半径。iI A 挠曲线挠曲线的近似微分方程建立在胡克定律基础上，因的近似微分方程建立在胡克定律基础上，因此只有此只有材料在线弹性范围内工作材料在线弹性范围内工作

10、时，即只有时，即只有 cr p时，欧时，欧拉公式才能适用。拉公式才能适用。 2crp2E即 2pppEE或 O p p cr欧拉临界应力曲线欧拉临界应力曲线 通常称通常称 p的压杆为的压杆为大柔度杆大柔度杆或或细长压杆细长压杆。欧拉公式的应用范围：欧拉公式的应用范围：二、二、中、小柔度杆的临界应力中、小柔度杆的临界应力 如如果压杆的柔度果压杆的柔度 p，则临界应力则临界应力 cr大于材料的比大于材料的比例极限例极限 p，此时欧拉公式不再适用。对于这类压杆，通常此时欧拉公式不再适用。对于这类压杆，通常采用以试验结果为基础的采用以试验结果为基础的经验公式经验公式来计算其临界应力。来计算其临界应力。

11、直线公式直线公式barc 式中，式中，a和和b是与材料力学性能有关的常数，一些常用材料是与材料力学性能有关的常数，一些常用材料的的a和和b值见表值见表92。表表92 一些常用材料的一些常用材料的a、b、 p、 s值值材材 料料a (MPa)b (MPa) p sQ235钢钢s=235MPab=372MPa3041.1210061.4优质优质碳钢碳钢s=306MPab=470MPa4602.5710060硅硅 钢钢s=353MPab510MPa5773.7410060铬铬 钼钼 钢钢9805.29550硬硬 铝铝3923.26500松松 木木28.70.199590* *公式适用范围公式适用范围

12、：临界应力不能大于极限应力（塑：临界应力不能大于极限应力（塑 性材料为屈服极限，脆性材料为强度极限）。性材料为屈服极限，脆性材料为强度极限）。ssab满足此条件的杆件称为满足此条件的杆件称为中柔度杆中柔度杆或或中长压杆中长压杆。 塑性材料：塑性材料： s p , 脆性材料：脆性材料： b p , bbab* s的压杆称为的压杆称为小柔度杆小柔度杆或或短粗杆短粗杆，属，属强度强度 破坏破坏，其临界应力为极限应力其临界应力为极限应力。 三、三、压杆的临界应力总图压杆的临界应力总图 压杆的临界应力总图压杆的临界应力总图：压杆的临界应力：压杆的临界应力 cr与柔度与柔度 之间的之间的关系曲线。关系曲线

13、。 (1)大柔度杆大柔度杆： p，按按欧拉公式欧拉公式计算；计算；直线型经验公式的直线型经验公式的压杆临界应力总图压杆临界应力总图Oppcrsscr=scr=a-b 2cr2E(2)中柔度杆中柔度杆： s p， 按按直线型经直线型经验公式验公式计算；计算；(3)小柔度杆小柔度杆： P)，已知各杆所用，已知各杆所用的材料和截面均相同，各杆的长度如下图所示，问哪根杆能的材料和截面均相同，各杆的长度如下图所示，问哪根杆能够承受的压力最大？哪根能够承受的压力最小？够承受的压力最大？哪根能够承受的压力最小？ F1.3a(b)F1.6a(c)解解：比较各杆的承载能力只需比较各杆的临界力，因为各：比较各杆的

14、承载能力只需比较各杆的临界力，因为各杆均为大柔度杆，所以都可以用欧拉公式计算临界力。杆均为大柔度杆，所以都可以用欧拉公式计算临界力。22cr)( lEIF由于各杆的材料和截面相同，只需比较各杆的计算长度由于各杆的材料和截面相同，只需比较各杆的计算长度 l 即可。即可。杆杆a： l = 2a = 2a 杆杆b： l = 11.3a = 1.3a杆杆c： l = 0.71.6a = 1.12a 杆杆d： l = 0.52a = a临界力与临界力与 l 的平方成反比，所以的平方成反比，所以杆杆d能够承受的压力最大，能够承受的压力最大，杆杆a能够承受的压力最小。能够承受的压力最小。 Fa(a)F1.3

15、a(b)F1.6a(c)2aF(d)例例2 千斤顶为圆截面杆，如图所示，丝杠长度为千斤顶为圆截面杆，如图所示，丝杠长度为l=375mm, 直直径径d=40mm；材料为；材料为45号钢，号钢， s=60， p=100；中柔度杆临界应中柔度杆临界应力公式为力公式为: : cr=a-b, ,其中其中a=589MPa,b=3. 82MPa; ;最大起重量最大起重量F=80kN, 规定的稳定安全系数规定的稳定安全系数nst=4，试校核其稳定性。试校核其稳定性。 Fl(b)解：解：（1）计算柔度）计算柔度332 375 107510 10li丝杠可简化为下端固定，上端自由的丝杠可简化为下端固定，上端自由的

16、压杆，长度系数压杆，长度系数 =2。42644010444IddimmAdF(a)l（2）选择计算临界应力的公式）选择计算临界应力的公式属于中等柔度杆属于中等柔度杆因此：因此：由于由于sP,66cr589 103.82 1075302.5MPaab236crcr40 10302.5 10380.1 N4FAk工作安全系数：工作安全系数：cr380.14.7580FnF4stn故：千斤顶丝杠是稳定的。故：千斤顶丝杠是稳定的。例例3 空气压缩机活塞杆为圆截面杆，两端约束均可简化为铰空气压缩机活塞杆为圆截面杆，两端约束均可简化为铰支座。支座。已知杆长已知杆长l=703mm，直径直径d=45mm；材料

17、为；材料为45号钢，号钢， s=350MPa， p=280MPa, E=210GPa；中柔度杆临界应力公中柔度杆临界应力公式为式为: : cr=a-b, ,其中其中a=461MPa,b=2.568MPa; ;最大工作压力最大工作压力Pmax=41.6KN, 规定的安全系数规定的安全系数nst=10，试校核其稳定性。试校核其稳定性。 解：解： （1）计算三个柔度）计算三个柔度229P6P3.14210 1086280 10E66ss6461 10350 1043.2b2.568 10a331 703 1062.545 104liPld（2）选择计算临界应力的公式）选择计算临界应力的公式属于中等柔

18、度杆属于中等柔度杆因此：因此：由于由于sP,66cr461 102.568 1062.5301MPaab236crcr45 10301 10478KN4PA工作安全系数：工作安全系数：crmaxP47811.5P41.6n 10stn故：满足稳定性要求。故：满足稳定性要求。例例4 图示结构，图示结构，AB为刚杆，为刚杆，CD为圆截面杆，直径为圆截面杆，直径d=40mm，E=200GPa， s=60, P=100 ，中柔度杆临界应力公式为中柔度杆临界应力公式为: cr=a-b,其中其中a=461MPa,b=2.568(MPa);试按结构稳定性求临界荷载试按结构稳定性求临界荷载qcr。解：解： （

19、1 1）确定）确定CD 杆的临界力杆的临界力100120404. 02 . 11 pil 首先要判定首先要判定CD 杆临界力的计算公式杆临界力的计算公式由题可知，由题可知，CD 杆两端铰支杆两端铰支 =1，l=1.2mCD 杆柔度为：杆柔度为：CD 杆为细长压杆，可由杆为细长压杆，可由欧拉公式欧拉公式计算其临界力计算其临界力221122223.143.142 100.0417244120crcrENAdKN （2）求结构的临界荷载求结构的临界荷载qcr研究研究AB杆，由结构的平衡条件得杆，由结构的平衡条件得： 0AM3317264.588crcrqNKN m243crcrqN 例例5(习题习题

20、9-2) 截面为矩形截面为矩形bh=30mm50mm的钢制杆如图所示的钢制杆如图所示，其两端用柱形铰连接。，其两端用柱形铰连接。若若l=2m，E=200GPa， P=100， s=55，中柔度杆临界应力公式为中柔度杆临界应力公式为: : cr=382-2.18(MPa), 许用稳定安全许用稳定安全系数系数nst=3，试求其最大工作载荷试求其最大工作载荷Fmax。bhylhFFxbFFzx3/12335014.4366zzIbhhimmAbh1131 2138.614.43 10zli3/1233308.6666yyIhbbimmAbh2230.5 2115.58.66 10yli解：解：(2)

21、 若压杆在若压杆在xz平面内失稳，则杆端约束条件为两端固定，平面内失稳，则杆端约束条件为两端固定，长度系数长度系数 2=0.5，截面惯性半径截面惯性半径则则柔度柔度则则柔度柔度(1) 若压杆在若压杆在xy平面内失稳，则杆端约束条件为两端铰支，长平面内失稳，则杆端约束条件为两端铰支，长度系数度系数 1=1，截面惯性半径截面惯性半径bhylhFFxbFFzx 由于由于 1 2，因此该杆因此该杆将将在在xy平面内失稳平面内失稳。此时。此时 = 1=138.6 P，该杆属于大柔度杆，应采用欧拉公式计算该杆属于大柔度杆，应采用欧拉公式计算其临界应力。其临界应力。2211223.142 10102.7MPa138.6crE 则：则：6630 50 10102.7 1051.35KN3crcrcrstststFAb hFnnn 故：压杆可承受的最大工作载荷为故：