平面向量题型归纳

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持平面向量题型归纳向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】uurr1,向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB或a。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。uuur例：已知A（1,2）,B（4,2）,则把向量AB按向量a=（1,3）平移后得到的向量是uurr2 .向量的模：向量的大小（或长度），记作：|人8|或|2|。3 .零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0,注意零向量的方向是任意的；rruuu4 .单位向量：单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则|e|1。

2、（与AB共线的单uuu位向量是碑）；|AB|5 .相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；6 .平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a/b,规定零向量和任何向量平行。提醒：/相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；/两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；r/平行向量无传递性！（因为有0）;uuuuuur/三点A、B、C共线AB、AC共线；如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是（）uuruuiruuruuuruuurA.ABCDB.ABADB

3、DuuuruuuuuuruuuuuurC.ADABACD.ADBC0uuruuu7 .相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a、ABBA。rrrrrrrrrrrrrr例：下列命题：（1）若ab,贝Uab°（2）若ab,bc,贝Uac。（6）若a/b,b/c,rr4uuuuuruuuuur则a/c°（3）若ABDC,则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。其中正确的是题型1、基本概念1:给出下列命题:/若131=1,则a=b；/向量可以比较大小；/方向不相同的两个向量一定不平行;0；rrrr_，rr-rrrrrrrr-r/若a

4、=b,b=c,则a=c;/右ab,bc,则ac;/0a0;110a其中正确的序号是。2、基本概念判断正误：(1)共线向量就是在同一条直线上的向量。(2)若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。uuruuruuin若AB(4)四边形ABCD是平行四边形的条件是ABCD。HJLTCD,则A、B、C、D四点构成平行四边形。(6)因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。rrrrrr(7)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线。r r r r(8)若 ma mb ,则 a b。r r(9)若 ma na ,则 m n。(io)若a与b不共线，则a与b都不是零向

5、量。r r r r r r (11)若 a b |a| |b|,则 a/b。r r r r rr(12)若 |a b| |a b|,则 a b、向量加减运算8 .三角形法则:uuruuuruur uuuuuirjuuruuurABBCAC； ABBCCDDEuur uuu uuurAE ； AB ACuuuCB (指向被减数)9 .平行四边形法则：rrrrrr以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为ab,abo题型2.向量的加减运算uuuuuiruuuruuiruumn1、化简(ABMB)(BOBC)OMuuuuuuuur3、在平行四边形 ABCD中，若 ABuurADuur uurAB

6、AD ,则必有uuir rA. AD 0uuu r uurB. AB 似 ADC.ABCD是矩形D. ABCD是正方形uuu2、已知|OA|5,|OB|3,则|AB|的最大值和最小值分别为题型3.向量的数乘运算r r r r1、计算：(1) 3(a b) 2(a b)r(2) 2(2ar5br r3c) 3( 2a 3b 2c)题型4.作图法求向量的和r r1、已知向量a, b,如下图，请做出向量r3a1b 和 2a 23b。2题型5.根据图形由已知向量求未知向量1、已知在 ABC中，D是BC的中点,请用向量uur uuurAB,AC表示uuur AD。uuur2、在平行四边形 ABCD中，已

7、知ACr uuir a, BDr uuu uurb ,求 AB和 AD o题型6.向量的坐标运算.rr1、已知 a (1 4),b3,8)，则 3a1b 2练习：若物体受三个力rFir(1,2) ,F2r(2,3), F3( 1, 4),则合力的坐标为2、uur已知 PQ ( 3, 5),P(3,7),则点Q的坐标是3、« r、 r.已知 a( 3,4) ， b-r J r r (5,2)，求 a b , a b , 3a 2b o2、ruuu已知 A(1,2), B(3,2)，向量 a (x 2,x 3y 2)与 AB 相等，求 x,y 的值。5、uur uur r uuur已知O

8、是坐标原点， A(2, 1),B( 4,8),且AB 3BC 0 ,求OC的坐标。三.平面向量的基本定理 ：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内 的任一向量a,有且只有一对实数1、 2 ,使a= 1eI+ 2以基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。题型7.判断两个向量能否作为一组基底uruu1、已知G,e2是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底:ur urr uuurC.ei3e2 和 03eiuu uu ur d.%和为eururrururururuuurA.0弓和00B.3q2%和406目练习：下列各组向量中，可以作为基底的是()(A)ei(0，O)

9、，e2(1,2)(B)e1(1,2)，e2(5,7)©e(3,5),e2(6,10)(D)e1(2，3)，e2(_2,4)2、.已知a(3,4),能与a构成基底的是()4D.（1, 3）34、，43、，34、A.（-，）B.（,-）C.（一，）5555553、知向量eie2不共线，实数(3x-4y)ei+(2x-3y)e2=6ei+3e2，则xy的值等于4、设ei,e2是两个不共线的向量，AB2eke2,CB33e2,CD2ee2,若A、B、D三点共线，求k的值.uuruuu5、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,i),B(-i,3)，若点C(x,y)满足OC=aOA+3

10、uiur,OB,其中印/R且廿3=i,则x,y所满足的关系式为()A.3x+2y-ii=0B.(x-i)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0四.平面向量的数量积：uurruurri.两个向量的夹角：对于非零向量a,b,作OAa,OBb,AOB0称为向量a,b的夹角，当=。时，a,b同向，当=时，a,b反向，当=时，a,b垂直。2实数与向量的积：实数方向相反，当=0时,与向量a的积是一个向量，记作a,它的长度和方向规定如下：*>0时，a的方向与a的方向相同，当<0时，a的方向与a的rr-a0,注意：aw口uuiruuuuurruur1rlluir例1、已知AD,B

11、E分别是ABC的边BC,AC上的中线，且ADa,BEb,则BC可用rr向量a,b表布为例2、已知ABC中，点D在BC边上，且CD2DB,CDrABsAC,则rs的值是.rr2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a,b,它们的夹角为，我们把数量|a|b|cos.rr叫做a与b的数量积(或内积或点积)，记作：a?b,即a?b=abcos。规定：零向量与任一向量的数量积是3.向量的运算律：r r r1 .交换律：abbr r r2 .结合律：a b cr3 .分配律：a0,注意数量积是rra,arrr rrrabc,abcrrrraa,ab个实数，不再是一个向量r r r r ra , a?b b?

12、a ；rrrrrabc ,a ?brrrrrab,ab?cr r r r a?b a? b ;r r r ra ?c b?c。题型8:有关向量数量积的判断1：判断下列各命题正确与否：(1) (a b) c a (b c)(3) (a b) c a c b c ； r r rr r(5)右 a 0,a b a c ,则X.7 r b rab a r,则b c当且仅当a 0时成立; r r r r . 、 r r rC a (b C)对任息a, b,C向重都成立； 对任意向量a,有a2 a 2。(7)m (a b) =ma +mb 其中正确的序一号是2、下列命题中：/ a (b c) abac；a

13、 (b c) (a b) c ； /(a b)2 |a|2 r r r 2 a c; II a的是2|a| |b| r r r2 a ba 12a| b | ； / 右 a b 0 ,则 a rb r r 2r2 r2 r¥ ; / (a b)a b ; / (aar r r r0 或 b 0； /若 a b c b,贝Ur 2r 2 r r2b)a2a b b °其中正确题型9、求单位向量r【与a平行的单位向量:r阜 |a|r1 .与a (12,5)平行的单位向量是r2 .与m1 1,1)平行的单位向量是rrrrrrab题型10、数量积与夹角公式：ab|a|b|cos；c

14、os-rr-lalIblrrr2rrr-r向量的模：若a(x,y),则|a|Jx2y2,a|a|2,|ab|J(ab)21、/ ABC 中，| AB | 3, | AC |4, |BC |5 ,则 AB BC r2、已知a1 r1 rrr u"b (0, 2),c a kb,drirc与d的夹角为-,则k等于一 ， r3、已知| a |rrr3,|b | 4 ,且 a与b 的夹角为 60°,求(1) a b , (2) a (arb)，r 1 r r ,八(3) (a -b) b , (4) (2a 2r r rb) (a 3b)。r r4、已知a,b是两个非零向量，且r

15、r r r ra b ,则a与a b的夹角为rrrr-5、已知a(J3,1),b(2j3,2),求a与b的夹角。6、已知A(1,0),B(0,1),C(2,5),求cosBAC。7、已知非零向量a,b满足ab,b(b2a),则a与b的夹角为uuuUULT8：已知ABC中ABC50o,BCBA,则BA与AC的夹角为rrrrrrrra9：已知向量a与向量b的夹角为120°,若向量c=a+b,且a/c,则十的值为b10：/已知|a|=1|b|=2,A+b1=2,则b与2a-b的夹角余弦值为.11：已知向量a=J2,b=2,a和b的夹角为135,当向量a+b与a+b的夹角为锐角时，求的取值范

16、围。rir2r2r2题型11、求向重的模的问题如向重的模：右a(x,y),则|a|xxy,a|a|,iabib)1、已知零向量a (2,1),a.b10, a b 5丘则 b2、已知向量a,b满足同1用2,|ab|2,则Bb3、已知向量a(1,J3),b(2,0),则ab4、已知向量a(1,sin),b(1,cos，则ab的最大值为5、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，(A)8(B)4(C)2(D)16、设向量a,b满足a付1及4a3b3,求3a5b的值练习：已知向量a,b满足a21bgab3求5b和Zb7、设向量a,b满足a1,|b|2,a(a2b),则2ab的值为r-rrr8、已知

17、向量a、b满足a1,|b|4,则|ab|的最大值是最小值是。题型12、结合三角函数求向量坐标uururn1 .已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|2,xOA150°,求OA的坐标。uuruuu2 .已知O是原点，点A在第一象限，|OA|4V3,xOA600,求OA的坐标。rrrr五、平行与垂直知识点：a/babx1y2x2y1;题型13：向量共线问题1、已知平面向量a(2,3x),平面向量b(2,18)，若a/b,则实数x2、设向量a(2,1),b(2若向量ab与向量c(4,7)共线，则rf*1f3、已知向量a(1,1)力(2,x)若ab与4b2a平行，则实数x的值是()A.

18、-2B. 0C. 1D. 2uuuuuuuuir练习：设PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k),则k=时，A,B,C共线5、已知a,b不共线，ckab,dab,如果c/d,那么k=(与的方向关系是_rrrrrrrrrr练习：已知a(1,1),b(4,x),ua2b,v2ab,且uv,则x=6、已知向量a(1,2),b(2,m),且a/b,则2a3b题型14、向量的垂直问题1、已知向量a(x,1),b(3,6)且ab,则实数x的值为2、已知向量a(1,n)力(1,n),若2ab与b垂直，则a练习：已知a=(1,2),b=(-3,2)若ka+2b与2a-4b垂直，求实数k的值3、已知单

19、位向量m和n的夹角为一，求证：(2nm)m34、a(3,1),b(1,3),C(k,2),若(2db则k练习：a(1,2),b(2,3),若向量删足于(ca)/b,c(ab,则c5、以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,B90,则点B的坐标是r题型15、b在a上的投影为|b|cos,它是一个实数，但不一定大于0。1、已知|a|3,|b|5,且ab12,则向量a在向量b上的投影为rrrr2、已知a8,e是单位向量，当它们之间的夹角为一时，a在e方向上的投影为3练习：已知H5刊4，a与b的夹角2-,则向量b在向量a上的投影为题型16、三点共线问题1 .已知 A(0, 2),B(2

20、, 2), C(3,4),求证:A, B, C三点共线。uur , 2 r r uur2 .设 AB(a 5b), BC2r r uur r r2a 8b,CD 3(a b),求证：A B、D 三点共线。uuu r r uuur练习：已知AB a 2b, BCr r uuurr r5a 6b,CD 7a 2b,则一定共线的三点是3 .已知 A(1, 3), B(8, 1),若点 C(2a 1,a2)在直线AB上，求a的值。4.已知四个点的坐标O(0,0),A(3,4),B(1,2),C(1,1),是否存在常数t,使uuruuruurOAtOBOC成立？5：3,62是平面内不共线两向量，已知aB

21、白ke2,CB2e1e2,CD39e2,若A,B,D三点共线，则k=6: /设O是直线l外一定点，A、B、C在直线l上，且OB3OAxOC,x=rrrrrr7：设a,b是两个不共线向量，若a与b起点相同，t/R,t=时，a,tb,1 rr一，一，一，-(a+b)三向量的终点在一条直线上。38:如图，在/ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若AB=mAM,AC=nAN,则m+n的值为.9:在/OAB的边OA,OB上分别取点M,N,使|OM|心次|=1/3,|ON|/OB|=1/4,设线段AN与BM交于点P,记OA=a,OB=b,用a,b表示向量OP.1

22、1练习：如图，在/OAB中，OC=4OA,OD=-OB,AD与BC交于点M,设OA=a,OB=b.(1)用a、b表示OM；(2)已知在线段AC上取一点巳在线段BD上取一点F,使EF过M点，设Ol=pOA,OF=一，、一13qOB,求证：7p+7q=1.六、线段的定比分点1 .定比分点的概念：设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数urnruuiruuuruur，使PPPP2,则叫做点P分有向线段PP2所成的比，P点叫做有向线段PP2的以定比为的定比分点；2 .的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段P1P2上时>0；当P点在线段P1P2的延长线上时<1；当

23、P点在线段P2Pl的延长线上时10；uuu3uuu例1、若点P分AB所成的比为3,则A分BP所成的比为4uuuu3 .线段的定比分点公式：设（为，y）、P2（X2,y2）,P（x,y）分有向线段RP2所成的X1X2X比为，则Vi1，特别地，当=1时，就得到线段P1P2的中点公式y2yV1V2 °2题型17、定比分点12、若M-3,-2,N6,-1,且MPMN,则点P的坐标为31 uuuuunr3、已知A（a,0）,B（3,2a）,直线y5ax与线段AB交于M,且AM2MB,则a等于r-七、平移公式：如果点P（X,y）按向量ah,k平移至P（X,y）,则XXh；曲线yykrf（X,y）

24、0按向量ah,k平移得曲线f（xh,yk）0.注意：（1）函数按向量平移与平常左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，题型18、平移1、按向量a把（2,3）平移到（1,2）,则按向量a把点（7,2）平移到点2、函数ysin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是ycos2x1,则a=八、向量中一些常用的结论(1) 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；rrrrrrrrrrrrr(2) |a|b|ab|a|b|,特别地，当a、b同向或有0|ab|a|b|rrrrr-Jrrrrrrrrrr一|a|b|ab|;当a、b反向或有0|ab|a|b|a|b|ab|；当a、b不

25、rrrrrr共线|a|b|ab|a|b|(这些和实数比较类似).3)在ABC中，/若Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,则其重心的坐标为XiX2X3G 3yiyy331、若/ ABC的三边的中点分别为(2, 1)、(-3, 4)、(-1,-1),则 / ABC 的重心的坐标为uuir uuu uuu uuirP PG 1(PA PB PC)3ABC的重心；G为 ABC的重心，特别地uuu uuu uuir rPA PB PC 0P 为uuu uuu uuu uuir P PA PB PB PCuur uurPC PAP为ABC的垂心;uuuuuur/向量(uuuruus)(|AB| |A

26、C|0)所在直线过 ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；uuu uur uuir uuu uuu uur r/1 AB | PC | BC | PA |CA| PB 0P ABC的内心;uiuu(3)若P分有向线段PP2所成的比为特别地P为P|P2的中点uuirMPuuuuMP12uuur，点M为平面内的任一点，则 mpuuurMP2 .uuuuuuuuMRMP251uuu uuu uur(4)向量 PA PEk PC中二”占I - s 八、A B、C共线存在实数uuu 使得PAuur uurPB PC1.如2、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3)，若点C

27、满足OC1OA2OB淇中1,2R且121,则点C的轨迹是题型19、判断多边形的形状uurruuurruuuruur1.若AB3e,CD5e,且|AD|BC|,则四边形的形状是。2.已知 A(1,0),B(4,3),C(2,4),D(0,2),证明四边形ABCD是梯形。ABC是直角三角形。3.已知A(2,1),B(6,3),C(0,5),求证:4、在/ABC中，若BABAABCB0,则/ABC的形状为A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形5、在平面直角坐标系内,uuruuuuuurOA ( 1,8),OB ( 4,1),OC(1,3)，求证:ABC是等腰直角三角形。6、平面

28、四边形ABCD中,AB a , BC b, CD c, DAabbccdda,判断四边形ABCD的形状.题型20:三角形四心uuvuuvuuvv1、已知ABC的三个顶点A、B、C及ABC所在平面内的一点P,若PAPBPC0则点P是ABC的()A.重心B.垂心C.内心D.外心uuuiruuiruuuruuuruuu2.已知点O是三角形所在平面上一点，若OAOBOBOCOCOA则O是三角形ABC的()(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心uuu23、已知点O是三角形所在平面上一点，若OAuur2 OBuuur2OC，则O是三角形ABC的( )(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心练习、已知 O

29、, N, P在 ABC所在平面内，且且 PA?PB(A)重心外心(C)外心重心4、/在平面内有OAPB?PC PC ? PA ,则点 O, N,垂心 (B)重心外心内心垂心 (D)外心重心内心uu uur uurABC 和点 O,若 AB (OA OB)uuuC.内心OBP依次是uuu uuAC (OC OA)D.夕卜心OC , NA NBABC 的(NC 0 ，ABC的5、已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足uuruuruuuuuurOPOA(ABAC),R,则动点P一定通过ABq()(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心uuruuu6、已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OPOAuuuuuuruuu+uuur,R,则动点P一定通过ABC的()|AB|AC|(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心uuruuu7、已知点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内