弹簧质量阻尼系统模型

1、自动控制原理综合训练项目题目：关于MSD系统控制的设计1设计任务及要求分析31.1初始条件32.2要求完成的任务31.3任务分析42系统分析及传递函数求解42.1系统受力分析42.2传递函数求解923系统开环传递函数的求解93. 用MATLAB对系统作开环频域分析103.1开环系统波特图103.2开环系统奈奎斯特图及稳定性判断124. 系统开环频率特性各项指标的计算14总结16参考文献17弹簧质量阻尼器系统建模与频率特性分析1设计任务及要求分析1.1初始条件已知机械系统如图。y图11机械系统图1.2要求完成的任务(1) 推导传递函数Y(s)/X(s) , X(s)/P(s),(2) 给定m =

2、 0.2g,b> = 0.6N s/ink =8N/m,k = 5N/m > 以 p 为输入u(t)(3) 用Matlab画出开环系统的波特图和奈奎斯特图，并用奈奎斯特判据 分析系统的稳定性。(4) 求出开环系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度。(5) 对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须进行原理分 析，写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果，并包含Matlab源 程序或Simuliiik仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。1.3任务分析由初始条件和要求完成的主要任务，首先对给出的机械系统进行受力分析, 列出相关的微分方程，对微分方程做拉普拉斯变换，将初始条件屮给定

3、的数据代 入，即可得出Y(s)/X(s), X(s)/P(s)两个传递函数。由于本系统是一个单位负 反馈系统，故求出的传递函数即为开环传函。后在MATLAB中画出开环波特图 和奈奎斯特图，由波特图分析系统的频率特性，并根据奈奎斯特判据判断闭环系 统位于右半平而的极点数，由此可以分析出系统的稳定性。最后再计算出系统的 截止频率、相角裕度和幅值裕度，并进一步分析其稳定性能。2系统分析及传递函数求解2.1系统受力分析单白由度有阻尼振系的力学模型如图21所示，包括弹簧、质量及阻尼器。 以物体的平衡位置0为原点，建立图示坐标轴X。则物体运动微分方程为nix= exkx (2-1)C1T形式，为式中:-&

4、amp;为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。2-1将上式写成标准n)x+ cx+ kx = 0 (2-2 )令p3=-, 211 = -,则上式可简化为inmx+2iix+ p2 = 0 (2-3)这就是有阻尼|由振动微分方程。它的解可取x=e其中s是待定常数。代入(2-1)式得(s + Zns+peHhO,要使所有时间内上式都 能满足，必须s2 + 2ns+p2=O,此即微分方程的特征方程，其解为勺二=-n ± Jif _ p? (2-4 )于是微分方程(2-1)的通解为x= C1e5lt + c2e5lt = e*(C刊 + c2丁円)(2-5 )式中待定常数5与c2决定

5、与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式是实数、零、还是虚数。对应的根S与S2可以是不相等的负实根、相等的负实根或复根。若S】与S3为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系 数，记为Cc即cc=2mPo引进一个无量纲的量Q ,称为相对阻尼系数或阻尼比。/ = n/ p = c/2mp= c/cc (2-6)当i】>p或：>1,根式屈二P7是实数，称为过阻尼状态，当nvp或<1,根式称为临界阻尼状态。现图22Jd-P?是虎数,称为弱阻尼状态，当n=p,即<=1,分别讨论三种状态下的运动特性。1. 过阻尼状态此时C >1，即- p vn, (b)式中S1及S2均为

6、负值,则0及尹是两根下降的指数曲线,故(22)式所表示的是两条指数曲线之和，仍按指数衰减.不是振 动。图3-2所示为C!>c2,Ci<0时的情况。2. 临界阻尼状态此时/=1, (b)式中si=S2 = -n=-p,特征方程的根是重根，方程(21)的另一解将为te pt,故微分方程(2-1)的通解为 x= (Ci + c2t) e m (2-7)式中等号右边第一项声是一根下降的捋数曲线，第二项则可应用麦克劳林级 数展开成以下形式：c te_p* = 6 =§ (7-8)2_ 严 l/t+ p+ p?t/2!+pf/3!+ pV/n!从上式看出，当时间t增长时，第二项c?t

7、eF也趋近于零。因此(c)式表示的 运动也不是振动，也是一个逐渐回到半衡位置的非周期运动。3. 弱阻尼状态此时p>ii,或了<1。利用欧拉公式e±7n,-P,t = e±vlp,-n,t _ 8s Jp2 -n2t ± i sill Jp2 -irt (2-9)可将(2-2)式改写为x = e_n,(Ce”、Kt *= e-rt (D cosjplft + D2 sin y/p2-n2t)(21Q)或x= Ae-nl sin(7p2 -n2t + <p) (1-11)令Pd = JP? _，则x = Ae_rt siii(pdt 4-cp) (2

8、-12 )式中A与卩为待定常数，决定于初始条件。设t=0时，x=xo，x= Xq，则可求得A=Jx； + (匕勞俗叨(243)VPdXq+IIXo将A与卩代入(24)式，即可求得系统对初始条件的响应，由式(213)可知，系统振动己不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线:Ae-rt之内随时间不断衰减的衰减振动。如图33所示。图23这种衰减振动的固有圆频率、固有频率和周期分别为式中P、f、T是无阻尼自由振动的固有圆频率、固有频率和周期。由上可见，阻尼对自由振动的影响有两个方面：一方面是阻尼使自由振动的 周期增大、频率减小,但在一般工程问题中n都比P小得多，屈于小阻尼的情况。 例：=n/p=0.

9、05 时，fd=0.9990f,Td=1.00125T：而在=0.20 吋，fd=0.98f,Td=1.02T, 所以在阻尼比较小时，阻尼对系统的固有频率和周期的影响可以略去不计，即可 以近似地认为有阻尼白由振动的频率和周期与无阻尼由振动的频率和周期相 等。另一方面，阻尼对丁系统振动振幅的影响非常显著，阻尼使振幅随着时间不 断衰减，其顺次各个振幅是：t=ti 时，Ai=Ae-°； t=ti+T°时，A2=AeM+Ti). t=ti+2Td 时，A3=Ae-+2T*),.o而相邻两振幅之比是个常数。即= Aj /= enia(2-16 )(2-17)式中H称为减幅系数或振幅衰

10、减率，1】称为衰减系数，n越大表示阻尼越大，振 幅衰减也越快。当：=0.05时，“ = 1.37, A2=Ai/1 37=0.73Ai，每一个周期内振 幅减少27%,振幅按儿何级数衰减，经过10次振动后,振幅将减小到初值的4.3%。 可见，衰减是非常显著的。在工程上，通常取(2-6)式的口然对数以避免取指 数的不便，即5=Ln(Aj /A)|1) = nT式中6称为对数减幅或对数衰减率。将入=2兀/胪左代入，得6 = 2加1 / Jp? _ n? =2开g/yjl-了(2-18)当 ：1时，62ti<(2-19)因为任意两个相邻的振幅之比是一个常数eTd,即冲见=钉 =钉0 =/事=en

11、“ = e*5故有A /= (A / A)(A /) g /»!)= e"因此对数减幅6也可表达为(2-20)此外，根据(3-6)式，可以用实测法來求得系统的阻尼系数。因为(223)(2-21)所以只要实测得出衰减振动的周期Td及相邻两次振幅內和Aj+i，即可计算出系 统的阻尼系数C。根据弹赞和阻尼器的特性可得以下关系式:Fki (t)=kix(t),Fk2(t)=k2x(t) y(t),Fb2(t)=b2dy(t)/dt设不加p(t)时，质量块处于平衡状态，此时x=0, y=0,即x(0)=0, y(0)=0, 根据受力平衡方程，在不计重力时，可得出以下方程：k2x(t)

12、-y(t)=b2ciy(t)/dt(2-22)乂根据牛顿第二定律，有方程：md-x(t)/dtJ=p(t)-Fki (t)-Fk2(t)-Fb2(t)2.2传递函数求解(1) 求Y/X：对式(21)进行拉普拉斯变换，得：k2X(s)-k2Y力严丫，化简得传递函 数：Y /X(s)=k2/(b2s+k2)(2-24)(2) 求 X(s)/P(s)：对式(22)进行拉普拉斯变换，得：ms2X国一k】X一2k：X一丫, 并将式(23)代入可解得传递函数：X /P(s)=(b s+k?)/mb2 Y+mk?丘也(ki +2k?) s+ki k? (2-25)已知条件为：给定m = 0.2g,b2 =0

13、.6N*s/m,k1 =8N/m,k3 =5N/m ,设 p(t)是输入u(t)的阶跃力。将所给参数代入传递函数式(23)和式(24)中，可求得具体的传递函数如下:Y(s)/X=5/(0.6s+5)(2-26 )X/P=(0.6s+5)/ (1.2*10A-4s3+10A-3s2+10.8s+40 )(2-27 )2.3系统开环传递函数的求解(1)对于 Y(s)/X(s)：由微分方程Y/X=5/(0.6s+5)可画出单位负反馈系统方框结构图如下：X (s)5/(0.6s+5)故开环传递函数为：G(S) =5/(0.6s+5)(2)对于 X(s)/P(s)：由微分方程 ms2X二P(s)-klX

14、(s)-2k2X(s) -Y(s)及 Y(s)/X(s)=k2/(b2s+k2)可 画出系统方框结构图如下：0.6s + 5P(s) .1.2 * 10_4s3 + 10_3s2 + 10.8s + 40 乂(寸 .故开环传递 G(s)=(0.6s + 5)/(1.2 * 10"4s3 + 10"3s2 + 10.8s + 40)3用MATLAB对系统作开环频域分析3.1开环系统波特(1)对于 Y(s)/X(s)： G (s) =5/(0.6s + 5)画波特图时采用的MATLAB语句如下：» num=5 ;den=(0.6.5 );» margin(n

15、um,den)行结果如图31%画系统的开环对数幅频、相频特性运Bode DiagramGm = Inf, Pm = -180 deg (at 0 rad/s)2030mp) apnw10101010Frequency (rad/s>S3P) s£10图3-1 Y(s)/X(s)的开环波特图(2)对于 X(s)/P(s):G(s)= (0.6s + 5)/(1.2 * 104s3 + 103s2 + 10.8s + 40)画波特图时采用的MATLAB语句如下：» num=0.6,5;den=(1.2 * 104,103,10.8,401);%画系统的开环对数幅频、相频特

16、性运» margin(iium,den)行结果如图32所示:20Bode DiagramGm Inf dB (at Inf rad/s) t Pm - 15 7 deg (at 308 rad/s)20o £(gp)1010 10 10Frequency (rad/s)10(署)oseudo o 1 82020图3-2 X(s)/P(s)的开环波特图3.2开环系统奈奎斯特图及稳定性判断(1) 对于 Y(s)/X(s)画奈奎斯特图时MATLAB语句如下:» num=5;» den=0.6,5;» nyquist(num,cien)运行结果如图33

17、所示:Nyquist DiagramReal Axis8 -O5 4 3 2 1 <5 o cso.a.0. 型总t一2 3 4 5 -o.q q-0.图3-3 Y (s) /X (s)开环奈奎斯特图开环传函G (S) =5/(0.6s+5),由于系统开环传递函数不存在右半平面的极点,故P=0,3从0变到+ 8时，系统的开环幅相曲线不能包ffl(-l.jO)点周数N=0, 则系统位于右半半面的闭环极点数为:Z=P2N=,故系统是稳定的。(2) 对于X/P(s)画奈奎斯特图时MATLAB语句如下:» num=0.6,5;» den=1.2 * 10一£ IO&

18、quot;3,10.&401;» nyquist(num,den)运行结果如图34所示:图34 X (s) /P (s)开坏奈奎斯特图开环传函 G3= (0.6s + 5)/(1.2 * 10"4s3 + 10一2 + 10.8s + 40),由于系 统开环传递函数不存在右半平面的极点，故P=0, 3从0变到+8时，系统的开 环幅相曲线不能包围(-1, j0)点周数N=0,则系统位于右半平而的闭环极点数 为：Z=P2N=0,故系统是稳定的。4.系统开环频率特性各项指标的计算(1)对于 Y(s)/X(s)： G (S) =5/(0.6s+5)计算各项频率指标时采用的M

19、A1TAB语句如下:» num=5 ; den=(0.6,5 );»in argin (num,den);»gm,pm,wcg,wq)=margin(num,den)计算幅值裕度gin(yo)、相位裕度pm( h()、穿越频率wcg(o)r0)、截止频率wcp(o)c0)。运行结果gn】 =Iiifpm = wcg =NaNwup =0由结果可知该系统幅值裕度为无穷，截止频率为0,相位裕度为180是正值，故 系统稳定。(2)对于 X(s)/P(s) :G(s)= (0.6s+5)/(1.2 * 10_4s3 + 10_3s2 + 10.8s + 40)计算各项频率

20、指标时采用的MATLAB语句如下：» mim=0.6;den=(1.2*10A-4,10A-3,10.8,40) » margin(num5cien);»gin,pm,wcg,wcp=iiiargin(num,den)计算幅值裕度gm(y0)相位裕度pm(ho)、穿越频率wcg(Dr0)截1上频率wcp(wc0)o运行结果gm =Iiifpm =15.6933wcg =Iiifwcp =307.8588由结果可知该系统幅值裕度为无穷，截止频率为3O8iad/s,相位裕度为15.7是正值，故系统稳定。总结木次课设是对一个弹赞质量阻尼器系统建模并进行频率特性分析。首先根据这个实际的机械系统的受