利用函数的对称性可以化简一些较为繁琐的计算

1、积分与微分中,寸检问题的研究PB07210207王铭明利用函数的对称性可以化简一些较为繁琐的计算，可以大大提高做题的效率与准确性，这篇论文我总结了函数求导与函数积分的利用对称性求解的方法和一些典型例题，算是对对称性应用的一点心得。1、对称函数的求导a,对函数卫（为冰2,'J若它的任意两个变元对换时函数不变，如函数+v+Jx'+y'就是对称函数，对于对称函数具有这样的性质，即对任变元所得的结果都可经变元（字母）的对换直接转移到其他变元。d（叼工）证明决有如"）在变换卜fi，z-z）下，上式变为加F&y,z）；=（x,%）,取反变换，则有.=,考虑有由=,

2、则四伍出现出，同理前仅刈）=匹反嘲.b,而有些函数不是对称函数，如un（/y"3不是三元对称函数，但在变换（xm）下，函数仍然不变，此时我们称函数为三元轮换对称函数，类似于对称函数，对于一个轮换对称函数，他对某任一变元所得的结果都可经变元（字母）的轮换直接转移到其他变元c,有些函数如RxM=-Ry#,x与y互换后与原函数相差一个正负号，其不是对称函数，但由dr1dr】d11西此而/=-为侬）1dz及可知若已知Ox,我们只需将x与y互换，将结果再乘以（.）就立即可得出M2-iy2dzt*zxtanytant-,（对称变换）例1 ：设z=x+乂求仪效dt, xtan=22 4- 2y2

3、Vr VJ 2 + 2： +y(y22)xtan二22+ 2 +由对称函数性质，将x与y互换,XX*了2)/2ytan-+-二（轮换对称变换）例2: u二m(/yV)duyFInz,由于u为轮换对称函数，在变换XTjTXfZ)下，有duLkInx=duxiTiny,rlz-Z例 3.z=-2yV-y2)也y+工解得爪=廿十力考虑到函数z的表达式中x与y互换后，结果与原函数仅差一个符号，则有2改用dzx+-解得的=(x"力.2,积分中函数对称性的应用。1理论若AP；是区域、上的连续函数，且区域N具有某种对称性，当函数氏P)在N中对称点处的函数值的绝对值相等且符号相反(称KP)为相应区域

4、内的奇函数)时，有:NRp)dN=0当函数IHpi在N中对称点处的函数值相等(称HP；为相应区域内的偶函数)时，有:fNfp)dN=汀川氏p)d用其中区域N为区域N的对称的一半其中区域N可以是一维或高维空间。2典型例题其中£为柱面/ = 解：利用高斯公式有例1:利用高斯公式计算曲面积分毋口*-y)dxdy+(y-zjxdydz及平面z=0,z=3所围成空间闭区域的边界曲面的外侧。力式x-yidxdy=(y-z)xdydz_jJJN(y-z)clxdydz因为N关于xoy平面对称，且y为相应于N的奇函数，固有jjyNydxdydz=03又因N关于平面z=2对称，且I“是相应N奇函数，故

5、有dxdydz = 0所以原式JJJN(y-zdxdydz_JjNzdxdydz=JJfN|(z-3/2)+3/2|dxdydz_.:Jff Ndxdydz-2v=J X 3口=-2 .例2:计算曲面积分ds,其为锥面zJx,+r被曲面9ir=2=yJ=2ax(a>0)所截得的部分。解：考虑到七.关于xoz平面对称且(胃也：是相应与七的奇函数，故有:JJ- (xy + yz + zxId "ds =zxdSh,化I为二重积分并利用极坐标，有:v12 - d d dxdy=;2rlCOS E) nr cos6- Qdr64区=75心例3:计算三重积分JJJ2K 4- z)2dxd

6、ydz.I= C其中C为/+/+ /工1,(或 x + z)2dxdydz 解：I二JJJ(2x* + 2J2xr + z/Jdxdydz：c因为区域关于yoz平面对称且2是相应区域内的奇函数。于是二0,又因为积分区域关于平面x=y对称，于是JJJx2dxdydzJJJy2dxdydzJJJ(2x24-z2)dxdydzJJJ(x''+y:/+z2JdxdydzI=c=cjdGjdtpjTr2r2sintpdr=华noo、例4:求均匀半球面zf-X*-/对z轴转动惯量I,其中面密度P=1.解：记。为半球面z=.也_r£2£上X-y；记3为球面X+y+工=口因

7、为J关于z=0平面对称且+是相对于的偶函数，所以有:j"+"d)dsx,y,z地位对称，考虑到积分仅与积分域及被积函数有关而与积分变量的字母无关，有:Jx'dSJ*二 TdS于是1=J J'，力格二1/a+/+/)d5 =dS 4n! V1例5:计算三重积分。JJ(x-3xy2 + 3xy)dxdydz其中。是由球面(K-D2+(y-D24-Cz-1产=1所围成的空间闭区域解：因为积分区域关于平面x=y对称，故有dxdydzJJJx?ydxdydzdxdydzJJf(x3y-3x2y+3xy)于是，原式=将上述结果的被积函数凑一下，有x3y-3x2y + 3xy=(x-3x2y +i -悔-J-'|+1=y炉+1)+1,4n考虑到C关于平面x=1和平面y=1都对称，且半径为