基于对角隐式龙格库塔法的新型电子式电流互感器数字积分算法的研究

1、基于对角隐式龙格库塔法的新型电子式电流互感器数字积分算法的研究叶远波1，黄太贵1，吴保文2，何红星 2 1.国网安徽省电力有限公司 安徽合肥230022；2.安徽送变电工程公司 安徽合肥 230022； 摘要：数字积分器是基于空心线圈的电子式电流互感器的重要环节之一。对此文中基于对角隐式龙格库塔法提出了一种新的拓展梯形数字积分算法。为提高新型数字积分算法的积分精度，采用复合积分并推导出了不同采样频率下的通用新型数字积分器的传递函数。由于新型数字积分器的传递函数中含有分数延迟项，因此采用FIR和IIR两种滤波算法对其进行仿真分析。Matlab仿真结果表明，新型数字积分器在低频段的性能要优于梯形数

2、字积分器，可为基于Rogowski线圈的电子式电流互感器的积分环节提供一种全新的设计方法。关键词：数字积分器；对角隐式龙格库塔法；分数延迟；电子式电流互感器New digital integrator schemes for electronic current transformer based on diagonally implicit Runge-Kutta methods YE Yuanbo 1，HUANG Taigui1 ,WU Baowen2 HE Hongxing2 XIANG Zhonghua3 ，CHEN Xiaodong3 (1.State Grid Anhui Elec

3、trical Power limited Company, hefei 230022, Anhui Province China;2.State Grid Anhui Electrical Power Transmission &Transportation Company, hefei 230022, Anhui Province China；)Abstract: The digital integrator is one of the important aspects of an electronic current transformer based on an air coi

4、l. In this paper, a new extended trapezoidal digital integration algorithm is proposed based on the diagonally implicit Runge-Kutta method. In order to improve the integration accuracy of the new digital integration algorithm, composite integration is used to derive the transfer function of a univer

5、sal new-type digital integrator at different sample frequencies. Since the transfer function of the new digital integrator contains a fractional delay term, it is simulated using FIR and IIR filter algorithms. The simulation results by Matlab show that the performance of the new digital integrator i

6、s better than that of the trapezoidal digital integrator in the low frequency range, which can provide a new design method for the integral part of the electronic current transformer based on Rogowski coil.Key words: digital integrator; diagonally implicit Runge-Kutta method; fractional delay; elect

7、ronic current transformer1 引言空心线圈电子式电流互感器因具有优良的传变特性，近年来在电力系统的电能计量、测量和保护中得到广泛的应用1-3。其积分环节则将空心线圈输出的微分信号经过数字积分还原为与一次侧电流成比例的电流信号1-2。常见的数字积分器多采用矩形积分、梯形积分和辛普森积分等数字积分算法实现。这些算法都比较成熟，基于这些数字积分算法也衍生出了一些改进的数字积分算法4-6。文中基于对角隐式龙格库塔法推导得出一种具有一次代数精度的类梯形数字积分算法。由于新型数字积分算法的传递函数中含有分数延迟部分，故采用2种滤波算法以实现其具体功能。同时为提高新型数字积分算法的积

8、分精度，采用复合积分手段并导出了其通用的传递函数。据此新型数字积分算法设计的高精度数字积分器可为基于Rogowski线圈的电子式电流互感器的积分环节提供一种全新的设计方法。2 数字积分算法2.1 常用的积分算法考虑有限的积分区间，数值积分问题就是如何得到下述表达式的近似值7，即 (1)上式(1)中，设的数值解为，其值常用的计算方法包括牛顿科茨积分算法、龙贝格算法以及高斯算法等等。其中应用最多的是牛顿科茨积分公式，其典型几种的积分规则如下8：1 梯形积分公式， (2)2 1/3辛普森公式， (3)3 3/8辛普森公式， (4)4 Boole公式(5)牛顿科茨积分算法可以达到很高的积分精度，但是由

9、于数值不稳定，在实际中高阶数值牛顿科茨积分公式很少使用。相反，采用复合积分的手段，低次代数精度的积分公式得到了广泛的应用9。2.2 新的积分算法在数值计算领域，有一类数值积分方法被称为Runge-Kutta方法。通常s级Runge-Kutta积分算法10的通式如下 (6)上式(6)中，；称为积分内节点；为内节点的积分权重。为了简便及数值积分的需要，将式(6)用如下的Butcher表来表示 (7)上式(7)中，；。×表示省略的权系数矩阵。显式RK方法由于稳定性不足，因而运用受到限制，全隐式RK方法通常稳定较好而被广泛采用。对角隐式RK方法(DIRK)是一类比较特殊且有限的高精度、强稳定

10、性隐式RK方法10。因此，文中采用DIRK来设计高精度的数字积分器。3 数字积分器在z域的推导遵照数值积分的习惯，称式(6)为s点RK求积公式。文中主要研究s点DIRK求积公式构造的数字积分器的性能。下面主要推导几种常见的基于s点DIRK求积公式的数字积分传递函数。s点p次代数精度的DIRK求积公式以下简记为s/p-DIRK。当s=2时，一种2/p-DIRK求积公式如下10：， (8)不难验证型2/1-DIRK求积公式的代数精度p=1。将式(8)代入到式(6)中，并将离散时间序列f(t)用x(n)来表示，型2/1-DIRK积分器输出记为y(n)，并记采样周期T=h。则可得到如下的差分方程 (9

11、)设初始状态为零，上式两边求z变换，经整理得到型2/1-DIRK求积公式的无限冲激响应(IIR)数字积分器的传递函数如下 (10)下面不经推导，直接给出另一种2/p-DIRK求积公式的IIR数字积分器的传递函数。当s=2时，另一种2/p-DIRK求积公式如下10：， (11)为了区别于式(8)，记式(11)为型2/1-DIRK求积公式，且其代数精度p=1次。型2/1-DIRK求积公式的IIR数字积分器的传递函数如下 (12)已知几种典型IIR积分器的传递函数6：1 矩形积分器 (13)2 梯形积分器 (14)3 辛普森积分器 (15)将上述几种典型积分器的传递函数式(15)(16)与式(10)

12、和(12)对比可知，2点DIRK求积器的传递函数分子中均含有一个分数延时项，d为纯小数。为此，在式(10)两边同乘以一个整数延时项，得到一个新的传递函数如下 (16)同样地，对式(12)有 (17)对于式(16)(17)，需要采用一定的数学工具来逼近分数延时项，其中。下文中将采取2种滤波算法来近似逼近，并在此基础上研究型2/1-DIRK积分器和型2/1-DIRK积分器的频率响应特性。当时，现有的DIRK求积公式均无实际应用价值。4 采用两种滤波算法的数字滤波器4.1 FIR滤波算法为实现非整数延迟，采用下列截断的Lagrange插值级数来逼近，有11 (18)上式(18)中，为滤波系数；滤波阶

13、数满足。的计算公式如下 (19)在式(10)中乘以一个整数延时项，其中用式(18)来近似。当N=5，L=11时，型2/1-DIRK积分器、梯形积分器以及理想积分器的幅值响应和相位响应对比曲线见图12所示。图3是此条件下型2/1-DIRK积分器和梯形积分器相对于理想积分器的绝对幅值误差曲线。图1 三种数字积分器的幅值响应曲线(FIR)Fig.1 The amplitude response curves of three digital integrators(FIR)图2 三种数字积分器的相位响应曲线(FIR)Fig.2 Phase response curves of three digit

14、al integrators(FIR)图3 二种数字积分器幅值响应误差曲线(FIR)Fig.3 The amplitude response error curves of two digital integrators(FIR)从图13可知，此条件下型2/1-DIRK积分器的幅值响应特性要好于梯形积分器，但是当归一化奈奎斯特频率大于0.5以后，其相位响应特性明显要差于梯形积分器。4.2 IIR滤波算法下面采用IIR滤波算法来逼近分数延时项，则有11 (20)上式(20)中，的计算公式如下 (21)上式(21)中，为二项式系数；。在式(10)中乘以一个整数延时项，其中用式(18)来近似。当N=

15、5，时，型2/1-DIRK积分器、梯形积分器以及理想积分器的幅值响应和相位响应对比曲线见图45所示。图6是此滤波算法下型2/1-DIRK积分器和梯形积分器相对于理想积分器的绝对幅值误差曲线。图4 三种数字积分器的幅值响应曲线(IIR)Fig.4 The amplitude response curves of three digital integrators(IIR)图5 三种数字积分器的相位响应曲线(IIR)Fig.5 Phase response curves of three digital integrators(IIR)图6 二种数字积分器幅值响应误差曲线(IIR)Fig.6 Th

16、e amplitude response error curves of two digital integrators(IIR)将图46和图13对比可知，对于型2/1-DIRK积分器而言，IIR滤波算法在归一化奈奎斯特频率区间的逼近效果要优于FIR滤波算法。但是，总体上看FIR滤波算法要优于IIR滤波算法。5 复合两点DIRK数字积分器5.1 复合两点DIRK求积公式显然，若积分区间较大，采用式(8)或式(11)直接计算所得值的精度是不足的。为此将积分区间等分为等份，记分点为，。新步长。在每个小区间上应用式(8)，即 (22)将式(22)所求得近似值累加求和导出下式： (23)上式即为复合型

17、两点DIRK求积公式。5.2 复合两点DIRK求积公式在z域的推导取如图所示的离散时间信号序列x(m)，将离散时间序列的采样时间T减小为T，则信号x(m)变为。记复合型两点DIRK求积公式的输出信号为y(m)，则有 (24)对上式进行z变换得到 (25)从而可以得到复合型两点DIRK求积公式在z域的传递函数如下 (26)上式(26)中，当n=1，同样采用FIR滤波算法并取N=5，L=10。在此条件下，复合型两点DIRK积分器的频率响应特性如图78所示。图7 复合两点DIRK积分器的幅值响应误差曲线(型)Fig.7 The amplitude response error curve of co

18、mposite two-point DIRK integrator (type)图8 复合两点DIRK积分器的幅值响应误差曲线(型)Fig.8 The phase response curve of composite two-point DIRK integrator (type)显然，从图7中可以看出采样频率加倍后型两点DIRK积分器的幅值响应误差显著下降，可以预见当n继续增加复合型两点DIRK积分器的幅值响应曲线将非常接近于理想积分器的幅值响应曲线。但是从图8中复合型两点DIRK积分器的相位响应在高频段依旧较差。6 两点DIRK积分器的一点改进针对两点DIRK积分器的频率特性尤其是相频特

19、性在高频段较差，为此借鉴Al-Alaoui积分算法12，将型两点DIRK积分和矩形积分的传递函数按照1:3的权重重新组合，得到下式 (27)将式(10)和(13)代入到上式中，则有 (28)为实现式传递函数(28)，采用FIR滤波算法，并取N=5，L=11。在此条件下，得到型Al-Alaoui积分算法的频率特性如图910所示。图9 复合两点DIRK积分器的幅值响应误差曲线(改进型)Fig.9 The amplitude response error curve of composite two-point DIRK integrator (improvedtype) 图10 复合两点DIRK积

20、分器的相位响应曲线(改进型)Fig.10 The phase response curve of composite two-point DIRK integrator (improvedtype)从图9种可以看出型Al-Alaoui积分器的幅值响应误差在高频段相对于型两点DIRK积分器而言显著降低；从图10中可以看出型Al-Alaoui积分器在低频段的相位响应几乎是线性的。为改善相位响应，由于此时其标准的奈奎斯特频率响应为，则对型Al-Alaoui积分算法设计一个分数延迟d应满足13，则，即分数延迟改进后的型Al-Alaoui积分算法的传递函数如下： (29)经延迟改进后，新的传递函数在低频

21、段的相位响应有所改善，但是高频段依旧无法改善。究其原因在于FIR滤波算法中当N=5所带来的逼近误差，因而难以消除。7 仿真测试为了验证型2/1-DIRK积分器和型2/1-DIRK积分器的积分效果，采用Matlab/Simulink软件平台搭建相应积分器的仿真模型。如图11所示为根据式(10)设计的型数字积分器的仿真系统。其中，Sine Wave 模块为一个离散的正弦时序信号，用它来模拟电子式电流互感器采集的离散电流信号；其幅值为A，初相位为，直流偏置为0，角频率为100；Discrete-Time Integrator1 和2均为后向欧拉法积分器；Variable Fractional Del

22、ay1 为分数延迟环节；Add 为加法器；Scope为示波器。图12所示为根据式(12)设计型数字积分器的仿真系统。图12中Sine Wave 2模块和图11中Sine Wave 模块参数设置保持一致，其它环节同图11。仿真中，系统的采样频率为一个周波采集32点。理论上，此时2个系统的输出的结果应为一个离散的正弦时序电流信号，其幅值为1A，角频率为100；初相位为。图11 型数字积分器的仿真示意图Fig.11 A simulation diagram for digital integrator of -type 图12 型数字积分器的仿真示意图Fig.12 A simulation diag

23、ram for digital integrator of -type 为了比较两种新型积分器的性能优劣，将它们输出的积分结果与常用的梯形积分器(TR)相对比，仿真对比结果如图13所示。进一步地，将这3种积分器输出信号与真实的结果作绝对误差，获得的误差曲线如图14所示。从图1314中可以看出，在低阶插值分数延时的情况下，型2/1-DIRK积分器和型2/1-DIRK积分器的积分效果与梯形积分器保持精确地一致。图13 三种数字积分器的仿真结果Fig.13 Simulation results of three digital integrators图14 三种数字积分器的积分误差曲线Fig.14

24、Numerical integration error curves of three digital integrators8 结论本文基于两点DIRK积分算法提出了一种类梯形积分器特性的新型数字积分器。通过采用2类滤波算法具体实现单一或复合DIRK数字积分算法的分数延迟项。针对DIRK数字积分算法的相位响应在高频段效果不佳，采用了Al-Alaoui积分算法和分数延迟进行改进。从文中不难得出如下的结论：1) 当采用低阶的滤波算法(N=0)对DIRK数字积分算法进行实现时，所得到的传递函数与梯形数字积分算法是一致的。通过Matlab/Simulink进行仿真测试的结果验证这一结论；2) 当采用

25、高阶的滤波算法(例如N=5)对DIRK数字积分算法进行实现时，所得到的传递函数的幅值响应要明显优于梯形数字积分算法，但其相位响应较差；3) 复合DIRK数字积分算法的低频段的频率特性较好，但高频段的相位响应较差；4) 采用Al-Alaoui积分算法的思路改进DIRK数字积分算法所的新算法的幅值响应要明显优于梯形数字积分算法，但采用分数延迟的改进手段难以奏效。5) 文中提出的新型积分器可为基于Rogowski线圈的电子式电流互感器的积分环节设计提供一种新的思路。参考文献1 宋涛. Rogowski线圈电流互感器中的高精度数字积分器技术研究J.高电压技术,2015,41(1):237-244.SO

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