曲线积分与曲线积分

1、六、曲线积分与曲面积分1 设曲线L是上半圆周x2 y2 2x，则 xdl _。L解法由于L关于直线x 1对称，所以(x 1)dlL0，从而解法令L：xdlL(x 1)L1dl(x 1)dlLdl 0Lcost,sint (0 txdl 0 (1Lcost) ,( sint)2 (cost)2dt 。解法设曲线L的质量分布均匀，则其重心的横坐标为x1。又因为所以xdlL上半椭圆周xdlLdlLxdlLx24y21,y 0，Li是四分之一椭圆周x24y21,x0, y 0，则(A)l(x y)di2l1(x y)dl。(B) L xydl2 L1 xydl。(C)Lx2dl 2l y2dl。(D)

2、 l(x y)2dl 2l1(x2 y2)dl。解由于L关于y轴对称，所以L xdlL xydl注意到Lx2dll ydl2 l, ydl，2 L x2dl 2LiLx2dl2Li x2dl，2y2dl，从而可以排除LY2dl 2 l1 y2dl。(A), (B), (C)三个选项，或直接选出正确选项(D)。3 计算I xdl，其中L是圆周x2 y2 a2上从点A(0, a)经点C(a,0)到点 La aB(,)的段。解法1取y为自变量,则L的方程为x *：a2 y2，其中专 ya，所以x(y)2dyaa2公 y2 ：1(2y)；dy 2 G。v a2 y2乜 2解法2取L的参数方程为acos

3、t, »亠其中一t ,所以asi nt,42xdlLcost ( a sin t)2 (a cost)2dt、2 1、2a2。解法3由于n2x, y是圆周x2 y2 a2的外向单位发向量,a所以此圆周的正向单位切向量为丄ay,x。根据两类曲线积分之间的关系,其中L的方程为I2a dy，Lx .a2 y2，终点为A(O,a)。因此4 计算 I “(xLy)x2 y2解由于圆周L关于y轴对称，所以2 12.2 a。x2 y2dl，其中L是圆周x2 (y 1)21。匚x,x2 y2dlLy). x2I订(xLI_y2y 2ydlL2 2x2 y2dl因为L的参数方程为ycost, 01 s

4、int.，所以I (2 2)* ydl（2 显）：（12sin)d5 .已知曲线 L是平面x y z(x2Ly2 z)dl。解法1由于曲线L的方程中的变量因此* (x2L)dl从而(xL解法2直接化成定积分进行计算。椭圆，其方程是2 RCOSt,x y2 2 2(2 .2)。0与球面x2z2R2的交线，计算曲线积分x, y,z具有轮换对称性，所以、x2dlLy2dlLz2dl，LxdlL zdl，L3lz2)dl2R2V34r3，x3lz)dl曲线x2xyRsint ,z)dl 1 0dl3ly2)dl“ zdlLR3。x2x yy2r22 ，zz2r2在x y平面的投影曲线R2。，则曲线L的

5、参数方程为2Rcost,3R . . R ._._y sint cost, 0 t 2 ， V2v 6z sint cost,v 2v' 6所以dl 22Rsin t2-cost R si ntR +6SintR +2 cost2dtRdt o从而2dl2 R2(cost)23RdtR2"y2dlL(Rsi ntR cost)2-2 - 6Rdt zdlLRRsint cost) Rdt.2 - 6因此z)dl“ x2dlL-y2dl LR36 .求柱面2x32y 31被球面x2y2R3z21包围部分的面积S 。解根据第一型曲线积分的几何意义及对称性,S 8 .1 x2Ly2

6、di，2其中L是平面曲线 x31,在第一象限中的部分。x取L的参数方程为ycos3sin3-，则2,'2 2 2 2dl ( 3cos sin )(3sincos ) d 3sin cos所以S 81 x2 y2dlL802 . 1 cos6sin6 3sin cos dQQAQQA24 02 1 (cos sin )(cos cos sin sin ) sin cos d42. 2. 424 02 (cos sin ) cos cos sin sin ) sin cos d24 J3 乍 sin2 cos2 d643 q2 sin2(2 )d#J3 。7 计算IL 3x2 ydx x

7、3dy，其中L是从点(0,0)经过点(1,0)到点(0,0)的折线段。解设L1: y 0, x从0到1 ； L2: x 1, y从0到1。根据路径可加性，得232311IL13x ydx x dyL2 3x ydx x dy 00dx 0( 1)dy 1。8 设L是圆周x2y22x,则“Lydx xdy2 。解1根据格林公式，得ydxxdy1 (1)dxdy 2Lx2 y2 2x解2由于n x 1, y是L的外向单位法向量，所以 y,x 1就是L的正向单位法向量。根据两类曲线积分之间的关系，得*ydx xdy =ydx (x 1)dy * dy*(y)2dl(x 1)2dl 02。LLLL9

8、.计算 I " y2xdy x2ydx， 其中L是圆周x2 y2 a2，顺时针方向为正。Lx a cost,解1取L的参数方程为t从0到 2 ，则y asi nt,2 2I 、y xdy x ydxL2220 (asi nt) a cost acost (a cost) asi nt( asi nt)dt1 42214a4 02 (sin2t)2dta4 。2 0 2解2由于y2x, x2 y具有一阶连续偏导数，并注意到L的方向，根据格林公式得Iy2xdy x2ydxLy2 ( x2)dxdyx2 y2 a22a 2 sin140 d 0r rdr 2a 。10 .计算1(12xy

9、ey)dx (cosy xey)dy，其中 L 从点(1,1)沿曲线 y x2到点L设L1从点(1,1)沿曲线y x2到点(0,0);L2从点(0,0)沿直线y 0到点(2,0)。则由于I (12xy ey)dx (cosyL101(12x3 ex (cosx20 x22 x21(e 2x e )dx220(ex2x2ex )dx12 v2x2°2x2ex dx xexxey)dy(12xy ey )dx (cos y xey)dyL22xex )2xdxodxsinlsin 11,0edx，所以2x2exdx e,从而(0,0)，再沿直线y 0到点(2,0)。设L1从点(2,0)沿

10、直线x 2到点(2,1)；L2从点(2,1)沿直线y 1到点(1,1) , L与L1和L2围成的区域记为 D。根据格林公式得I (12xy ey)dx (cosy xey)dyL L1 L2(12xy ey)dx (cosy xey)dyL1(12xy ey)dx (cosy xey)dyL2(ey 12x ey)dxdy ；(cosy 2ey)dy 21 (12x e)dxD21 (sin1 2 2e) ( 3e 18) sin1 e 1。(x y)dx (x y)dy i211 .计算I22，其中L是曲线y x22从点A( 2,2)到点B(2,2)l x2 y的一段。”、x y解 i 记

11、X(x, y) p 2,Y(x,y)x yx y r “二 2，当(x,y)(0,0)时，有x y丫(x, y)x2y_(x2 y2)2x2 2xy2 2X(x, y)。y令Li是折线段A( 2,2) C( 2,2)D(2, 2)B(2,2)，则根据格林公式易知(x y)dx (xy)dyx2 y2 IL(x y)dx (x y)dyLi22 y4 y2 12厂2 x 2 dx2 x243 。2解2 令L1是直线段A(2,2)B(2,2) , L2是圆周x2 y2 r2 , r足够小。由于当(x, y)(0,0)时，有2 2y x 2xy(2 2(x y)2所以根据格林公式得(xy)dx(x

12、y)dyIL(x y)dx (x y)dy(xLix22 _x_272 dx42yi訂(xr L2y)dxy)dx (x y)dy2 2x y(x y)dy，记Cx12 .设u(x, y), v(x, y)在全平面内有连续的一阶偏导数,为包围原点的正向简单闭曲线，计算i C(xv yu)dx ();u yv)dy。x yC CrX(x,y)dxY(x, y)dy0,故ICrX(x,y)dx Y(x,y)dy。xrcos令Cr :r sin ':0 2则yI 2丄0 r2r cos vr si nu)(sin )r (r cos u r sin v)r cos d=0 u(r cos,r

13、 sin)d2 u(r cos ,r sin ), 02 。任取r 0充分小，记Cr为圆周2 xy2 r2，并取逆时针方向，根据格林公式可知,由于I与r的值无关，令r0 ，得 I 2 u(0,0) o”、亠xvyuxuyv ,解记 I*CX(x, y)dx丫(x, y)dy，其中X(x,y) 22，丫(x,y)22。由于x yx yX(x,y)y(xVy22yuy u)(x y ) 2y(xv yu)(x(xVy2 2 2 2yuy)(xy ) (y x )u 2xyv272(x y )Y(x, y) (xuxyvx)(x2 2 2 2y2) (y2 x2)u 2xyv(222，(x y )2

14、 且 ux Vy,uyvx，所以当 x0时，X(x,y)丫(x, y)。yx13 .计算 Iey cosx aydx ey sinx b(x y)dy，其中 L 为 4x2 9y2 36 在L第一象限中的部分，方向为从点（3,0）到（0,2） o解1由于曲线积分I1 ey cosx bydx ey sinx b(x y)dy与路径无关，所以 L3所以I1 fcosxdx (2( by)dysin3 2b。又 ydx022sint ( 3sint)dtL3I I1 (b a) ydx (a b) 2b sin3。L2解2取L1是从点（0,2）经点（0,0）到点（3,0），根据格林公式，得I ey

15、 cosx aydx ey sinx b(x y)dyL Liey cosx aydx ey si nx b(x y)dy03(a b)dxdy 2( by)dy 0cosxdx D1-3 2 (a b) 2b sin343(a b) 2b sin3。214 .设L是右半平面（x 0）内的有向分段光滑曲线，起点为（a,b），终点为（c, d）。证明曲线积分I 丄1 x2sin（xy）dy 2x2sin（xy） 1dx与路径无关，并求I的值。 LXx2解1因为丄1x2 sin(xy)sin (xy)x2y 2xycos(xy)x sin(xy) 1y x2在右半平面内处处成立，所以曲线积分I在右

16、半平面内与路径无关。取L为从点（a,b）经过点（c,b）到点（c,d）的折线段，得I 丄1 x2 sin(xy)dy -x2sin(xy) 1dxLxx2；¥x2sin(bx) 1dx ：丄1 c2 sin(cy)dy x2ccos(bx)dby cos(cy)c cos(ab) cos(cd)。 c a解2因为12y 21 x2si n(xy)dy2【x2si n(xy) 1dxxx2xdy ydxsin (xy)(ydx xdy)2 xsin (xy)d(xy) d()xyd cos(xy)，xy12y 2所以 cos(xy)是 1 x2 si n(xy)dy2x2si n(xy

17、) 1dx在右半平面上的一个原函xxx2数，所以曲线积分I在右半平面内与路径无关，且15 .计算 I L ydx11 x2si n(xy)dy Lxy x2sin(xy) 1dxx2丫xd(x2cos(xy)(c,d)(a,b)b cos(ab) cos(cd) ay2z2)dz, L是曲线x2y 1在第一卦限中的部分，从点2x 4(0,1,4)到点(1,0,6).解1 取L的参数方程为x.x2，参数x从0变到1，则2x 42ydx (xL0占y2z2)dzx2(1(2x 4)2)2dx83158 。43163216 .计算 I : ydx zdyLxdz，其中L是球面2 2 2x y z 4

18、z与平面x z 2的交线，从z轴正向看去为逆时针方向。解1曲线L在xOy平面上的投影的方程为2x2y24，这是一个椭圆。取 L的参数方程为x2 cost,y2si nt,z 2,2 cost,参数t从0到2 ，从而I < ydx zdy xdzL0 2sint( . 2sint) (2 、2cost)2cost一 2 cost .2 sintdt4 2。解2由于曲线L在xOy平面上的投影曲线为L. : 2x 2 2I x ydx y zdy z xdzL0 2 cos2 r 2 si nt(2 si nt)22l 2 y2 4，所以V24解3取S为曲线L在平面x z上围成的半径是2圆盘，

19、上侧为正。根据斯托克斯公式17 .计算I2* x ydxL“ ydxL(0 1)dydzSs(；2y zdyzdyxdz(0 1)dzdx(0 1) dxdy线，方向为从求解x2 cost2 si nt01 )dS2z2xdz，其中2 dSSL 为 z x2y2与x2 y2 z26的交Z轴的正向往负向看去是顺时针。2 2x yy2z26，得z 2，所以z 0L的方程为z 2x2y22，其参数方程为，参数t从0变到2 。因此、ydLx zdy xdzydx(2x)dyx(dx(yx)dx(2x)dy( k2 y21 ;41)dxdy4sin2t 2cost 0dt0 ( sin 2t 4 2 s

20、in t cost)dt2 2z 2x2y22z x y解2求解x2y2z26，得z 2，所以L的方程为z 0z 22，上侧为正，根据斯托克斯公式，得取 S:22x y2 2 2I “ x ydx y zdy z xdzL(0 y2)dydz (0 z2)dzdx (0 x2)dxdySx2dxdy 1 (x2 y2)dxdyx2 y2 22 x2 y2 22 o d 02r2rdr 。222222_ ,Q18 .计算 I (y z )dx (z x )dy (x y )dz,其中 L是用平面 x y z 2 a切立方体(x, y, z) 0 x, y,za所得的切痕，从ox轴正向看去为逆时针

21、方向解取S为平面x y zfa上由L围成的边长是-a的正六边形,2方向向上。根据斯托克斯公式，得I -L (y2 z2 )dx (z2 x2 )dy (x2 y2)dz(2y 2z)dydz ( 2z 2x)dzdx ( 2x 2y)dxdyS1 1 12 (y z) (z x) (x y)dSs、3332、3a dS 2、3a. 6a26-2a3。S19 .计算 I 7 (y2 z2)dx (2z2 x2)dy (3x2 y2)dz，其中 L 是平面 x y z 2L与柱面x y 1的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向。解1 记L1、L2、L3、L4分别为L在第一、第二、第三和第四卦限中的

22、部分，则L(y2z2)dx(2z2x2)dy(3x2y2)dzL1(y2z2)dx(2z2x2)dy(3x2y2)dzL2(y2z2)dx(2z2x2)dy(3x2y2)dzL3(y2z2)dx(2z2x2)dy(3x2y2)dzL4(y22 z)dx(2z2x2)dy(3x2y2)dz01(1x)2x23dx13(10x)2 (12x)27x2 dx0(11x)2x227 dx113(x1)：2 (32x)27x2 dx0733793324解2 记L为L在xOy平面上的投影，则 L的方程是x y 1，所以1 y2 (2 x y)2dx 2(2 x y)2 x2dyL2 23x2 y2( dx

23、 dy)2 2 2 2 2 2:2y2(2 x y)23x2dx2(2 x y)24x2y2dyLy)dxdy (Green公式)解3取S为x y z 2上由L围成的平面区域，上侧为正。根据斯托克斯公式，得I ( 2y 4z)dydz (2z 6x)dzdx ( 2x 2y)dxdyS(4x 2y 3z)dS- 3 s2(6 x y)dxdyx y 112 dxdy 24。x y 1解4根据斯托克斯公式，得I ( 2y 4z)dydz (2z 6x)dzdx ( 2x 2y)dxdy 。S而(y 2z)dydzS(y 2z)dydz(Dyz是s在y z平面上的投影)Dyz3(3 z)/21dz

24、 (y 2z)dy (化二重积分为二次积分)(1 z)/28 ；(z 3x)dzdxS(z 3x)dzdx(Dxz是s在x z平面上的投影)Dxz3(3 z)/2；dz(z 3x)dx(1 z)/24 ；(x y)dxdyS(x y)dxdyx y 10。(对称性、奇偶性)所以I -2 (8 40)-24。20 .已知曲线积分2 2 2 2 2 2I (xz ay bz )dx (xy az bx )dy (yz ax by )dzL与路径无关，求a,b的值，并求从A(0,0,0)到B(1,1,1)的积分值。解因为函数X(x, y,z)xz ay2bz2,丫 (x,y,z)xy az2bx2,

25、Z(x,y,z)2yz axby2所以IX(x,y,z)dx 丫(x,y,z)dy Z(x,y,z)dz与路都在整个空间上具有连续偏导数,L径无关的充要条件是ZYXZYXyJzzJxxy即z2by2az0,x2bz2ax0,y2bx2 ay0对任意的x,y,z都成立。因此必有a0。2取L是由平行于坐标轴直线构成的折线段，则2)2)dz(1,1,1) 1 2(xz -y )dx (xyL(0,0,0)1111oOdx °ydy °(z )dz 2。21 .判断(ex cosy 2xy2)dx (2x2y ex siny)dy是否是全微分式，若是，求它的原函数。解 因为函数ex

26、cosy 2xy2,2x2yex sin y在R2上存在一阶连续偏导数，且(ex cosy 2xy2)4xy ex sin y(小航心)所以微分形式(excosy 2xy2)dx(2x2y exsin y)dy是一个全微分式。它的所有原函数是(x，y) x22u(x, y) (e cosy 2xy )dx (2x yex sin y)dy C(0,0)Odx 0(2x2y ex sin y)dy Cx22 xxe 1 x y e cosy e Cx2y2 ex cosy C。另解利用不定积分法求原函数的过程如下：设du(x, y) (ex cosy 2xy2)dx (2x2yex sin y)

27、dy，u(x, y)ex cos y 2xy2,u(x, y)2x2x y e sin y ,由第一式得x22u(x, y) e cosy x y g(y),所以丛型2x2y exsiny g (y),y比较u(x, y)的两个表达式，得g (y) 0 ,即g(y) C，故yx22x22u(x, y) e cosy x y g(y) e cosy x y C。22 已知曲线积分l xy解2 因为曲线积分 xy dx yf (x)dy故Lxyyf (x) 2xy，考虑到 f(0)0，得 f(x) x2。从而(o,0)xy2dx yf (x)dyyx2dy。2dx yf(x)dy与路径无关，其中f

28、 (x)具有一阶连续导数，且(1,1) 2f (0)0。求(00)xy dx yf (x)dy 的值。2解1根据曲线积分L xy dx yf (x)dy与路径无关，取积分路径为从点(0,0)经过点(0,1)到点(1,1)的折线段，得(0：0)xy2dx yf(x)dy0yf (0)dy 0xdx1。(0,0)xy2dx(1,1)(0,0)23 设函数f(x, y)在R2内具有一阶连续偏导数,(t,1)关，且对任意的t恒有 2xydx f (x,y)dy(0,0)曲线积分L2xydxf (x, y)dy与路径无(1,t)(0 0)2xydx f (x, y)dy，求 f (x, y)的表2达式。

29、解因为曲线积分 l 2xydx f (x, y)dy与路径无关，所以2因此 f (x, y)x2g(y)。从而f(x,y)x(0,0) 2xydx f (x, y)dy 00dx 0(t ，f(x) y2 g(y)dy t20g(y)dy,(0,t0)2xydx f(x, y)dy00dx 0(1 g(y)dyt °g(y)dy.所以t210g(y)dyt 0g(y)dy对任意t成立。由此得g(t) 2t 1，所以24 .已知2f (x, y) x g(y)x2 2y1。2 (xdyL f(x) yydx) A，其中 fC1,f(1)1,L是绕原点一周的任意正向闭曲线，试求f (x)

30、及A.解根据题中条件，可以证明C f(x)12(xdy yydx) 0，其中C是任意一条不包围原点的封闭曲线。因此x f(x) yy从而2f (x) xf (x)0，f(x)考虑到 f(1)1，得 f(x) x2。取L为x2y21，得Xxdyydydxy xd d X.7 1xdyyd25 .设在变力F (x, y, z) yz, zx, xy的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面x2y2z2a2 b2 c21上第一挂限中的点P(u,v,w)处，问当点P(u,v,w)在何处时，力F(x,y,z)作的功W最大，并求出功的最大值。解 设从原点到点P(u,v, w)的直线的参数方程为x ut,y v

31、t, t：01，则z wtW yzdx zxdyLxydz120(vwut22wuvt uvwt )dt uvw。考虑条件极值问题令 L(u,v,w,)uvwu22a2u_a2maxuvwH v2必1c2 ,2 v b22w 121 ，求解cLuvw0,LvuwLwuv22uv722abb2 w c2 w2T20,0,得 u a,v b, c(3V3* 3根据实际情况可知，当点P(u, v, w)在处时，力F(x,y,z)对质点所作abc的功W最大，功的最大值是一3/326 设函数f (x, y)在有界闭域D上具有二阶连续偏导数，n是D的外向单位法向量。(1) 证明f(x,y) 2f(x,y)

32、Dx2(2 )当2 f (x, y)2xf(x, y)0, (x,y)2f(x,y)2 f (x, y)2ydxdyf (x, y) x2 位山dxdy;y0, (x, y)D，且 f (x, y) 0,(x,y) D 时，证明证明(1)根据方向导数的计算公式,f(x,y)Df(x,y)±0Dx4?ndl , y利用格林公式，得Df(xf皿?ndl y3 dxdy, y所以f(x,y)S2didnf(x,y) 2f(x,y)Dx2屮dxdyf (x, y) 2f(x,y)y2dxdy。(2 )当2 f (x, y)2x知 0,(x,y)y，且f(x,y)O,(x,y)D时，根据(1)

33、的结果得f(x, y) 2 Df (x, y)y2dxdy由于f (x, y) 2xf(x, y)y2在D上式非负连续函数，所以f(x,y) 22皿 0,(x,y)y从而 f (x, y) C,(x, y) D。考虑到函 数f(x, y)在D上的连 续性 和f (x, y) 0, (x, y) D ,f (x, y) 0, (x, y) D。27 .设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数，证明对上半平面y 0中的任意封闭曲线 c都有，座_型0成立的充要条件是： f(tx,ty) t2 f (x, y)对任意的t 0及上半平面中的c f(x,y)任意点(x, y)都成立。证明设c是上半平面y0中的

34、任意一条封闭曲线，记Dc是c为成的平面域。根据格林公ydx xdyc f (x, y)Dcf (x, y) xfx (x, y)f(x,y)2f(x,y) yfy2(x,y)dxdy f(x, y)2Dcxfx (x, y)yfy(x, y) 2f(x,y)2 dxdy,f(x,y)2因此” ydy o c f(x,y)Xfx(x,y) yfy(X：)2f(X,y)dxdy 0。Def (x, y)考虑到上述积分域的任意性和被积函数的连续性，可得ydx xdy6 e f(x, y)ydx xdy南 e f (x, y)xfx(x, y)yfy(x, y) 2 f (x, y)f(x, y)2-

35、f (xt, yt)-g(t)，所以 g(t) Ct2。由于 g(1) f (x, y)，所以 C f (x, y)，故 g(t) f (x,y)t2，从而f (xt,yt) t2f (x, y)。这样就证明了xfx(x,y) yfy (x, y) 2f (x, y) 0 f (xt, yt) t2 f (x, y)， t 0。综上，结论得证。28 .计算I xdS，其中S为柱面x2 y21与平面z 0, z x 2所围空间区域的表面。xfx (x, y)yfy (x, y) 2 f (x, y) 0。当f(tx,ty) t2 f (x, y)对任意的t 0及上半平面中的任意点(x, y)都成

36、立时，在等式两端关于t求导，得xfi(tx,ty)yf2 (tx,ty)2tf (x, y)，故txfi(tx,ty) tyf2(tx,ty) 2t2f(x, y) 2 f (tx,ty)，所以xfx(x, y) yfy(x,y) 2f (x, y) 0。当 xfx(x,y) yf y (x, y) 2f (x,y) 0 时，令 g(t) f(xt, yt), t 0,则g (t)xfi(xt, yt) yf2(xt,yt)1Jxtfi(xt, yt)ytf2(xt,yt)22解记S： x y z 0,2, (x, y) D (x,y) x2y2 1 , S3 为柱面2 2x y1介于平面z2

37、之间的部分。根据第一型曲面积分的计算公式，并利用尔充积分的性质，得xdSSxdSS3x. 10 0dxdyDx.11 0dxdyD对于S3，由于其方程为x2y21，所以不能写成z z(x,y)的形式，故只能考虑其在xOz或yOz坐标面上的投影。为了简单起见，考虑S3在xOz坐标面上的投影域 D ,根据题中条件易知D(x, z)1 x 1,0 z x2，且S3可以分成S31与S32两部分，其中S31： y<1 x2,(x,z)D ； S32: y.1x2 , (x, z) D。因为xdSx. 1S32D .2x 0dxdz 1 x2所以从而29 .计算f(x, y,z)D <1=dx

38、dz x2xdS xdSS3S31xdS xdSSS1xdS 。S32xdSS2f (x, y, z)dS，其中S为球面x2xdS 。S32 2 2y z a ,0,zx2y2,z22y。2 y2解记S!为球面x2 y2z2a2在锥面zx2 y2内的部分，贝y S的参数方程为所以xa sin cos ,y a sin sin , 0 z a cos ,才02f(x,y,z)dS(x2 y2)dSSS1 2 2-2 20 d 0 a sin a si nd2 a4fsin2sin da(35 2)12)另解 本题在直角坐标下的计算如下:30 .计算f (x, y, z)dSx2ao(x2 y2)

39、dSS1(x22 !a22y2) 1xa2x2 y2ydxdy2 2 2a x ya4(2x2a2ar202甘5.2)12 )(xS2y2xdxdy一 rdrr2a)2dS ,其中S为球面(x a)2(ya)2 (za)2a2。解由于I (x y z a)2 dSS(x a) (y a) (z a) 4a2dS,S(x a)dS (y a)dS (z a)dS 0,SSS(x a)(y a)dS (y a)(z a)dS (x a)(z a)dS 0,SSS所以I(xa)2(ya)22(z a) 16a2dSS17a24a268aD。31 .计算1/ 2 2 2 xyz( y z z2 x2

40、2x y)dS ,2其中S是球面x2 2 2y z a在第一卦限S中的部分。解1直接化为二重积分计算。由于z a2 x2 y2，所以dS记 D (x, y) x2x2y2dxdy。a2 ,x 0, y 0，则2y2dSdxdy2 y,2 2 2 2 xyz( y z z xSx2y2)dS 3 xyzxS2aya x3a x3y3dxdyDQ a8 1 3a8 12a9。32fr 3 cos3r3 sin3 rdr解2记D1(x,y)x2y2a2,x0,yD2( x, z)x2 z2axy . a2 x2,x0,zQ ,D3 (y, z)y2z2a2,y0, z0。取 Sf z 0,(x, y

41、)D1，方向向下；S2： y0，O,(x,z)D2，方向向左;I a y3z3dydz z3x3dzdx x3y3dxdySay3z3dydz z3x3dzdx x3 y3dxdyS Si S2 S3333333.a y z dydz z x dzdx x y dxdy51a y3z3dydz z3x3dzdx x3y3dxdy52a y3z3dydz z3x3dzdx x3y3dxdy53a 0dV a x3y3dxdy a x3z3dxdz a y3z3dydDi3a x3y3dxdyDia9D2D3其中是球体在第一挂限中的部分。32 .计算1n(z ySn )COS(xn zn) cos

42、(yn xn)cos dS ,22 22其中xS:y zRn(cos a, cos , cos)是S向上的法向量。z0解i由于ni(x,y,z)，所以o32)Rds。yn)R *I (znS(yn xn根据曲面S关于坐标面的对称性，得I(znSn、x7)R0,/ n n、 (x z )同样的理由，得ynzdSxnSzdS,因此I 0 o解 2 记 Si: z0, x2y2R2，方向向下;x2z2R2,o根据高斯公式,(zn yn) cosS Si(zn yn)cosSi(xn zn) cos (yn xn)cos dS(xn zn)cos(yn xn)cos dS33计算R, z记S1:(0

43、0O)dV(yn xn)dxdyR2曲面积分I2xdy dz z dx dy其中S是由x2 y2R2及R(R 0)围成的圆柱体的表面,外侧为正。S2：S3：S4:R,(x, y) Di (x,y) X2R,(x, y) Di，方向向下;PR2 x2, (x,z) D2(x, z). R2 x2,(x, z)D2，方向向左。y2R2，x R,方向向上;R z R，方向向右;222Sxyzxdydzz2dxdyxdy dzz2dxdy222c222xyzs2xyzxdydzz2dxdyxdy dzz2dxdy222222xyzS4xyzSiS32I xdy dz z dx dyr2r2_22dxdy _-2dxdyD1x2 y2 R2d1 x2 y2 R2、 X2 x 2 dxdz x 2 x 2 dxdzD2R2x2R2z2d2r2x2R2z2x22 dxdzD2(R2 z2) - R2 x2dx x22 r dz rx2R.r2Rr.R2x2dx)-(RR£dxR R R2 x2-(R2x2dydzS(2