第五部分数理统计的基本概念与抽样分布教学-ppt课件

1、第第 五五 章章 数数 理理 统统 计计 的的 基基 本本 概概 念念与与 抽样分布抽样分布第第5.15.1节节 根本概念根本概念一、总体与个体一、总体与个体二、随机样本二、随机样本三、统计量三、统计量四、小结四、小结一、总体与个体一、总体与个体 一个统计问题总有它明确的研讨一个统计问题总有它明确的研讨对象对象.研讨对象的全体称为总体研讨对象的全体称为总体(母体母体)，总体中每个成员称为个体总体中每个成员称为个体.研讨某批灯泡的质量研讨某批灯泡的质量调查国产调查国产 轿车的质量轿车的质量总体总体总体总体 然而在统计研讨中，人们往往关怀每个然而在统计研讨中，人们往往关怀每个个体的一项个体的一项(

2、或几项或几项)数量目的和该数量目的数量目的和该数量目的在总体中的分布情况在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有这时，每个个体具有的数量目的的全体就是总体的数量目的的全体就是总体.该批灯泡寿命的该批灯泡寿命的全体就是总体全体就是总体灯泡的寿命灯泡的寿命国产轿车每公里国产轿车每公里的耗油量的耗油量一切国产轿车每公里耗一切国产轿车每公里耗油量的全体就是总体油量的全体就是总体 由于每个个体的出现带有随机性，即相应由于每个个体的出现带有随机性，即相应的数量目的值的出现带有随机性。从而可把的数量目的值的出现带有随机性。从而可把此种数量目的看作随机变量，我们用一个随此种数量目的看作随机变量，我们用一个随机

3、变量或其分布来描画总体。为此常用随机机变量或其分布来描画总体。为此常用随机变量的符号或分布的符号来表示总体。变量的符号或分布的符号来表示总体。 通常，我们用随机变量通常，我们用随机变量X , Y , X , Y , Z, Z, 等表示总体。当我们说到总体，就是等表示总体。当我们说到总体，就是指一个具有确定概率分布的随机变量。指一个具有确定概率分布的随机变量。如如:研讨某批灯泡的寿命时，我们关怀的数研讨某批灯泡的寿命时，我们关怀的数量目的就是寿命，那么，此总体就可以用随量目的就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量机变量X表示，或用其分布函数表示，或用其分布函数F(x)表示表示.总体总体某批某批灯

4、泡的寿命灯泡的寿命寿命寿命X可用一概可用一概率分布来刻划率分布来刻划F(x) 某工厂某工厂10月份消费的灯泡寿命所组成的月份消费的灯泡寿命所组成的总体中总体中, 个体的总数就是个体的总数就是10月份消费的灯泡数月份消费的灯泡数, 这是一个有限总体这是一个有限总体; 而该工厂消费的一切灯泡寿而该工厂消费的一切灯泡寿命所组成的总体可近似地看成一个无限总体命所组成的总体可近似地看成一个无限总体, 它它包括以往消费和今后消费的灯泡寿命包括以往消费和今后消费的灯泡寿命. 有限总体和无限总体有限总体和无限总体实例实例 当有限总体包含的个体的当有限总体包含的个体的总数很大时总数很大时, 可近似地将它看可近似

5、地将它看成是无限总体成是无限总体.二、随机样本二、随机样本1. 样本的定义样本的定义 为推断总体的分布及各种特征,按一定的规那么从总体中抽取假设干个体进展察看实验,以获得有关总体的信息.这一抽取过程称为“抽样. 所抽取的部分个体称为样本.通常记为样本中所包含的个体数目n称为样本容量.),(21nXXX 容量为n的样本可以看作n维随机变量.但是,一旦取定一组样本,得到的是n个详细的数 ,称此为样本的一次察看值,简称样本值.2. 简单随机样本简单随机样本 抽取样本的目的是为了利用样本对总体进展统计推断,这就要求样天性很好的反映总体的特性且便于处置.为此,需对抽样提出一些要求,通常有两条:),(21

6、nxxx满足上述两条性质的样本称为简单随机样本.获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样. 为了使大家对总体和样本有一个明确的概念,我们给出如下定义:定义定义5.15.1一个随机变量X或其相应的分布函数F(x)称为一个总体.1. 代表性：代表性： X1,X2, Xn中每一个与所调查的中每一个与所调查的总体总体X有一样的分布有一样的分布.2. 独立性：独立性： X1,X2, Xn是相互独立的随机变是相互独立的随机变量量.,)(,)(,)(2121本本简简称称样样的的简简单单随随机机样样本本中中抽抽取取的的容容量量为为或或总总体体为为从从总总体体则则称称随随机机变变量量、相相互互独独立立的的是是

7、具具有有同同一一分分布布函函数数若若的的随随机机变变量量是是具具有有分分布布函函数数设设nxFXXXXxFXXXxFXnn定义定义5.25.2.,21个个独独立立的的观观察察值值的的又又称称为为称称为为样样本本值值它它们们的的观观察察值值nXxxxn样本样本 一切能够取值的全体称一切能够取值的全体称为样本空间，为样本空间， 记为记为 。12(,)nXXX的的样样本本点点中中称称为为nxxx,21定理定理5.1).(),(), 2 , 1)()3().(),(),()2().(),(),()1(.),(121*12112121 niiniiniinniinnxpXXXixpxXPXxpXXXxp

8、XxFXXXxFXXXXX的分布律为的分布律为则样本则样本的分布律为的分布律为若总体若总体的分布密度为的分布密度为则样本则样本的分布密度为的分布密度为若总体若总体的分布函数为的分布函数为则样本则样本的分布函数为的分布函数为若总体若总体的样本的样本为来自总体为来自总体设设3.样本的分布样本的分布.),(,),( ,)0(2121的的概概率率密密度度求求样样本本是是来来自自总总体体的的样样本本布布的的指指数数分分服服从从参参数数为为设设总总体体nnXXXXXXX 解解的概率密度为的概率密度为总体总体 X 0, 00,)(xxexpx , 21有有相相同同的的分分布布且且与与相相互互独独立立因因为为

9、XXXXn的的概概率率密密度度为为所所以以),( 21nXXX)(),(121 niinnxpxxxp 其其它它, 00,1ixnxenii 例例1 1.),(,),(, 10), 1(2121的的分分布布律律求求样样本本是是来来自自总总体体的的样样本本其其中中服服从从两两点点分分布布设设总总体体nnXXXXXXppBX 解解的分布律为的分布律为总体总体 X, 21相相互互独独立立因因为为nXXXiippiXP 1)1()1, 0( i,有相同的分布有相同的分布且与且与X的的分分布布律律为为所所以以),( 21nXXX例例2 2,2211nnxXxXxXP 2211nnxXPxXPxXP ni

10、iniixnxpp11)1(.1 , 0,21中中取取值值在在集集合合其其中中nxxx三、统计量三、统计量1. 统计量的定义统计量的定义5.3.),( ,),(,21212121计计量量是是一一个个统统则则称称不不含含未未知知参参数数中中若若的的函函数数是是的的一一个个样样本本是是来来自自总总体体设设nnnnXXXffXXXXXXfXXXX 由样本推断总体特征,需求对样本进展“加工,“提炼.这就需求构造一些样本的函 数,它把样本中所含的信息集中起来.?,),(,22321哪哪些些不不是是些些是是统统计计量量判判断断下下列列各各式式哪哪为为未未知知为为已已知知其其中中样样本本的的一一个个是是来来

11、自自总总体体设设 NXXX,11XT ,3212XeXXT ),(313213XXXT ),max(3214XXXT ,2215 XXT).(123222126XXXT 是是不是不是例例1.),(),(,21212121的的观观察察值值是是则则称称的的样样本本值值是是相相应应于于样样本本设设nnnnXXXfxxxfXXXxxx2. 几个常用统计量几个常用统计量(样本矩样本矩)的定义的定义.,2121是是这这一一样样本本的的观观察察值值是是来来自自总总体体的的一一个个样样本本设设nnxxxXXX(1)样本平均值样本平均值;11 niiXnX(2)样本方差样本方差 niinXXnS122)(1.1

12、122 niiXnXn.11 niixnx其察看值其察看值它反映了总体均值它反映了总体均值的信息的信息它反映了总体方差它反映了总体方差的信息的信息其察看值其察看值 niinxxns122)(1.1122 niixnxn(3)样本规范差样本规范差 ;1122 niinnXXnSS其察看值其察看值.)(112 niinxxns(4)修正样本方差修正样本方差 niinXXnS122*)(11.11122 niiXnXn(5) 样本样本 k 阶阶(原点原点)矩矩;, 2, 1,11 kXnAnikik其察看值其察看值.,2111kxnanikik(6)样本样本 k 阶中心矩阶中心矩;, 3, 2,)(

13、11 kXXnBnikik其察看值其察看值., 3, 2,)(11 kxxnbnikik其察看值其察看值 niinxxns122*)(11.11122 niixnxn样本矩具有以下性质样本矩具有以下性质:性质性质5.1 .)()4(;)()3(;)()2(;)()1(:,),(,)(,)(22*21221212 nnnnnnSESEXDXEXXXXXDXEX则有则有的样本的样本为来自总体为来自总体方差方差的期望的期望设总体设总体证明证明 ninniinniinXEXEXE111111)()()()1(211211111222 nninniinniinXDXDXD)()()()()()()()(

14、2121122123XEXEXXESEniinniinn)()()()(2211XEXDXEXDiniin212211221 nnnnin)()(2212124 )()()()(*nnnnnnnSESESE证明证明, , 21同同分分布布独独立立且且与与因因为为XXXXn , , 21同同分分布布独独立立且且与与所所以以kknkkXXXX.)()()()(21kkknkkXEXEXEXE 故故有有再根据第四章辛钦定理知再根据第四章辛钦定理知., 2, 1,)(kAnXEkXkPkkk时则当存在记成阶矩的若总体性质性质5.2由第四章关于依概率收敛的序列的性质知由第四章关于依概率收敛的序列的性质知

15、),(),(2121kPkgAAAg .是连续函数是连续函数其中其中g;, 2, 1,11 kXnAkPnikik 以上结论是下一章所要引见的矩估计法以上结论是下一章所要引见的矩估计法的实际根据的实际根据. 3.次序统计量次序统计量定义定义定定义义时时取取值值为为当当大大的的次次序序重重新新排排列列为为将将观观测测值值按按由由小小到到是是其其一一个个观观测测值值中中抽抽取取的的一一个个样样本本是是从从总总体体设设,),(),(,),(,),()()()(nnnnnxxxXXXxxxxxxXXXX2121212121),(), 2 , 1()()2()1()()(nkkXXXnkxX由此得到由此

16、得到取值为取值为 .),(.),()()2()1(21称称为为其其观观测测值值对对应应的的的的次次序序统统计计量量称称其其为为样样本本nnxxxXXX特别的特别的.min1)1(称称为为最最小小次次序序统统计计量量iniXX .max1)(称称为为最最大大次次序序统统计计量量ininXX 阐明阐明.,),()()2()1(21)(一一般般不不相相互互独独立立并并且且它它们们也也都都是是随随机机变变量量所所以以的的函函数数都都是是样样本本由由于于每每个个nnkXXXXXXX定理定理5.2),()(xFxpX或或分分布布函函数数为为的的分分布布密密度度为为设设总总体体则则有有的的次次序序统统计计量

17、量的的样样本本为为总总体体.)X,X,X(Xn21)X,X,X()n()2()1()()(1 )()1(1)1()1(xpxFnxpXnX 的分布密度为的分布密度为最小次序统计量最小次序统计量)()()()2(1)()(xpxFnxpXnXnn 的分布密度为的分布密度为最大次序统计量最大次序统计量其他其他的分布密度为的分布密度为总体总体解解, 00,1)( xxpX xxxxxFX, 10,0, 0)(的分布函数为的分布函数为.,),( , 0)()1(21的的分分布布和和试试求求的的样样本本为为总总体体上上的的均均匀匀分分布布服服从从区区间间设设总总体体nnXXXXXXX例例其其他他的的分分

18、布布密密度度为为得得由由定定理理,)()(.)()(00125111 xxnxpXnX其他其他的分布密度为的分布密度为而而,)()()(001 xxnxpXnnXnn4. 阅历分布函数阅历分布函数, 的的一一个个样样本本是是总总体体设设XXXXn21定义5.5),()()2()1(nXXX.),(的的次次序序统统计计量量的的样样本本为为总总体体nXXXX21称称函函数数是是任任一一实实数数设设为为其其观观测测值值,),()()()(xxxxn211,.,2 , 1., 1, 0)()()1()()1( nkxxxxxnkxxxFnkkn. , )( )(21的的个个数数于于中中不不超超过过表表

19、示示其其中中xxxxxxSn )( ),(1)( xxSnxFn , )( ,.即的个数再除以过为样本值中不超经验分布函数实数对任何换句话说的经验分布函数为总体nxxFxXn性质.,)()1(是是一一个个分分布布函函数数满满足足分分布布函函数数的的特特征征xFnnxFxFxFDxFxFExFnBxnFxFxFnnnnn)(1)()(),()(),(,()(.)(,)()2(所所以以可可以以证证明明是是随随机机变变量量故故是是样样本本的的函函数数由由于于)0(1| )()(|lim).()()3( xFxFPxFxFnnn即即依依概概率率收收敛敛于于. 10)()(suplim , )( 1 )

20、( , , xFxFPxFxFnxnxnn即即一一致致收收敛敛于于分分布布函函数数以以概概率率时时当当对对于于任任一一实实数数. )( , )( )( , 使使用用来来从从而而在在实实际际中中可可当当作作只只有有微微小小的的差差别别与与总总体体分分布布函函数数数数的的任任一一个个观观察察值值经经验验分分布布函函时时充充分分大大当当对对于于任任一一实实数数xFxFxFnxn格里汶科定理定理格里汶科定理定理5.3例例1 , 3 , 2 , 1 具有一个样本值具有一个样本值设总体设总体 F )( 3为为则经验分布函数则经验分布函数xF . 3, 1, 32,32, 21,31, 1, 0)(3xxxxxF , 2 , 1 ,