实验一随机序列的产生及数字特征估计

1、实验一随机序列的产生及数字特征估计一、实验目的1、学习和掌握随机数的产生方法。2、实现随机序列的数字特征估计。二、实验原理1、随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。(0,1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。(0,1)均匀分布指的

2、是在0,1区间上的均匀分布，即U(0,1)。实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0,1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下： y0=1, yn= kyn-1mod N （1.1） xn= ynN序列xn为产生的(0,1)均匀分布随机数。下面给出了（1.1）式的3 组常用参数： N = 1010，k = 7，周期 5*107；（IBM随机数发生器）N = 231， k = 216 + 3，周期 5*108；（ran0）N = 231 - 1，k = 75，周期 2*109；由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。定理1.1若随机变量X具有连续分布函数

3、FX(X)，而R为(0,1)均匀分布随机变量，则有X= FX-1(R) （1.2）由这一定理可知，分布函数为FX(X)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按（1.2）式进行变换得到。2、MATLAB 中产生随机序列的函数（1）(0,1)均匀分布的随机序列函数：rand用法：x = rand(m, n)功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。（2）正态分布的随机序列函数：randn用法：x = randn(m, n)功能：产生m×n的标准正态分布随机数矩阵。如果要产生服从N(, 2)分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。（3）其他分布的随机序列MATLAB 上还提供

4、了其他多种分布的随机数的产生函数，表1.1 列出了部分函数。表1.1 MATLAB 中产生随机数的一些函数3.随机序列的数字特征估计对于遍历过程，可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。这里我们假定随机序列X(n)为遍历过程，样本函数为x(n)，其中n = 0, 1, 2, N-1。那么，X(n)的均值、方差和自相关函数的估计为:å-利用MATLAB 的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征。（1）均值函数函数：mean用法：m = mean(x)功能：返回按(1.3)式估计X(n)的均值，其中x为样本序列x(n)。- 4 -（2）方差函数函数：var用法：sigma2

5、 = var(x)功能：返回按（1.4）式估计X(n)的方差，其中x为样本序列x(n)，这一估计为无偏估计。（3）互相关函数函数：xcorr用法： c = xcorr(x, y) c = xcorr(x)c = xcorr(x, y, 'opition')c = xcorr(x, 'opition')功能：xcorr(x,y)计算X(n)与Y(n)的互相关，xcorr(x)计算X(n)的自相关。option选项可以设定为：'biased' 有偏估计，即'unbiased' 无偏估计，即按（1.5）式估计。'coeff

6、9; m = 0时的相关函数值归一化为1。'none' 不做归一化处理。三、实验内容及结果1. 采用线性同余法产生均匀分布随机数1000个，计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小。改变样本个数重新计算。Script计算脚本：num=input('num= ');N=231;k=216+3; %IBM random number generator Y=zeros(1, num);X=zeros(1, num); Y(1)=1;for i = 2:num Y(i)=mod(k*Y(i-1), N);end X=Y/N; a=0;b=1;m0=(a+b)/2;s

7、igma0=(b-a)2)/12; %theoritical valuem1=mean(X);sigma1=var(X); %actual value delta_m=abs(m1-m0)delta_sigma=abs(sigma1-sigma0) %error plot(X, 'k');xlabel('n');ylabel('X(n)');axis tight;实验结果：num = 1000delta_m =0.0110delta_sigma =0.0011num = 5000delta_m =2.6620e-04delta_sigma =0.

8、0020num = 10000delta_m =8.7166e-05delta_sigma =4.1864e-04由结果可知， 当num=10000时的均值和方差与理论值误差最小，因此效果比较好。2. 参数为的指数分布的分布函数为FXx=1-e-x利用反函数法产生参数为0.5的指数分布随机数1000个，测试其方差和相关函数。script计算脚本R = rand(1, 1000);lambda = 0.5;X = -log(1-R)/lambda; Dx = var(X)Rm, m = xcorr(X); subplot(2,1,1);plot(X, 'k');xlabel(&#

9、39;n');ylabel('X(n)');axis tight; subplot(2,1,2);plot(m, Rm, 'k');xlabel('m');ylabel('R(m)');axis tight;运行结果：Dx =4.1286结果分析：参数为的指数分布，其方差为12。当=0.5时， 应有DX=4，实验的结果DX=4.1286，可见大致与理论相符，误差来源于样本数量过少。3. 产生一组N(1,4)分布的高斯随机数（1000个样本），估计该序列的均值、方差和相关函数。script计算脚本：X = normrnd(1

10、, 2, 1, 1000); mx = mean(X)Dx = var(X) Rm, m = xcorr(X); subplot(2,1,1);plot(X, 'k');xlabel('n');ylabel('X(n)');axis tight; subplot(2,1,2);plot(m, Rm, 'k');xlabel('m');ylabel('R(m)');axis tight;运行结果：Dx =3.8872结果分析：样本方差为3.8872， 可见与理论值4比较接近。误差主要来源于样本数量过少。样本的自相关函数表明：正态分布的随机序列