高考数学复习专题：圆与最值

1、例题图圆与最值问题一.中点模型。例1:如图所示的平面直角坐标系中，点A (-2, 0), B(0, 2),以B为圆心作一个半径为 1的圆，P是圆上的动点,连接AP,取AP中点M ,连接OM ,求OM的最小值。此题有两种方法法一：取点A' (2, 0),连接A'B和A'P, OM为三角形AA'P 的中位线，就有 OM=A'P,那么只要求 A'P的最小值即可， 根据A ' BP为三点形，A'P最小为- 1那么OM最小就为法二：如右图，连接 BP, AB ,并取AB中点G,连MG、OG 易得MG为三角形 APB中位线，MG=；,因此M在

2、以G为圆心，半径为?的圆上运动，OMG为三点形，MO最小为应二UOG-MG='两种方案都可以解决该问题，但是思路却各有不同，前者的思路在于转化线段，更加巧妙，但难寻一般规律，后者思路在于求M的轨迹，更有逻辑性，在此文档中，我们将探讨后一种方法的规律与运用在初中的圆与最值中，有这样的规律：在平面内，由一定圆上一个主动点，通过除反演圆和部分特殊边角变换以外的变换后得到 的轨迹为圆的从动点，其动点轨迹的圆心为其主动点圆心通过与之相同变换得到的点。这句话不好理解，但是通过例题，可以慢慢体会这句话的含义例2:如图所示，等腰 RtAABC > DBE共顶点B,连CE并 取其中点F,连BF,若

3、AB=±t/，BD=2,求BF的最小值。不妨将三角形 ABC固定，旋转 BDE, E点的轨迹是 如图示的圆，E点的变换是取E、C连线的中点，那么 我们把点B作相同的变换，即取 B、C之连线的中点 M,连接MF,可得中位线，MFi工,那么，F就在 以MF为圆心，半径的圆上运动，由BFC三点形， 可知BF最小为BM-MF= I|二.旋转模型首先看两个基础模型1 .如右图，圆 C外的一点 A, B是圆C上一动点，连 AB,将AB 顺时针旋转90° ,得AB',如何确定B'的运动轨迹？如右图，B的变换是绕A顺时针旋转90。，那么我们将圆心 C作同 样的变换得到 C&

4、#39;,连接BC, B'C',易得 ABCAB'C',因此B' 的运动轨迹是以 C'为圆心，半径为 BC的圆2 .如图，A是圆O外一点，B是圆上一动点，连接 AB，将AB绕 点B逆时针旋转90°得到BC,如何确定点 C的运动轨迹？如右图，连接 AO,并绕点O逆时针旋转90° （B点的变换是和A构造等腰Rt三角形，因此我们也让 。和A构造同方向的/ O等腰Rt三角形），得到OD,连接AC, AD, OB, ABCA，小AOD ,相似三角形成对出现， 易证 ACD sABO , CD=L“OB;二1我-*因此C在以D为圆心，半径

5、为12 OB的圆上运动。A '二熟悉了这个规律，我们看下一道例题。例3.矩形ABCD , AB=2巡，AD=4 ,将AB绕点B旋转得到BF, E为AD中点，连EF并向下作正三角形 EFG,连AG,求AG的最小值。连BE, CE发现三角形 CBE为正三角形，连 CG,易得 BFE CGE,可知CG=BG=AB=?巡，如果连 AC, AC=27f|,由三点形， 那么AG最小为AM-MG= Z/T 2K例4.如图 ABC的两顶点A、B在半径是点 的圆。上/A=60° , ZB=30° ,固定点 A、B在圆。上运动，求 OC的最小值。连OB、OA ,并构造 30°

6、、60°、90°的三角形 AOE ,连接EP 由于相似三角形成对出现，那么 APEsabo, PE=； , OC最小值 为原方法更加简单，这里为了强调之前的规律，于是运用了比较复杂的方法 三.多伴随与多动点之前讨论的都是由一个主动点，引出一个从动点的动点问题，接下来我们将讨论几个主动点或由几个伴随点的问题 （以下内容绝大部分不属于中考范围，请根据个人能力进行学习）例5.如图， ABC , / A=45 ° , BC/注值，分别以点 B、 C为圆心作圆B （半径为2）、圆C （半径为"亍），圆B交AB于 点D,圆C交AC于点E,连接DE, DE中点P,请指

7、出P点的 运动轨迹。要解决这个问题首先要猜想圆心所在位置，根据之前的规律，我们猜想圆心是 BC中点于是我们取 B超中点F,连EF和 FP,倍长EF得到FG,连接BG、DG,那么就有BD=2 , BG=& 又因为BG和AC平行，易得/ DBG=135° ,双勾股（省略） 可以得到DG=f|1）,易得PF为三角形EDG中位线，那么PE为例6.如图所示的等腰 Rt三角形ABC, /B=90° , AB=3 ,分别过点B、C作两个半 径为1的圆，P、Q分别是两圆上的动点，连接 AP、AQ, AP中 点M、AQ中点N,连MN , MN中点G,求A、G距离的最小值。首要连接PQ

8、,可知MN为三角形APQ中位线（实际上是三 点形）取PQ中点I,连GI , AG,由相似可知 AGI三点共线，那 么AI=2AG现在问题就变成了求 AI的最小值。因为P、Q两个动 点都可以影响I的位置，因此求I的轨迹是不现实的， 那么想要解 决这个问题，就要求I的最大移动范围。很容易知道，当PQ为两圆公切线时，I在其最大移动 范围的圆上，我们令 P、Q同时顺时针（逆时针也可以）匀 速旋转一周，所得的I的轨迹即为I的最大移动范围（蓝轨 迹）。这个最大移动范围是以BC中点为圆心，半径为 1的圆，之后的解法同之前所讲的方法，得到 AI最小为'一”那么AG最小值即为四.阿式圆阿式圆是中考中的常

9、见题型，在很多地区的中考中都曾考到。下面是阿式圆的基本模型。如图所示，圆 O外两点A、B连OB,圆O半径r=k - OB,在 圆上找一点 D,使AD+k BD最小。连接OD,构造子母型相似( ODEsobd)可知DE=k BD,即BD的映射线，那么我们只需要让 AD+DE最小即可，连接 AE,与圆的交点即为 所求Do如上即为初中部分可能会涉及的圆与最值问题部分联系如下例七虹Sb,在已崎鼎4"。的边长为4, 一屏60”,。月序伴轻为七户为日讶上一rai4由，则y加卜斛？如图，三角形 ABC, AB=2 , / C=90° ,将C点绕 点A逆时针旋转90°得到点D,连接BD,求BD 的最大值。如图所示，正三角形 ABC G分别是这三个圆上的动点, 接OO',求OO&