平行线与相交线,直角坐标系知识总结与练习题

1、第五章 相交线与平行线复习课（一）知识结构图二、基本知识提炼整理（一）主要概念1、邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做互为邻补角。2、对顶角：一个角的两边分别为另一个角两边的反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。3、垂线：两条直线相交所成四个角中，如果有一个角是直角，我们就说这两条直线互相垂直，其 中一条直线叫做另一条直线的垂线。4、垂线段：过直线外一点，作已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段。5、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。6、平行线：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。7、命题：判断一件事情的语句叫做命题。8、平移：把一个图形整体沿着某一方向平

2、行移动，这种移动叫做平移变换，简称平移。9、平移的要素：平移的方向和平移的距离。10、两条平行线的距离：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫 做两条平行线的距离。（二）主要性质1、对顶角的性质：对顶角相等2、 邻补角的性质：互为邻补角的两个角和为1803、垂线的基本性质：（1）经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线（2）垂线段最短4、平行线的判定与性质平行线的判定平行线的性质1、同位角相等，两直线平行2、内错角相等，两直线平行3、同旁内角互补，两直线平行4、平行于同一条直线的两条直线平行5、垂直于冋一条直线的两条直线平行1、两直线平行，同位角相等2、两直线平行，内错角相

3、等3、两直线平行，同旁内角互补5、平移的特征：对应线段平行（或在同一直线上）且相等；对应角相等；对应点的连线平 行（或在同一直线上）且相等。（三）尺规作图只用没有刻度的直尺和圆规的作图的方法称为尺规作图用尺规可以作一条线段等于已知线段，也可以作一个角等于已知角利1、2、3、4、基础知识填空5、如图，6、如图,（第1、2题）vZ D=Z DCF(已知)二/vZ D+Z BAD=180 (已知)二/（第5、6题）(第 7 题)（第 9题）7、如图，v Z 2 =Z 1 = Z 2 (已知)如图，v AB丄CD（已知）/ BOC=90 （ 如图，vZ AOC=90 （已知） AB丄CD（ v a /

4、 b,a/ c （已知） b II c （ v a 丄 b,a丄 c （已知） b I c （第3页共14页第#页共14页Z 1 = Z 3 ( CDEF (9、vZ 1+Z 2 =180v a/b (已知)，Z 2+Z 3=180°(已知)/ 1 = Z 3 (Z 1=Z 2 (Z 2=Z 3 (Z 2+Z 4=180°四、例题讲解如图，CDLAB于D,E是 BC上一点，EF丄AB于 F，Z 1=Z 2.试说明 Z BDGZ B=180 .变式训练：女口图，CDLAB于D, FGLAB于G, ED/ BC,试说明 1=/2.基础过关题:1、如图：已知/ A=/ F,Z C

5、=Z D,求证:BD/ CE。证明：I / A=Z F (已知) AC/ DF (i/ D=/ (又/ C=Z D (已知),/ 1二/ C （等量代换） BD/ CE (2、如图：已知/ B=/ BGD / DGM/ F,求证：/ B + / F = 180°。 证明：B=/ BGD （已知） AB/ CD()/ DGM/ F;(已知) CD/ EF()t AB/ EF()/ B + / F = 180°(第4页共14页3、如图，已知 AB/ CD EF交AB,CD于G H, GM HN分别平分/ AGF / EHD试说明 GM / HN.BD. 4个第4页共14页D.

6、4个第4页共14页补充练习:一. 选择题1.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果/C.68°D.600仁32o,那么/ 2的度数是（）EF折叠后，点D , C分别落在oo等于（）A .70B .65D； C'的位置.若/ EFB = 65° 则/ AED 'C .50 ° D .25D. 4个第4页共14页3如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，N1=30°, N2 = 50°，则N3的度数等于（A. 50 °B. 30 ° C. 20°D. 15 °D.不是同位角也

7、不等B.不是同位角但相等C.是同位角但不等4. 如图，AB丄BC，BC丄CD，/ EBC = Z BCF，那么，/ ABE与/ DCF的位置与大小关系是 （ A.是同位角且相等liI2B5.如图，I1/I2 ,/ 1=120 °/ 2=100，则/ 3=A . 20 °B. 40 °C. 50D. 60°6.如图，AB是OO的直径，点C.AD / OC，则 AOD =(A. 70 °B. 60 ° C.BOC=110°，50 °40 °D. 4个第4页共14页交点的个数最多有（7.在一个平面内，任意四条直

8、线相交，A. 7个B. 6个C. 5个D. 4个第4页共14页第#页共14页& 如图所示，已知 AC _ BC , CD _ AB，垂足分别是 C、D，那B么以下线段大小的比较必定成立.的是()A. CD ADB. AC : BCC. BC BDD. CD ： BD9. 下列说法中，正确的个数为()有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角；相等的两个角是对顶角如果两个角是对顶角，那么这两个角相等如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角是对顶角如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角C、3个10. 轮船从A地出发向北偏东 70。方向行驶了 4海里到达B地，又从B地出发向南偏

9、西 20。方向行 驶5海里到达C地，则/ ABC等于 ()A. 90 °B. 50 °C. 110D . 70第#页共14页第#页共14页.填空题1 .如图，若 OE丄AB，/ 2比/ 1大70。则/ AOC =第#页共14页第#页共14页2.观察如图所示的三棱柱.(1) 用符号表示下列线段的位置关系：AC CC1 ,BC B1C1 ;(2) / A1B1C1可看作是把/ ABC而得到的.3如图，一条路两次拐弯后和原来的方向相同，也就是拐弯前后的两条路互相平行，第一次拐的角 ZB是142°，第二次拐的角/ C是/DEF=q,用 p、q、y 来表示 x4 .女口图，

10、已知 AB /EF, ZBAC=p , /ACD=x , ZCDE=y ,得.AB5. 如图，已知 AB / CD , BE 平分/ ABC,/ CDE = 150 ° 则/ C =6 .如图，AB / CD ,/ BAC的平分线和/ ACD的平分线交于点E ,则/ AEC的度数是.三解答题11如果下图所示，0为直线AB上一点，/AOC= 3 /BOC, OC 是/AOD的平分线.(1) 求/COD的度数；(2)判断OD与AB的位置关系，并说明理由.D2 .如图，AB、CD、EF相交于 O点，EF丄AB , OG为/ COF的平分线，OH为/ DOG的平分线 若/ AOC :/ CO

11、G = 4 : 7,求/ DOF 的大小；若/ AOC :/ DOH = 8 : 29,求/ COH 的大小.3. 已知：/ BAP+ ZAPD=180°，/BAF= /CPE，求证：/ E= ZF.4. 如图，已知 AB / CD, / ABE和/ CDE的平分线相交于 F,/ E = 1400，求/ BFD的度数.5. 图 11, BE /AO,/1= Z2, OE丄OA 于点 O, EH 丄CO 于点 H，那么/5= /6，为什么?图（11）6.如图，已知/ ABC.请你再画一个/ DEF，使DE /AB,EF /BC,且DE交BC边与点P.探究：/ABC与/DEF有怎样的数量

12、关系？并说明理由.平面直角坐标系复习卷一、点的坐标从直角平面上的一点 P,分别向x轴、y轴 引垂线，垂足在 x轴、y轴上分别对应实数 a、b, 那么把有序是数对(a,b )叫做P点的坐标，a叫 做P点的横坐标，b叫做P点的纵坐标.二、四个象限内点的横纵坐标的特点第象限y第一象限(-,+)(+,+) .baiiiiP(a,b)|1_1'11L 1 1 a 1 *x第 象限-第象限(-,-)-什,-)若点P(a,b)在第一象限，则若点P(a,b)在第三象限，则a>0,b>0;若点 P(a,b)在第二象限，则 a<0,b>0； a<0,b<0;若点P(a,

13、b)在第四象限，则 a>0,b<0；练习:(I) 若M(m,m+4)在第二象限，则m的取值范围是 若A(a+1,2-a)在第一象限，则a的取值范围是 若M(2m,m-4)在第四象限，且 m是偶数，则 m的值是 已知点A(3a-15,3-a)是第三象限的整数点，则点A的坐标为 (5)对于任何实数x,点(x,x-1) 一定不再第 象限 若a<0,b>0,则点(a ,b)在第象限，点(-a,-b)在第象限，点(a2+i,b2)在第象限，点(-a2-i,-b2)在第象限.三、坐标轴上的点的坐标特点1、 x轴上的点纵坐标为0,即若点P(a,b)在x轴上，则b=2、 y轴上的点横坐

14、标为0,即若点P(a,b)在y轴上，则a=练习：点P在x轴上，对应的实数是 3，则点P的坐标是 ，若点Q在y轴上，对应的实数是2,则点Q的坐标是(8) 点(a,0 )在上，点(0,b)在上.(a丰0,b丰0)(9) 若点P(x,y)的坐标满足x=0,y丰0,则点P在上(10) 若点P(x,y)的坐标满足 xy=0,则点P在上(II) 若点P(k+2,k-3)在y轴上，则点 P的坐标为 (12) 若点A(a-2,a+3)在x轴上，则点 P的坐标为(13) 已知点M(2+x,9-x 2)在x轴的负半轴上，则点 M的坐标为 (14) 直线 y=2x-1 与x轴的交点坐标为 ,与y轴的交点坐标为 (1

15、5) 直线 y=-2x+2 与 x轴的交点坐标为 ,与 y轴的交点坐标为 四、两坐标轴角平分线上的点的坐标特点1、第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；2、第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数。练习：(16) 若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则此点一定在 (17) 若点(a ,2)在第二象限，且在两坐标轴的夹角平分线上，则a=.(18) 已知点P (x2-3，1)在一、三象限夹角平分线上，则x=, 点P的坐标为，点的坐标为(19) 已知点(1-2a, a-2)在第三象限的角平分线上，则a=，点的坐标为(20) 已知点(a+2, -2a)在第四象限的角平分线上，贝Ua=m=

16、(21) 若点D(6-5m,m-2)在第二、四象限角平分线上，则五、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点1、与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等；2 、与y轴平行的直线上的点的横坐标相等练习：(22) 已知AB平行于y轴，且A点坐标为(2，3)，B点坐标为(a,-5),那么a=.(23) 已知CD平行于x轴，且C点坐标为(-2，3)，D点坐标为(3,m),那么m=.(24) 直线a平行于x轴，且过点(-2，-3)和(5，y)，则y =(25) 过A(4，- 2)和B (- 2, - 2)两点的直线一定平行于 轴(26) 已知:A(1,2),B(x,y),AB/ x轴，且B到y轴距离为2,则点B的坐

17、标是 六、点到坐标轴及原点的距离1、点到x轴的距离等于点的纵坐标的绝对值2、点到y轴的距离等于点的横坐标的绝对值3、点到原点的距离 d =,a2 b2 .练习：.即点P(a,b) 到x轴的距离d = I bl. .即点P(a,b) 到y轴的距离d = I a I .第11页共14页第#页共14页图3(27) 已知点Q(-8 , 6),它到x轴的距离是，它到y轴的距离是它到原点的距离是 (28) 已知点P的坐标(2-a , 3a+6),且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是(29) 在第一象限到x轴距离为4,到y轴距离为7的点的坐标是 ;在第四象限到x轴距离为5,至U y轴距离为2的点的坐标

18、是 (30) 点A(2,3 )至 x轴的距离为 ;点£( - 4,0)至U y轴的距离为 ;点C到x轴的距离为1,到y轴的距离为3,且在第三象限，则 C点坐标是 .(31) 若x轴上的点P到y轴的距离为3,则点P的坐标为 ;(32) 点P到x轴、y轴的距离分别是2、1,则点P的坐标可能为 (33) 已知直角三角形 ABC的顶点A(2 , 0) , B(2 , 3).A是直角顶点，斜边长为5,则顶点C的坐标为.(34) 如图3所示的象棋盘上，若O帅位于点(1,- 2) 上, 相位于点(3, - 2) 上，则C炮位于点(35) 右图是某学校的平面示意图，在10X 10的正方形网格中(每个

19、小方格都是边长为1的正方形)，如果分别用(3,1),(3,5) 表示图中图书 馆和教学楼的位置，那么实验楼的位置应表示为 七、关于坐标轴和原点对称的两对称点的坐标特点1、关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；2、关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数；3、关于原点对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数 练习:(36) 已知A(-3 , 5)，则该点关于x轴对称的点的坐标为 ，关于y轴对称的点的坐标为，关于原点对称的点的坐标为 (37) 已知A(3 , -4)，则该点关于x轴对称的点的坐标为 ，关于y轴对称的点的坐标为，关于原点对称的点的坐标为 ;(38)

20、已知A(a, b),则该点关于x轴对称的点的坐标为 ，关于y轴对称的点的坐标为，关于原点对称的点的坐标为 ;(39) 若点A(m,-2),B(1,n)关于原点对称，则m=,n= .(40) 已知点P(m, -1)，且点P关于X轴对称的点的坐标是(-3,2n)，则m=,n=;(41) 点 P (2m-1,5), Q(-3, n)关于 x 轴对称，则 m=,n=.(42) 若 M (3, m)与 N (n, m 1)关于原点对称 ，贝U m=, n= ;(43)若,a -3+ (b+2)2=0,则点M (a, b)关于y轴的对称点的坐标为八、平面上两点间的距离1、x轴上两点间的距离：已知A(X1,

21、0), B(x 2,0),则 AB= 1 X1-X 2 12、y轴上两点间的距离：已知P(0,y 1), Q(0,y2),则 AB= 1 y1-y 2 13、异轴上两点间的距离：已知M(x,0), N(0,y),则 MN= . x2 y24、平面上任意两点间的距离：已知A(x1,y 1), B(x 2,y 2),则AB= . (% -x2)2 (% -y2)2练习：(44) 已知在x轴上有A(2,0), B(7,0) 两点，则AB=.(45) 已知在y轴上有 M(0,3), N(0,-5) 两点，则MN=.(46) 已知在x轴上有一点 A(-3,0),在y轴上有一点 B(0 , 4)两点，则A

22、B=.(47) 已知AB在x轴上，且 AB=/2，点A坐标为(2,0)，那么B点坐标为.(48) 已知点A的坐标为(2, -2 )，那么在y轴上使 AOB为为等腰三角形的点P共有个,它们的坐标分别是.(49) 如图，在平面直角坐标系中，直线I是第一、三象限的角平分线由图观察易知 A( 0,2 )关于直线l的对称点A 的坐标为(2,0)，请在图中分别标明 B(5, 3) C(-2,5)关于直线l的对称点B > L的位置，并写出他们的坐标：B 结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点分线l的对称点P 的坐标为 (不必证明)； 已知两点 D(1，- 3)、E(-1,- 4)，试

23、在直线I上确定一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和 最小，并求出Q点坐标.P(a,b)关于第一、三象限的角平A y7(第22题图)4 Xa-C62-;补充资料三、典型例题分析： 考点一、位置的确定例1、如图，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋.为记录棋谱方便，横线用数字表示纵线用英文字母表示，这样，黑棋的位置可记为（C, 4），白棋的位置可记为（E, 3），则白 棋的位置应记为 .解析：本题是一道与确定位置有关的试题,要表示白棋位置，则需要仔细理解题意，根据黑棋的位置可记为（C, 4），白棋的位 置可记为（E, 3）可以发现：用表示列的字母和表示行的数字来确定 棋子的位置，其中表示列

24、的字母在前，表示行的数字在后 解:观察白棋在 D列,6行，所以其位置可记作（D,6）.考点二、平面直角坐标系内的点的特点：（一）确定字母取值范围: 例2、（2007年重庆）若点M （1，2a -1 ）在第四象限内，贝U a的取值范围是解析：因为第四象限内点的坐标特征是x>0, yv 0,所以2a 1v 0,因此，a ： 12例3、点A （ m+ 3，m+ 1 ）在x轴上，则A点的坐标为（）A （ 0, 2）B、（2, 0）C、（4, 0）D、（ 0, 4）解析：由点A在x轴上可知y= 0,艮卩m+ 1 = 0,解得m= 1，所以m+ 3 = 2,所以A点坐标为（2, 0）.故选B.提示：

25、在根据点所在象限或坐标轴确定字母取值时，先根据坐标系内点的坐标特点确定，坐标的正 负，然后列出不等式（或方程）解答同时也可利用这一特点由点的坐标确定点所在的象限.（二）确定点的坐标：例4、（2007年杭州市）点P在第二象限内，P到x轴的距离是4,到y轴的距离是3，那么点P的 坐标为（）A . （ 4,3）B . （ 3, 4）C . （ 3, 4）D . （3, 4）解析：首先由点P在第二象限内，知道它的横坐标小于0，纵坐标大于0,再由到x轴的距离是4,到y轴的距离是3,得横坐标应为3,纵坐标应为4,故点P的坐标为（3, 4），应选C.提示：此题主要考查了点的坐标与它到横、纵坐标轴的距离之间的

26、关系，解这类题的最佳方法可通 过画示意图来解决.（三）确定对称点的坐标（拓展考点） ：例5、（2007年怀化市）已知点P（-2,3）关于y轴的对称点为 Q（a, b），则a b的值是（）A. 1B. -1C. 5D . -5解析：因为点P与点Q关于y轴的对称，其规律为“纵坐标不变，横坐标互为相反数”，所以a=（2） = 2, b= 3，贝U a+ b = 5,故应选C .提示：关于坐标轴对称点的特征有三条（1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于坐标原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数.考点三、与平移有关的问题例6、（

27、2007年哈尔滨改编） ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.（1）将厶ABC向下平移3个单位长度，画出平移后的 ABC?.对应点，然后顺次连接即可；B X解：所画的图形如图所示，此时点A( 2, 0), B( 3, - 1) , C( 1, -2)|例7、(2006年南京)在平面直角坐标系中，口ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0,0) , (5,0) , (2,3)，则顶点C的坐标是( )A. (3,7)B.(5,3)门C. ( 7,3)D.( 8,2)解析：由AB/ CI可知，C点的纵坐标与点 D勺纵坐标相同为3,横坐标应为5 + 2= 7,即点坐标为(7, 3).故选C.提示：解

28、答平行于坐标轴直线上点的坐标时，平行条件往往被忽略，而这类问题的关键在于找出与 已知点平行的横坐标或纵坐标的值，以此为突破确定其他点的坐标.考点四、建立直角坐标系例8、(2007年泸州市)如图1是某市市区四个旅游景点示意图(图中每个小正方形的边长为1个单位长度)，请以某景点为原点，建立平面直角坐标系，用坐标表示下列景点的位置.动物 园，烈士陵园 .咽广卫>11解析：答案不唯一，若以金凤广场为坐标原点，其水平线为x轴，垂直线为y轴，则动物园坐标为(1 , 2);烈士陵园坐标为(一2, 3).提示：这是一道开放性试题，当建立的直角坐标系不同，其点的坐标也就不同，但要注意，一旦直 角坐标系确定

29、以后，点的坐标也就确定了.考点五、创新考点：(一)规律探索型：例 9、(2006 年淮安市中考试题)如图 2，已知 A|(1 , 0)、A2(1 , 1)、A3( 1 , 1)、A4( 1 , 1)、A5(2, 1)、，则点A2007的坐标为 .解析：依题意，得第一象限里的点分别是A2、A6、Al。、，第二象限里的点分别是A3、A7、Ail、，第三象限里的点分别是A4、A8、Ai2、，第四象限里的点分别是A5、A9、Ai3、，由此可见点A2007是在第二象限内，而第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，且绝对值相等，并 且由观察、推理、归纳得到A3( 1, 1)、A7( 2, 2)、Aii(

30、-3,3)、，因为2007 = 501, 3,所以点A2007的坐标应该是(502 , 502).提示：求解本题时要于归纳、猜想、验证，从中找到点坐标的规律，从而使问题获解(二)阅读理解型：4yA? 2-3OA<>Ar例10、在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点，设坐标轴的单位长度为1cm,整点P从原点O出发，速度为1cm/s,且整点P作向上或向右运动(如图1 所示.运动时间(s)与整点(个)的关系如下表：整点P从原点出发的时间(s)可以得到整点P的坐标可以得到整点P的个数1(0,1)(1,0)22(0,2)(1,1),(2,0)33(0,3)(1,2)(2,1)(

31、3,0)4555根据上表中的规律，回答下列问题(1)当整点P从点O出发4s时，可以得到的整点的个数为 个.当整点P从点O出发8s时,在直角坐标系中描出可以得到的所有整点，并顺次连结这些整点当整点P从点O出发s时,可以得到整点(16,4)的位置.图1图2解析：本题为阅读型规律探索题，解决问题时需要认真阅读题意，即可根据题意写出整点的可能位置和坐标确定整点的个数，也可以通过表格发现出发时间与整点坐标以及整点P的个数之间的规律，通过规律解决问题.解：(1 )根据表格中的规律可知，当点P从点 O出发4s时，可的到整 点P的坐标 为(0,4)(1,3),(2,2)(3,1)(4,0),共 5 个.如图2

32、 所示.(3) .从表格规律可得当整点P从原点0出发的时间为n(s)时，可得整点P的坐标为(x,y),则x+ y = n,因为16+ 4= 20,所以当整点P从点O出发20s时，可到达整点(16,4)的位置.四、错例剖析：例1、已知点P(4,a)到横轴的距离是 3,则点P的坐标是 .错解：因为P(4,a)到横轴的距离为3,所以a= 3, 所以点P的坐标是(4,3).分析：已知点P到横轴的距离，并不知道P所在的象限，点P可能第一象限，也可能在四个象限，这样的P 点应有两个正解：由已知条件可知|a |= 3,所以a = 3或a =- 3所以P点的坐标是(4,3 )或(4, - 3)例2已知点P(m

33、, n)到x轴的距离为3,到y轴的距离等于5,则点P的坐标是 .错解：因为P(m, n)到x轴的距离为3,到y轴的距离等于5,所以m= 3, n = 5,所以点P的坐标为(3, 5). 分析：点的坐标与点到坐标轴的距离不同，P(m, n)到x轴的距离为3，则|n|=3,所以n = 3或n = 3;到y轴的距离等于5,则|m|= 5,即m= 5或m= 5,这样的P点应有四个而错解中只写了一个，漏掉了 三个正解：点 P 的坐标为(2,3),( 2,3),(2, 3),( 2, 3).例3已知点P(m,2m 1)在x轴上，则P点的坐标是 .错解：因为点P在x轴上，所以m = 0,所以2m 2= 2,所以点P的坐标为(0, 2).分析：错解在把x、y轴上的点的坐标特点搞混了，x轴上的点的坐标特征是纵坐标为0 .而不是横坐标为0.1 一 1正解：由2m 1 = 0，得m=,所以点P的坐标是(一，0)2 2补充习题一.选择题1.下列各点中，在第二象限的点是()(-2, -3)D.(-2, 3)A. (2 , 3)B. (2, -3)C.2.将点 A (-4 , 2)向上平移3个单位长度得到的点B的坐标是()A. (-1 , 2)B. (-1 , 5)C.(-4 , -1)D.(-4 ,5)3.如果点M (a-1 ,a+1)在x轴上,则a的值为()A. a=1B. a=-1C. a>0