数学建模案例分析

1、数学建模之数学建模之 数学建模案例分析数学建模案例分析重庆邮电大学重庆邮电大学 杨春德杨春德 教授教授案例一：离散概率模型案例一：离散概率模型 o 问题：问题： 一个电子器件工厂生产一种二极管。质量控制工程师负责保证在产品一个电子器件工厂生产一种二极管。质量控制工程师负责保证在产品出厂前检测出次品的二极管。估计这个厂生产的二极管有出厂前检测出次品的二极管。估计这个厂生产的二极管有0.3是次品。可是次品。可以对每个二极管逐个进行检验，也可以把若干二极管串联起来成组进行检以对每个二极管逐个进行检验，也可以把若干二极管串联起来成组进行检验。如果检验通不过，也就是说其中有一个或几个二极管是次品。已知检

2、验。如果检验通不过，也就是说其中有一个或几个二极管是次品。已知检验一个单个的二极管的花费是验一个单个的二极管的花费是5分钱，检验一组分钱，检验一组n1个二极管的花费是个二极管的花费是4+n分钱。如果成组检验没有通过，则这一组的每一个二极管必须逐个重新检分钱。如果成组检验没有通过，则这一组的每一个二极管必须逐个重新检验以便于找出这些次品。要求寻求检测次品二极管的质量控制的步骤使得验以便于找出这些次品。要求寻求检测次品二极管的质量控制的步骤使得用于检验的花费最少。用于检验的花费最少。 变量变量n是决策变量，同时随便选取是决策变量，同时随便选取n1,2,3,，变量，变量C是我们所是我们所选择的质量控

3、制步骤的随机的结果。选择的质量控制步骤的随机的结果。C是一个随机变量。然而量是一个随机变量。然而量A不是随机的。它表示随机变量不是随机的。它表示随机变量Cn的平均或期望值。显然如果的平均或期望值。显然如果n1，则，则A=5分，否则分，否则(n1)，当分组检验结果全部二极管都是好的，当分组检验结果全部二极管都是好的，则则C=4+n，当检验结果有次晶，则，当检验结果有次晶，则C(4+n)+5n，A(C的平均值的平均值)n。其目标就是求。其目标就是求n的数值，使的数值，使A最小最小 。 1 1、符号假设、符号假设2 2、问题的分析、问题的分析 n：每个检验组内二极管的数目；：每个检验组内二极管的数目

4、；C：一组元件的检验费用：一组元件的检验费用(分分)；A：平均：平均检验费用检验费用(分二极管分二极管)。 考虑随机一个变量考虑随机一个变量X X，它可以取一个离散数值集合中的任何一个数值，它可以取一个离散数值集合中的任何一个数值 对于我们的问题，任何的对于我们的问题，任何的n1，随机变量，随机变量C 取两个可能数值中的一个：如果所有取两个可能数值中的一个：如果所有的二极管都是好的，则的二极管都是好的，则C4+n否则否则C(4+n)+5n3、建模、建模 ,21xxX o 因为我们必须重新检验每一个二极管。用因为我们必须重新检验每一个二极管。用p表示所有的二极管都是表示所有的二极管都是正品的概率

5、，剩下的可能性正品的概率，剩下的可能性(有一个或更多的次品二极管有一个或更多的次品二极管)一定有概一定有概率率1-p。则。则C的平均或期望值是的平均或期望值是于是模型为：于是模型为：( )(4)(4)5 (1-)E Cn pnnp( )1min(4)(4)5 (1-)nE Cn pnnpnn随机变量随机变量C的期望值是的期望值是 4、模型求解、模型求解 ( )(4)0.997(4)5(1 0.997 ) (4)5 (1 0.997 ) 4650.997nnnnE Cnnnnnnn 由强大数定律可知，如果一直使用每组有由强大数定律可知，如果一直使用每组有n个二极管的分组检验个二极管的分组检验的方

6、法，这个公式提供了平均的检验费用，这时我们需要作为的方法，这个公式提供了平均的检验费用，这时我们需要作为n的的函数来极小化函数来极小化A。o 每一个二极管的平均检验费用为每一个二极管的平均检验费用为 465(0.997)nCn令令 4( )65(0.997)xf xCx则则 24( )5(0.997) ln0.997xfxx 5 5、结果分析、结果分析 对于检验次品二极管的质量控制步骤可以使用分组检验的方法做得非常对于检验次品二极管的质量控制步骤可以使用分组检验的方法做得非常经济逐个检验的花费是经济逐个检验的花费是5分分/个。次品的二极管出现得很少，每一千中只有个。次品的二极管出现得很少，每一

7、千中只有三个。使用每一组三个。使用每一组17个二极管串联起来分组化验，在不影响质量的前提下可个二极管串联起来分组化验，在不影响质量的前提下可以将检验的费用降低到三分之一以将检验的费用降低到三分之一(1.5分分/二极管二极管)。质量控制步骤的实行将依。质量控制步骤的实行将依赖于若干模型范围之外的因素。也许由于我们操作的特殊性对于赖于若干模型范围之外的因素。也许由于我们操作的特殊性对于10个或个或20个个一批的二极管或者一批的二极管或者n是是4或或5的倍数时检验起来更容易。好在对于我们的问题来的倍数时检验起来更容易。好在对于我们的问题来说，在说，在n=10和和n=35之间时检验的平均花费之间时检验

8、的平均花费A没有明显的变化。在操作过程中的没有明显的变化。在操作过程中的次品率次品率qo.003同样也是必须考虑的。例如，这个数值可能会随着工厂内的同样也是必须考虑的。例如，这个数值可能会随着工厂内的环境条件而发生变化。环境条件而发生变化。将我们上面的模型推广，我们有将我们上面的模型推广，我们有 在在n17时我们有灵敏度：时我们有灵敏度：465(1)nCqn( , )0.16dC qS C qdq C于是，于是，q q的微小的改变很可能不会导致检验费用大的变化。更一般的稳健性的微小的改变很可能不会导致检验费用大的变化。更一般的稳健性分析要考虑独立性的假设。我们这里必需要假设在操作过程中接连出现

9、次品的分析要考虑独立性的假设。我们这里必需要假设在操作过程中接连出现次品的次数之间是无关的。事实上，有可能由于生产环境中的一些异常的原因，如工次数之间是无关的。事实上，有可能由于生产环境中的一些异常的原因，如工作台的颤动或电压变化的冲击，使得次品的二极管趋向于出现在一些批次中。作台的颤动或电压变化的冲击，使得次品的二极管趋向于出现在一些批次中。这时，独立随机变量模型的数学分析就不能完全处理这个问题。这时，独立随机变量模型的数学分析就不能完全处理这个问题。问题问题 案例二：连续概率模型案例二：连续概率模型 1、符号说明、符号说明 3. 建模建模2. 问题的分析问题的分析( )1tF te 其密度

10、函数是其密度函数是( )tf te 指数分布的一个非常重要的性质是指数分布的一个非常重要的性质是“无记忆性无记忆性”。对于任何。对于任何的的t和和0，我们有，我们有() s ttsP XsTp Xst XsP XseeeP Xt换句话说换句话说，对于下一次到达现象发生这件事情来说，我们已经等待的，对于下一次到达现象发生这件事情来说，我们已经等待的s s单位的单位的时间并不影响直到下一次到达现象发生的时间的时间并不影响直到下一次到达现象发生的时间的( (条件条件) )分布。指数分布会分布。指数分布会“忘忘记记”我们已经等待了多长的时间。我们假设放射性衰变以一个未知的速率久。我们已经等待了多长的时

11、间。我们假设放射性衰变以一个未知的速率久。令令1nnnXTTnnXaY 4.模型求解模型求解 01()tnE Yt edt121limnnXXXan以概率以概率1 1成立成立 数学模型的建立与建模目的密切相关数学模型的建立与建模目的密切相关几类常见几类常见建模建模目的目的: : 1. 描述描述或或解释解释现实世界的各类现象现实世界的各类现象( (常采用机理分析的方法常采用机理分析的方法, ,探索研究对象的探索研究对象的 内在规律性内在规律性) )；（二）、建立数学模型（二）、建立数学模型 2.2. 预测预测感兴趣的事件是否会发生感兴趣的事件是否会发生, ,或者事物的发展趋势或者事物的发展趋势

12、( (常采用数理统计或模拟常采用数理统计或模拟的方法的方法) )；3.3. 优化优化管理、管理、决策决策或者或者控制控制 (事物事物需合理地定义可量化的评价指标及评价方需合理地定义可量化的评价指标及评价方法法) ) 1nTannnTna5 5、结果分析、结果分析 2dda2( , )aSaa121nXXXann案例三：公共地的悲剧案例三：公共地的悲剧 o 问题：问题： 有一个关于牧民与草地的故事，说的是当村庄的草地向村民有一个关于牧民与草地的故事，说的是当村庄的草地向村民完全开放时，每一个村民都想多养一头牛，因为多养一头牛增完全开放时，每一个村民都想多养一头牛，因为多养一头牛增加的收益大于其购

13、养成本，是有利润的。尽管因为平均草量下加的收益大于其购养成本，是有利润的。尽管因为平均草量下降，增加一头牛可能使整个草地的牛的单位收益下降。试问村降，增加一头牛可能使整个草地的牛的单位收益下降。试问村民应该如何养羊才能使收益最大呢？民应该如何养羊才能使收益最大呢？1、假设与符号说明、假设与符号说明2 2、问题分析、问题分析o 村民可以从增加的羊只上获得所有的利益负面：草地的承载力因为额外增加的羊只有所耗损。然而，关键性在于这两者的代价并非平等：村民获得所有的利益，但是资源的亏损却是转嫁到所有村民的身上。因此，就理性观点考量，每一位村民势必会衡量如此的效用，进而增加一头头的羊只。但是当所有的村民

14、皆做出如此的结论，并且无限制的放牧时，草地负载力的耗损将是必然的后果。于是每一个个体依照理性反应所做出的决定将会相同，毕竟获得的利益将永远大于利益的耗损。 o 尽管因为平均草量下降，增加一头牛可能使整个草地的牛的单位收益下降。但对于单个村民来说，他增加一头牛是有利的。可是如果所有的村民都看到这一点，都增加一头牛，那么草地将被过度放牧，从而不能满足牛的需要，导致所有牧民的牛都饿死。这个故事就是公共资源的悲剧。 3 3、建模与求解、建模与求解iniiinicggggggvggggu )(),(112121111,0iiiiniuggg ggg也就是也就是0)()(*1*1*2*1*1*1*2*1

15、cgggggvggggggvniiinii), 2 , 1( , 0)()(*nicGvgGvi 再把上式全部相加，并除以再把上式全部相加，并除以n，可得，可得0)(1)(* cGvGnGvio 从全村放养总量从全村放养总量G的最优选择考虑，则应最大化全村养羊的总收益，即的最优选择考虑，则应最大化全村养羊的总收益，即 0maxGGv GGco 它的一价微分条件为它的一价微分条件为0v GG v Gc4 4、结果分析、结果分析o 和全村最优条件相比，纳什均衡时放养的羊的总量太多了，全村的草地被和全村最优条件相比，纳什均衡时放养的羊的总量太多了，全村的草地被过度使用，这就是公共地的悲剧。现在，对一

16、些没有排他性使用权的资源过度使用，这就是公共地的悲剧。现在，对一些没有排他性使用权的资源和环境，群体（某些个人。某些地区、某些国家）对资源和环境使用的均和环境，群体（某些个人。某些地区、某些国家）对资源和环境使用的均衡结果远远超过全社会总体的最优使用的结果，从而导致的衡结果远远超过全社会总体的最优使用的结果，从而导致的“公共地的悲公共地的悲剧剧”形象的发生。形象的发生。 案例四：案例四：最后要价仲裁最后要价仲裁问题问题n1、假设与符号说明、假设与符号说明2 2、问题分析、问题分析3 3、建模与求解、建模与求解uufufufuuffuuffwwwFwwwwFwwwFwwpwwpww 2)(212

17、被选中被选中被选中被选中uuffuufwwwFwwwwwu 2)(),(1由此，就可以用期望工资水平由此，就可以用期望工资水平 uufufufuuffuuffwwwFwwwwFwwwFwwpwwpww 2)(212被选中被选中被选中被选中的解。的解。uufufufwwwFwwwwwu 2)(),(2 1max,max2fffufuufuwwwwuwwwwFw 2max,max2uufufufuuwwwwuwwwwFw 122211222fufuuffufuufwwwwwwfFwwwwwwfF 由上述方程组可得由上述方程组可得122fuwwF 上式表明，双方要价的平均值一定等于仲裁人偏好方案的中值。将上式表明，双方要价的平均值一定等于仲裁人偏好方案的中值。将上式代入式前方程组中任何一个方程，可得上式代入式前方程组中任何一个方程，可得12uffuwwwwf 上式表示双方要价之差等于仲裁人偏好方案中值点概率密度的倒数。上式表示双方要价之差等于仲裁人偏好方案中值点概率密度的倒数。 设若仲裁人的偏好方案服从均值设若仲裁人的偏好方案服从均值为为m，方差为，方差为2 2的正态分