《走向清华北大》2012高考总复习精品14导数的概念及其运算

1、第十四讲导数的概念及其运算班级_ 姓名_ 考号_日期_ 得分_、选择题： (本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分，将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.下列结论不正确的是()A.若y= 3，则y= 0答案：B评析：简单函数的求导，关键是将函数关系式合理地转化为可以直接应用公式的基本函 数的模式.2.已知奇函数y=f(x)在区间(一g,0上的解析式为f(x) =x2+x,则切点横坐标为1 的切线方程是()A.x+y+ 1= 0B .x+y 1 = 0C. 3xy 1 = 0D. 3xy+ 1 = 0解析：由题意得，x0 时，一x0 时有解，21即 3ax+ -= 0 有解，x1即

2、3a=飞，x1T 飞0,x当 3a0,即a0)的图象在点(ak,ak)处的切线与x轴的交点的横 坐标为ak+1,其中kN*.若a1= 16,则a+a3+a5的值是_ .解析：y= 2x,.过点(ak,ak)处的切线方程为yak= 2axak)，又该切线与x1 1轴的交点为(ak+1,0)，所以ak+1= ?ak，即数列ak是等比数列，首项a1= 16,其公比q= ?,- a3= 4,a5= 1 ,a1+a3+a5= 21.答案：21答案:29T三、解答题：(本大题共 3 小题，11、12 题 13 分，13 题 14 分，写出证明过程或推演步骤.)11. 已知曲线y=x3+x 2 在点P。处的

3、切线l1平行于直线 4xy 1 = 0,且点Po在第三象限.求P0的坐标；(2)若直线I丄li，且I也过切点P0,求直线I的方程.32解：由y=x+x 2,得y= 3x+1,2由已知得 3x+ 1 = 4,解之得x= 1.当x= 1 时，y= 0；当x= 1 时，y= 4.又点P0在第三象限，切点Po的坐标为(一 1, 4).(2) /直线I丄丨1,丨1的斜率为 4,1直线I的斜率为1.4/I过切点Po,点P0的坐标为(一 1 , 4),1直线I的方程为y+ 4= 4(x+ 1)，即x+ 4y+ 17= 0.12.已知函数f(x) =x3+x 16,(1) 求曲线y=f(x)在点(2 , 6)

4、处的切线的方程；直线I为曲线y=f(x)的切线，且经过原点，求直线I的方程及切点坐标；一 1 一如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y= x+ 3 垂直，求切点坐标与切线的方程.分析：首先要判断已知点是否在曲线上，再根据切线的斜率即导数值列方程解决问题.解：(1)Tf(2) = 23+ 2 16= 6,点(2 , 6)在曲线上.32/f(x) = (x+x16) = 3x+ 1,在点(2 , 6)处的切线的斜率为2k=f(2)=3X2 +1=13.切线的方程为y= 13(x 2) + ( 6).即y= 13x 32.(2) 解法一：设切点为(xo,yo),则直线I的斜率为f(xo) = 3x7

5、+ 1,直线I的方程为：23y= (3Xo+ 1)(xXo) +Xo+Xo 16.又直线I过点(o,o),23 o= (3xo+ 1)( xo) +xo+xo 16,整理得xo= 8,xo= 2,yo= ( 2)3+ ( 2) 16= 26,21k= 3( 2) + 1 = 13,直线I的方程为y= 13x，切点坐标为(2, 26).解法二：设直线I的方程为y=kx，切点为(xo,yo),3“ yo 0 xo+xo16 则k=-xo 0又Tk=f(Xo)=3xo+1,3Xo+Xo 162打/口= 3xo+ 1,解得xo= 2,xoyo= ( 2)3+ ( 2) 16= 26,2k= 3( 2)

6、 + 1 = 13.直线l的方程为y= 13x，切点坐标为(2, - 26).x/切线与直线y= 4+ 3 垂直,斜率k= 4，设切点为(xo,yo),2则f(xo) = 3xo+ 1 = 4,Xo= 1xo= 1xo= 1,. f或.|yo= 14yo= 18即切点坐标为(1 , 14)或(一 1, 18).切线方程为y=4(x 1) 14 或y= 4(x+ 1) 18.即y= 4x 18 或y= 4x 14.评析：解题过程中，很容易把所给的点当作曲线上的点，错误原因是没有把点代入方程进行检验.113.设函数f(x) =ax+x+b(a,b Z)，曲线y=f(x)在点(2 ,f(2)处的切线

7、方程为y=3.(1) 求f(x)的解析式；(2) 证明：函数y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3) 证明：曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x= 1 和直线y=x所围的三角形的面积为定值，并求出此定值.1解：(1)f(x) =a (x+b)2.a=1,、a=4，解得b= 1 或b8Ib=-GX0于是所围的三角形的面积为定值2.1/a,b Z,. f(x) = x+x 11证明：已知函数 yi= x, y2=-都是奇函数,x函数 g(x) = x +1也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形而f(x) = xx可知 f(x)的图象是由 g(x)的图象沿 x 轴正方向向右平移 1 个单位，再沿 y 轴正方向向 上平移 1 个单位得到的故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形.(3)证明：在曲线上任取一点ixo, Xo+ 1,令 y = x,得 x = 2xo 1,切线与直线 y= x 交点为(2xo 1,2xo 1) 直线 x= 1 与 y= x 交点为(1,1) 从而所围的三角形的面积为1 十-1 |2xo 1 1| =11 |2xo 2|= 2.2 xo 1112 xo 1111+x1 =(x1