二元函数连续性偏导数存在性及可微性的讨论

1、 编号：Xxxxxxxx学校本科毕业论文二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的讨论院 系：数学科学系姓 名：XXXX学 号：XXX专 业：XXXX年 级：2008级指导教师：XXX职 称：讲师完成日期：2012年5月摘 要二元函数微分学是高等数学的重点之一,理清其基本概念之间的相互关系对于认识二元函数的性质有重要的意义,只有这样才能弄清楚二元函数连续、偏导数及可微之间的关系,才能更好地加以利用.本论文将重点对它们之间的关系加以总结和探讨,并给以证明和应用举例.本论文正文主要介绍了二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的基本知识.对它们分别进行了总结证明和进一步讨论,还总结二元函数连续性、偏导数存

2、在性及可微性的简单关系,并举出的例子加以论证支撑.关键词：二元函数；连续；偏导数；可微AbstractBinary Function Differential Calculus is one of the priorities of the higher mathematics, to clarify the basic concepts of the relationship between the significance for understanding the nature of the binary function, the only way to figure out the

3、binary function continuous partial derivatives and differentiability the relationship between, in order to better take advantage of this paper will focus on the relationships between them to be summarized and discussed, and give proof of application example.In this thesis, the text introduces binary

4、 function continuity, partial derivatives of the Existence and differentiability of basic knowledge. Them a summary of the proof and further discussion, and also summarizes the continuity of the binary function, the partial derivatives exist and micro of simple relations, citing the examples to demo

5、nstrate support.Key words： Dual function; Continuously; Partial derivative; Differentiable目 录摘 要IABSTRACTII引 言11 二元函数的连续、偏导数及可微三个概念的定义21.1 二元函数的连续性21.2 二元函数的可微性21.3 二元函数的偏导数22 二元函数三个概念的结论总结及证明42.1 二元函数连续性的结论总结及证明42.2 二元函数可微性的结论总结及证明52.3 二元函数偏导数存在性的结论总结103 二元函数三个概念之间关系的总结103.1 二元函数连续性与偏导数存在性的关系及例证103

6、.1.1 二元函数连续,但偏导不一定存在的举例证明103.1.2 二元函数偏导存在,但不一定连续的举例证明113.2 二元函数可微性与偏导数存在性的关系及例证123.2.1 可微与偏导存在关系的举例证明123.2.2 偏导连续与可微关系的举例证明134 二元函数连续性、偏导数存在性及可微性关系的概图19结 束 语20参考文献21致 谢22引 言二元函数微分学是一元函数微分学的推广,因此它保留了一元函数微分学的许多性质.但由于自变量由一个增加到两个,从而产生了某些本质上的新的内容.如一元函数微分学中,函数在某点可导,则它在这点可微,反之亦然.但在二元函数微分学中,函数在某点偏导数存在,推不出它在

7、这点可微.又如,一元函数微分学中,函数在某点可导,则它在这点必连续.但在二元函数微分学中,函数在某点的偏导数都存在,却推不出它在这点连续.同时二元函数微分学是高等数学教学中的一个重难点,它涉及的内容实际上是微积分学内容在二元函数中的体现,其中有关二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系是学生在学习中容易发生概念模糊和难以把握的一个重要知识点.当前,二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系研究方面已经取得了一定的成果,但是,在国内的许多教材中只是对它们三者的定义作了说明,而对它们之间的关系很少提及或没有提到,在一般的教材中对于该部分内容的介绍比较粗略浅显,在一些学术性论文中也只是

8、对二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性的个别关系做了具体的说明,因此在让学生学习这方面的知识时能达到对这方面知识可以做到全面的掌握让是当前教学中的一大难题.本文具体就二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系通过实例作深入的探讨,就二元函数连续性、偏导数及可微性在教材相关内容的基础上进行进一步的探讨、研究,对教材内容做一些适当的补充和扩展,为后继课程的学习奠定基础.然后总结有关二元函数微分学中这关于二元函数连续性、偏导数存在性及可微性这三个概念之间的关系,并对二元函数具体的实例详细加以证明,建立他们之间的关系图.这样对有效理解和掌握多元函数微积分学知识将起到重要作用.1 二元函数的连续

9、、偏导数及可微性概念二元函数的连续、偏导数及可微的概念都是用极限定义的,不同的概念对应不同的极限.考虑函数在点的情形,它们分别为：1.1 二元函数的连续性定义1 设为定义在点集上的二元函数,(它或者是的聚点,或者是的孤立点).对于任给的正数,总存在相应的正数,只要,就有 则称关于集合在点连续,在不致误解的情况下,也称在点连续.若在上任何点都关于集合连续,则称为上的连续函数.由上述定义知道：若是的孤立点,则必定是关于的连续点；若是的聚点,则关于在连续等价于1.2 二元函数的可微性与一元函数一样,在二元函数微分学中,主要讨论二元函数的可微性及其应用,我们首先建立二元函数可微性概念.定义2 设函数在

10、点的某邻域内有定义,对于中的点,若函数在点处的全增量可表示为:, 其中,是仅与点有关的常数,是较高阶的无穷小量,则称函数在点处可微,并称上式中关于,的线性函数为函数在点的全微分,记作 .由上可知是的线性主部,特别当,充分小时,全微分可作为全增量的近似值,即在使用上,有时也把写成如下形式,这里1.3 二元函数的偏导数由一元函数微分学知道：若在点可微,则函数增量,其中.同样,若二元函数在点可微,则在处的全增量可由表示.现在讨论其中、的值与函数的关系.为此,在式子中令,这时得到关于的偏增量,且有或者现让,由上式得的一个极限表示式,容易看出,上式右边的极限正是关于的一元函数在处的导数.类似地,令,由又

11、得到,它是关于的一元函数在处的导数.综上所述,可知函数在点处对的偏导数,实际上就是把固定在看成常数后,一元函数在点处的导数,同样,把固定在,让有增量,如果极限存在,那么此极限称为函数在点处对的偏导数.记作.因此,二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自变量的导数称为偏导数,可定义如下：定义3 设函数,.若,且在的某一邻域内有定义,则当极限存在时,称这个极限为函数在点关于的偏导数,记作或注意 1 这里符号,专用于偏导数算符,与一元函数的导数符号相仿,但又有差别.注意 2 在上述定义中,在点存在关于（或）的偏导数,至少在（或）上必须有定义.若函数在区域上每一点都存在对（或对）的偏导数,则得到函

12、数在区域上对（或对）的偏导数（也简称偏导数）,记作或（或）,也可简单地写作,或（,或）.2 二元函数三个概念的进一步研究2.1 二元函数连续性的进一步研究一元函数若在某点存在左导数和右导数,则这个一元函数必在这点连续,但对于二元函数来说,即使它在某点既存在关于的偏导数,又存在关于的偏导数,也未必在点连续.不过,我们却有如下定理：定理1 设函数在点的某邻域内有定义,若作为的一元函数在点=连续,在内有界,则在点连续.证明 任取, 则 (1)由于在存在,故对于取定的, 作为的一元函数在以和+为端点的闭区间上可导,从而据一元函数微分学中的拉格朗日中值定理,存在(0 ,1) ,使将它代入(1) 式, 得

13、 (2)由于 ,故有界,因而当时, 有.又据定理的条件知,在=连续,故当时, 又有.所以, 由(2) 知, 有.这说明在点连续.推论 1 设函数在点的某邻域内有定义,若作为的一元函数在点连续,在点 连续,则在点连续.证明 由于在点 连续,故必在点的某邻域内有界,因而据定理1 ,在点连续.推论 2 设函数在点的某邻域内有定义. 若在有界, 存在,则 在点连续.证明 由于存在,故作为的一元函数在点=连续,从而据定理1可得 ,在点 连续.推论 3 设函数在点的某邻域内有定义,若在点连续, 存在,则在点连续.证明 由于在点连续,故必在点的某邻域内有界. 又由于存在,故作为的一元函数在点连续,因而据定理

14、1可得出 ,在点连续.同理可证如下的定理2及其推论.定理 2 设函数在点的某邻域有定义,在内有界,作为的一元函数在点=连续,则在连续.推论 1 设函数在点的某邻域内有定义, 在点连续, 作为的一元函数在点连续,则在点连续.推论 2 设函数在点的某邻域内有定义,在内有界, 存在,则在点 连续.推论 3 设函数在点的某邻域有定义, 在点连续, 存在,则在点连续.2.2 二元函数可微性的进一步研究众所周知,一元函数中,可微性与可导是一回事,但在二元函数中情况就不同了.定理 3 函数在点可微的充分必要条件是在点的俩个偏导数都存在,且对,当.证明 必要性 已知函数在点可微,故与存在,且,其中.即 于是,

15、当时,有从而当（即）时,即,当与且时,有所以,当与且时,有 .充分性 已知函数在点两个偏导数存在,当与且时,有令,则当时,有于是当时,有从而有所以,函数在点可微.证毕.定理 4 若函数在点处,连续存在（或存在,连续）,则函数在处可微.由此定理的条件仍有对一个偏导数（二元）连续性的要求.因而用来判断函数的可微性仍有较大的局限性.例如：对于函数 ,有 从而由于和都不存在,因而和在点都不连续.关于在点的可微性,无论是根据教材中所介绍的定理,还是根据上述定理都不能给出肯定的结论.本文给出另一个可微的充分条件,它完全放弃对两个偏导数（二元）连续性的要求,因而对某些函数可微性的判定有独到的作用.为了叙述方

16、便,引入如下概念.定义 如果对于函数存在,使得当时,存在,且当时,变量关于一直趋向于0,即对任意的,存在,当时,对任意（）都有成立,我们就称函数在点关于对一致可导.类似地可定义在点关于对一致可导.定理 5 若函数在点有：存在,关于对一致可导,且在连续,则在点可微.证明: 因及存在,故有 （3）其中如前述定义,而（）,于是有 （4）又因为在连续,故有 （5）再由所具备的性质知,对任意,存在,当且时,有此即从而 （6）综合（3）（6）式即得可见于可微.显然,调换定理条件中和的位置,结论仍然成立.指出,尽管定理5已完全放弃对两个偏导数的（二元）连续性要求,但它所给出的条件仍然不是可微的必要条件.因此

17、,如何用两个偏导数所应具备的性质来等价地刻画二元函数的可微性,就需要进一步的探讨,这对以后仍是大我们还要有裨益的.1. 若果在点处不连续或偏导数不存在,则在点处不可微.2. 若果在点处连续,存在、,则在点处可微的充分必要条件是满足下列等价的任一式：（1） 其中（当）（2） 其中（当时）推论 4 若二元函数在处两个偏导数,均存在,且或者存在,则函数在处可微.证明 不妨设存在（存在的情形可作类似证明）.因为所以,即在处连续.根据定理3可知函数在处连续.2.3 二元函数偏导数存在性进一步研究二元函数在点的两个偏导数有明显的几何意义：设为曲面上的一点,过作平面,截此曲面得一曲线,此曲线在平面上的方程为

18、,则导数, 即偏导数,就是这曲线在点处的切线对轴的斜率.同样,偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率.我们已经知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续.但对于二元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点沿着平行于坐标轴的方向趋于时,函数值趋于,但不能保证点按任何方式趋于时,函数值都趋于.3 二元函数三个概念之间关系的总结3.1 二元函数连续性与偏导数存在性的关系及例证对一元函数来说,可导必连续.但对二元函数来说,即使,存在但也不一定连续.事实上,对于二元函数来说,函数在一点处的偏导数存在和函数在该点处连续是

19、没有必然联系的.下面加以说明这个问题.3.1.1 二元函数连续,但偏导不一定存在的举例证明例 1 讨论函数在点处的连续性和偏导数是否存在？ 解： 由可知函数在点连续.而由偏导数定义：该极限不存在,同理可证也不存在.所以函数在点的偏导数不存在.由此说明,二元函数在一点连续,偏导数未必存在.3.1.2 二元函数偏导存在,但不一定连续的举例证明例 2 函数 在点处,存在,但不连续.证明 由偏导数定义： 同理可求得 因为 故函数 在点处不连续.综上可见,对于二元函数在某点的连续性与偏导数存在,两者之间没有必然的联系,即在某点偏导数存在与否,与其在该点是否连续无关.但如果假定函数的各个偏导数有界,即有下

20、面命题：命题 1 如果二元函数在点的某邻域内的偏导数,有界,则在内连续.证明 由,在内有界,设此邻域为,存在,使, ,在内成立,由于（其中）.所以对任意的正数,存在,当时,有,故在内连续.3.2 二元函数可微性与偏导数存在性的关系及例证3.2.1 可微与偏导存在关系的举例证明定理 6 （可微的必要条件）若二元函数在其定义域内一点处可微,则在该点关于每个自变量的偏导数都存在,且 ,.证明 由于在点可微,则其中,为自变量的该变量,仅与点有关,而与无关,.若令即,于是,故可见,即,类似可证.可见,对于二元函数,偏导数的存在是函数可微分的必要条件.但是偏导数的存在不是函数可微分的充分条件.事实上,当一

21、个二元函数在点处的偏导数都存在时,尽管形式上可以写成式子,但是它与之间可以不是的高阶无穷小,因而由定义,此时函数在点处是不可微的.注 1：定理5的逆命题不成立.即二元函数在点处的偏导数即使存在也不一定可微.下面用例3说明函数在一点的偏导数存在,但函数在该点却不可微.例 3 证明函数 在原点两个偏导数存在,但不可微.证明 由偏导数的定义： = 同理可证,即在原点关于与的偏导数存在.下面利用可微的定义来证明其不可微用反证法：若函数在原点可微,则 应是较的高阶无穷小量,为此考察极限当动点沿直线趋于时,则这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时,对应的极限值也不同,因此所讨论的极限不存在.故函数在

22、原点不可微.3.2.2 偏导连续与可微关系的举例证明定理 7 （可微的充分条件） 若二元函数的偏导在点的某邻域内存在且与在点处连续,则函数在点可微.可微的充分条件可以改进：如果函数满足以下条件：1. 在点处存在；2. 在点的某个邻域内存在；3. 在点处连续；则在点处可微.证明 由于存在,即有：即：（其中）则由于在点的某个邻域内存在,不妨设在且内存在设并规定则在上每一点都存在,从而在上每一点都连续,规定：则根据中值定理存在,使得：（其中）即：当且从而有,又由于在点处连续其中则综上所述有：又由于故在点点可微.证毕.教材中关于二元函数的微分一般只是分别给出了必要条件和充分条件,对可微的充要条件涉及比

23、较少.偏导数的存在是函数可微的必要条件而不是充分条件,但是,如果在假设函数的各个偏导数连续,则函数是可微的.但此条件给的太强,于是我们总结了判别二元函数在某点可微的一个充分条件,可对此定理的条件进行减弱,得出：定理 8 若函数在点的邻域G内连续,存在,则函数在点可微.证明 全增量这里第一个括号是当时函数关于的增量,而第二个括号则是当时函数关于的增量,对于它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理,得 由于,在点连续,因而有,其中当时,.所以令,则当时,是关于的高阶无穷小.事实上,由于而当时,即.这就证明了在点是可微的.例 4 求证在点可微.证明 因为.同理即于是又,所以在点连续.但不存在,即在点不

24、连续.又定理8可知在点可微.显然,与传统的判别方法相比,这个充分条件更加减弱了判别条件,进一步阐明了二元函数偏导数与可微性的关系,使适用范围扩大,适用性加强.注意 这个条件是可微的充分条件并非必要条件,即在的邻域内存在但不连续,但在点也可微.下面我们用例5说明函数在一点可微,但它的偏导数在该点却不连续.例 5 求函数 ,在原点处,（1）是否存在 （2）是否连续（3）是否可微.解 （1） 由定义知 所以存在.（2） 因为当时,偏导数存在,故 ,而不存在,故在原点不连续.（3）法 1：因则（）从而即函数在点可微.法 2：,即,存在,且存在.根据推论4可知题设所给函数在处可微.3.3 二元函数连续性

25、与可微性的关系及例证类似于一元函数的连续性与可导性间的关系,即二元函数在点可微,则必连续.反之不然.定理 9 若二元函数在其定义域内一点可微,则在该点必然连续.证明 事实上,故在连续.注意 函数在某点可微,则在该点连续;但在某点连续,函数在该点却不一定可微.例 6 证明函数在点连续,但它在点不可微.证明 （1） 因为,故函数在点连续.（2） 因为所以 当动点沿直线趋于时,有即,故在原点不可微.例 7 函数在点处连续,但在点不可微.解： 因为所以在点处连续.又因为,此极限不存在；同理的极限也不存在.因此不能把的形式.4 二元函数连续性、偏导数存在性及可微性关系的概图如果函数在点可微分,则函数在该

26、点必连续,反之不一定成立.如果函数在点可微分,则函数在该点的偏导数必存在,反之一定成立.如果函数在点连续,则偏导不一定存在.如果函数在点偏导存在,则不一定连续.如果函数在点偏导连续,则函数在该点必可微,反之不一定成立.综上所述二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的关系如下图所示.偏导连续可微偏导存在连续结束语本文对二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间关系的讨论,根据分析可以看出二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系比一元函数连续、导数存在及可微之间的关系要复杂的多,究其原因主要在于二元函数极限比一元函数极限对自变量的要求更高、更复杂.如只要求在从的左右俩侧趋向于时,趋于同一值.而对

27、要求点以任何方式趋向于点时,都趋向于同一极限,任何方式包含了x与y的不同关系以及趋向时的不同路径,从而导致二元函数产生了二重极限与累次极限的区别,正是由于二元函数极限的这种复杂性导致了二元函数诸多关系的复杂性.依据本文的分析得出它们三者之间的关系,不但对学习是一种积极的推动作用,有助于使学生对这方面的知识不会产生干扰,能较好地辨别它们之间的本质区别,使得原有知识更加牢固,也同时抓住了函数的本质.这方面的知识繁多,证明的方法难易悬殊,使用技巧各异,而且同一问题也可用多种不同方法来解决. 二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间关系的知识是人类智慧最伟大的成就之一,是数学上的伟大创造,它现在广泛影

28、响着生产技术和科学的发展,如今已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具.以上我从比较初等的方法入手,进而对二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的若干概念、定理、性质等内容这一方面的内容作了浅显的论述,将初等数学和高等数学的有关内容衔接起来,从而在整体上更好地理解有关这方面的知识.至于解决具体问题时个人可依据知识的储备、问题的要求来进行方法的选择.本文列举了二元函数连续性、偏导数存在性及可微性这方面的知识和证明方法,根据证明方法、举例、适用范围进行了归纳总结,力求有理论依据、有例题参考、有实用价值从定义出发证明是最“原始”的做法,不易被人想到,但它在证明中确有其优势.证明的方法应该还有很多,

29、对于其它新的方法有待于进一步探索与研究.为此,我们有必要学习好、掌握好二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系这方面的知识,配以先进的管理观念和现代化的通信、网络、计算机技术,尽可能的把这些知识灵活运用推广,满足其他行业对这些知识的需要,创造更好的经济效益和社会效益.参考文献1 华东师范大学数学系. 数学分析（下）M . 北京: 高等教育出版社,2001: 100 112 2 吉米多维奇. 数学分析习题集M . 北京: 人民教育出版社, 1958: 62-783马振民. 数学分析的方法与技巧选讲M. 兰州: 兰州大学出版社, 1999: 36-54.4 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方

30、法M. 北京: 北京高等教育出版社, 1993: 86-97.5 华东师范大学数学系. 数学分析M . 北京: 人民教育出版社, 1981: 137-160.6 李超. 有关多元函数连续性的几个新结论J. 韶关学院学报（自然科学版）.2002,23（6）: 1-6.7 周良正,王爱国. 偏导数存在,函数连续及可微的关系J. 高等函授学报（自然科学版）.2005,19（5）: 1-4.8 何鹏,余文辉,雷敏敛. 二元函数连续、可偏导、可微等诸条件间关系的研究J. 南昌高专学报. 2005,61（6）: 1-2.9 黄梅英. 浅谈二元函数可微性J. 三名师专学报. 2000,17（1）: 1-5.

31、10 龚俊新. 二元函数连续、偏导、可微之间的关系J. 湖北师范学院学报（自然科学版）.2000.23-24. 11 同济大学数学教研室主编.高等数学（下册）（第四版）M. 高等教育出版社,.2000,20（3）: 1-3.12 张郑严. 关于二元函数可微性定理的探讨 J. 西北建筑工程学院报,.1993.4,46-48.13 高敏艳. 二元函数可微性定理的一个新的证明J. 天津师范大学学报（自然科学版）,1999,19（3）: 71-72.14 吴良森,等. 数学分析学习指导书.高等教育出版社, 2004.9.15 刘玉琏,傅沛仁. 数学分析讲义（三版）.高等教育出版社, 2001.2.16

32、 刘玉琏,等. 数学分析讲义学习辅导书（二版）.高等教育出版社, 2004.7.17 罗炳荣. 数学（报考理工科研究生复习指导丛书）.湖南科学技术出版社,.高等教育出版社,1985.327.致谢大学的读书生活在这个季节即将划上一个句号,而于我的人生却只是一个逗号,我将面对又一次征程的开始.几年的求学生涯在师长谆谆教导、亲友的大力支持下,走得辛苦却也收获满囊,在论文即将付梓之际,思绪万千,心情久久不能平静. 伟人、名人为我所崇拜,可是我更急切地要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人我的导师周红玲老师.我不是最出色的学生,而您却是我最尊敬的老师.您治学严谨,学识渊博,思想深邃,视野雄阔,为我营造了一种良好的精神氛围.精益求精的作风,诲人不倦、平易近人的态度对我影响深远.“授人以鱼不如授人以渔”,置身其间,耳濡目染,潜移默化,使我不仅接受了全新的思想观念,领会了基本的思考方式,还明白了许多做人的道理.从论文题目的选定到论文写作的指导,经由您悉心的点拨,再经