第12章 自然对流边界层-by皮冬

1、第十二章第十二章 自由对流边界层自由对流边界层指导老师：程晓舫教授指导老师：程晓舫教授小组成员：皮冬小组成员：皮冬 本章内容本章内容 自然对流的概念 自然对流边界层方程组 相似性讨论 等温垂直平板层流自然对流相似解 本章小结 自然对流的概念自然对流的概念 在重力场、离心力场或其他力场的作用下，由于流体的温度差或（和）浓度差形成密度差和浮升力，使流体产生流动的现象称为自然对流自然对流。 自然对流中属于作用在密度梯度上的体积力体积力引起的一种浮力诱发运动，它不同于强迫对流，因此在描述自由对流边界层的微分方程时，特别不能把密度密度这个物性定义为常数。 自然对流边界层方程组自然对流边界层方程组0yvx

2、uyuyxPXyuvxuuu2yuytkySxPuPytvxtutc质量方程含有质量方程的动量方程形式为含有质量方程、动量方程的能量方程形式为 自然对流边界层方程组自然对流边界层方程组 考虑由浮力驱动的层流边界层流动，假设二维、稳态、无二维、稳态、无内热源、内热源、重力作用在负负x方向方向； 动量方程中体积力体积力不能忽略，体积力可表示为 ； 与强迫对流边界层方程相比的差异在于：密度密度是变化变化的，且表现为温度的函数； 由于流速不高，故而可以忽略忽略能量方程中粘性耗散项粘性耗散项的影响。gX 浮力的影响仅限于动量方程！压力梯度项 在动量方程中被保留，但在能量方程中却被忽略。xP 考虑上述理由

3、，在定常、变物性（密度）、无内热源条件下二维自然对流边界层三方程如下所示：质量方程：0yvxu动量方程：uuPuuvgxyxyy 能量方程：tttcucvkxyyy自然对流边界层方程组自然对流边界层方程组 自然对流边界层方程组自然对流边界层方程组对上述边界层方程作进一步处理 关于动量方程中的压力梯度项：压力梯度可根据边界层外势流区求得，由于自然对流边界层外的流体是静止的，于是由流体静力学流体静力学可知： gxP其中 为势流区流体的密度。因此动量方程中的压力项和体积力项可合并成 ，即单位容积流体的浮升力。g 如果密度变化只是(或主要)由温度变化引起的，由容积热膨胀系数的定义111()ptttt

4、()ttBoussinesq近似 为了对边界层方程式进一步简化，引入自然对流中的Boussinesq假定，主要包含以下两方面的内容：（1）密度变化对流体动力学的影响只通过动量方程中的重力项来完成。各方程其他项中出现的密度都假定是常数，且等于 。（2）介质热物性 的变化对流场的影响不大，可以假定是常数。自然对流边界层方程组自然对流边界层方程组,k c于是关于自然对流边界层三方程的最终形式如下： 自然对流边界层方程组自然对流边界层方程组质量方程：0uvxy22uuuuvgttxyy22tttuvaxyy动量方程：能量方程：其中运动粘性系数 ，导温系数ac 相似性讨论相似性讨论 同受迫对流一样，对控

5、制方程无量纲化可求得自然对流流动和传热的无量纲参数。引入2*2*200*Re1*yutuLttgyuvxuuL2*2*PrRe1ytytvxtuL浮力的直接结果Lttgu)(0202/1230/)(ReLttgL令 相似性讨论相似性讨论习惯上把雷诺数的平方定义为格拉晓夫数格拉晓夫数2322/1202)()(RetxgxtxgxuGrxx格拉晓夫数格拉晓夫数表征自然对流状态下浮升力与粘性力的比值， 雷诺数雷诺数 表征受迫对流状态下惯性力与粘性力的比值。格拉晓夫数（准确地说是 ）在自然对流过程中的作用相当于雷诺数 在受迫对流过程中的作用，其大小能确定边界层的流动状态。2/ 1xGr)Re(Pr,x

6、xfNu )(Pr,xxGrfNu 等温竖壁层流边界层方程组的自相似性解垂直等温表面层流自然对流垂直等温表面层流自然对流图1 热的垂直平板上边界层的发展在求解过程中要引入以下形式的相似参数进行变量代换 xHy 4/1)4(1xGrxxH其中， xHyxHyxxHyx tt0 垂直等温表面层流自然对流垂直等温表面层流自然对流为了达到分离变量的目的，以定义如下的流函数流函数表示速度分量 xGFyx,其中 ， 4/1)4(4xGrxG x速度分量y速度分量GHFHGFyyu()vG FGFyHG FyGH Fx 无量纲温度 tttttxttt00 垂直等温表面层流自然对流垂直等温表面层流自然对流 (

7、)()()uH GFHG FHGFyHH GHG FyH HG Fx 2uH GFy232uH GFy 22002200000000002000111)const)(1)const(111yttxtyttxtyyyyyttxtyxtxttxtxtdxdtxttxtdxdttxttttxtxttxttxtdxxdttttxtxtx；）（ 垂直等温表面层流自然对流垂直等温表面层流自然对流 22yuttgyuvxuu0223()gttG HGGFFFFH HHHH G022ytckytvxtu0GPrFH动量方程能量方程 垂直等温表面层流自然对流垂直等温表面层流自然对流 4/1)4(4xGrxG )

8、(41)4(14/1xGxGrxxHx 324201344xdG xGrGgxttdx 3314443333444444xxxxxGrGrGrGrGrG xxxxx 14222111314441616xGrddHG xG xG xG xdxxdxxxxx 垂直等温表面层流自然对流垂直等温表面层流自然对流 0Pr30232 FFFFF非线性常微分方程非线性常微分方程无穷大的边界条件不好处理上述常微分方程组没有解析解，只能获得数值解数值解。 垂直等温表面层流自然对流垂直等温表面层流自然对流 无量纲速度分布 垂直等温表面层流自然对流垂直等温表面层流自然对流 无量纲温度分布 垂直等温表面层流自然对流垂

9、直等温表面层流自然对流 根据相似性参数的定义，从上图中可以确定对应于任意x和y值的u和t的值。同时，上图还可以用于推导合适的传热关系式传热关系式。于是，局部自然对流的换热系数和努谢尔特数分别为： 41414(Pr)40 xxxxwwxGrgGrkxhNuttqh由导热的傅立叶定律得壁面热流： 04141xwwwwwGrxttkyttkytkq 垂直等温表面层流自然对流垂直等温表面层流自然对流 414121PrPr2Pr215Pr243xxGrNu微分精确解：积分精确解：41412Pr952. 0Pr508. 0 xxGrNu2131RePr332. 0 xxNu 受迫对流微分精确解： 湍流的影响湍流的影响* 自然对流边界层不局限于层流，同受迫对流一样，其中也可能发生流体力学不稳定性，即可能出现从层流向湍流的过渡，其与流体浮力和粘性力的相对大小有关，习惯上用瑞利瑞利数数（Raleigh number）表示过渡发生的条件。对于垂直平板，临界瑞利数瑞利数为930,10)(PrxttgGrRacxcx适用于湍流的关系式主要依靠实验结果获得 本章小节本章小节 1.对流的驱动力有两类：来自于流体外部力的驱动，这类 对流称为受迫对流；来自于流体内部力的驱动，这类对 流称为自然对流。 2.在自然对流微分方程的表达中，体积力不可忽略，并且密度必须考虑为变物性。 3.在自然对流微分方程组的处理中，作