一元二次方程及其应用

1、一元二次方程及其应用【课前热身】1 方程3x(x 10的二次项系数是 _ ，一次项系数是 _，常数项是 _2关于 x 的一元二次方程(n +3)x卩卡+(n 1)x + 3n = 0中，则一次项系数是 _.3. 一元二次方程x22x -3 =0的根是4.某地 2005 年外贸收入为 2.5 亿元，2007 年外贸收入达到了 4 亿元，若平均每年的增长率为 x，则可以列出方程为 _ .5. 关于x的一元二次方程x2-5x p2- 2p 5= 0 的一个根为 1,则实数p=()A.4B .0或2C .1D . -1【考点链接】1.一元二次方程：在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是_的

2、方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式是 _._ 其中_ 叫做二次项， _叫做一次项， _ 叫做常数项； _ 叫做二次项的系数，_叫做一次项的系数2. 一元二次方程的常用解法：(1)直接开平方法：形如x2二a(a _ 0)或(x - b)2二a(a _ 0)的一元二次方程，就可用 直接开平方的方法(2)配方法：用配方法解一元二次方程ax2 bx c =o a = 0的一般步骤是：化二 次项系数为 1,即方程两边同时除以二次项系数；移项，使方程左边为二次项和 一次项，右边为常数项，配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，化原方程为(x m)2二n的形式，如果是非负数，即n一0,就可以用直

3、接开平方求出方程的解.如果 nv0,则原方程无解.(3)公式法：一元二次方程ax2bx 0(a 0)的求根公式是2a(4)因式分解法：因式分解法的一般步骤是：将方程的右边化为 _:将方程的左边化成两个一次因式的乘积；令每个因式都等于0,得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解3.易错知识辨析：(1)判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断， 注意一元二次方程一般形式中a = 0(2) 用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式系数为一 1,贝 U m 的值为()(3)用配方法时二次项系数要化1.(4)用直接开平方的方法时要

4、记得取正、负 【典例精析】例 1 选用合适的方法解下列方程：(1)(x 4)2二5(x 4)；2 2(3)(x 3)=(1- 2x)；例 2 已知一元二次方程(m-1)x27mx m23 -0有一个根为零，求m的值.例 3 用 22 长的铁丝，折成一个面积是 30cm2的矩形，求这个矩形的长和宽 .又问：能否折 成面积是32cm2的矩形呢？为什么？【中考演练】1 .方程(5x 2) (x 7) = 9 (x 7)的解是_.322._ 已知 2 是关于x 的方程-x 2 a = 0 的一个解，则 2a 1 的值是_ .23.关于y的方程2y2 3py -2p = 0有一个根是y = 2，则关于x

5、的方程x2-3二p的解为4. 下列方程中是一元二次方程的有()2 9 x2=7 x=8 3y(y-1)=y(3y+1) x2-2y+6=0342( x2+1)=. 102-x-仁 0 xA. B. C. D. 5. 一元二次方程(4x + 1)(2x 3) = 5x2+ 1 化成一般形式 ax2+ bx + c= 0(a 0)后 a,b,c 的值为A. 3, 10, 4B. 3, 12, 2 C. 8, 10, 2 D. 8, 12, 42(2)(x 1) =4x；2(4)2x -10 x = 3.系数为一 1,贝 U m 的值为()6.兀次方程 2x2 (m + 1)x + 1 = x (x

6、 1)化成一般形式后次项的系数为1,次项的7.解方程2(1)x 5x 6= 0 ;(2) 3(3) 4x2 8x+ 1 = 0 (用配方法);&某商店 4 月份销售额为 50 万元，第二季度的总销售额为182 万元，若 5、6 两个月的月增长率相同，求月增长率.一元二次方程根与系数的关系21、 如果方程 ax +bx+c=0(a丰0)的两根是 X1、X2,那么 Xj+X2=_ , X1-X2=_2、 已知X1X2是方程2X2+3X4=0 的两个根，那么：X1+X2=_ ;X1X2=_丄丄X1X2 _；X21+X22=_；(X1+ 1)(X2+1)=_； IX1X2|=o3、 以 2 和

7、 3 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是_o4、 如果关于 x 的一元二次方程 x2+2x+a=0 的一个根是 1 2，那么另一个根是_, a 的值为_o25、 如果关于 x 的方程X+6x+k=0 的两根差为 2,那么 k=_o6、 已知方程 2x2+mx 4=0 两根的绝对值相等，则 m _ 。7、 一元二次方程 px +qx+r=O(p 工 0)的两根为 0 和一 1，则 q ： p=_ 。8、 已知方程 X2 mx+2=0 的两根互为相反数，则 m=_。9、 已知关于 x 的一元二次方程(a21)X2(a+1)x+仁 O 两根互为倒数，则 a=_。10、已知关于 x 的一元二次方

8、程 mX4X 6=0 的两根为X1和X2，且X1+X2=2,则 m _X1X2(X1+X2)=_ 。1311、 已知方程3X2+X仁 0,要使方程两根的平方和为9，那么常数项应改为 _ 。A. 1B. 1C. 2D. 2x2 4x 1 = 0 (用公式法);(4)X2_2、2X+1=0.12、 已知一元二次方程的两根之和为5,两根之积为 6，则这个方程为 _。13、 若a、3为实数且I a+3 31+(2 -a 3)2=0,则以a、3为根的一元二次方程为_ 。(其中二次项系数为 1)14、已知关于 x 的一元二次方程 X2 2(m 1)x+m2=0。若方程的两根互为倒数，贝Vm _ ;若方程两

9、根之和与两根积互为相反数，则m _ 。15、 已知方程 x2+4x 2m=0 勺一个根a比另一个根3小 4,贝U a=_；3=_ ；m _。16、已知关于 x 的方程 x2 3x+k=0 的两根立方和为 0,则 k=_113-十-=17、 已知关于 x 的方程 x2 3mx+2(m- 1)=0 的两根为 X1、X2,且x1x24，则 m=_。18、关于 x 的方程 2x2 3x+m=0,当_时，方程有两个正数根；当 m_时,方程有一个正根，一个负根；当m_时，方程有一个根为 0。19、若方程 x2 4x+m=0 与 x2 x 2m=0 有一个根相同，贝Vm _。220、 求作一个方程，使它的两

10、根分别是方程x +3x 2=0 两根的二倍，则所求的方程为_。21、一元二次方程 2x2 3x+1=0 的两根与 x2 3x+2=0 的两根之间的关系是 _。222、 已知方程 5x +mx- 10=0 的一根是一 5，求方程的另一根及 m 的值。23、已知 2+3是 x2 4x+k=0 的一根，求另一根和 k 的值。24、已知 X1和 X2是方程 2x2 3x 1=0 的两个根，禾U用根与系数的关系，求下列各式的值：丄丄2 2X1X225、已知 X1和 X2是方程 2x2 3x 1=0 的两个根，禾U用根与系数的关系，求下列各式的值：“2 2、2(X1x2)26、已知 X1和 X2是方程 2x2 3x 1=0 的两个根，禾U用根与系数的关系，求下列各式的值：X1 X227、已知 X1和 X2是方程 2x2 3x 1=0 的两个根，禾U用根与系数的关系，求下列各式的值：2X128、已知 X1和 X2是方程 2x2 3x 1=0 的两个根，禾U用根与系数的关系，求下列各式的值：x51 x22+x21 x5229、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+ 6和 2 6。30、已知两数的和等于 6,这两数的积是 4，求这两数。31、已知：a、3是关于 X 的二次方程：(m 2)x