习题详解微分方程与差分方程初步

1、习题10-11. 指出下列方程的阶数： (1) (2)(3) (4)解：(1)三阶(2)二阶(3)一阶(4)一阶2. 验证下列给出的函数是否为相应方程的解：(1), (2), (3)， (4)， 解：(1)是，代入即可. (2)是，代入即可； (3)是，因为 ，满足； (4)是，代入，显然满足.3. 验证:函数x=C1coskt+C2sinkt(k0)是微分方程的通解.解：满足，所以是解，又因为含有两个任意常数，且方程是二阶的，故是通解.4. 已知函数x=C1coskt+C2sinkt(k0)是微分方程的通解,求满足初始条件x| t=0 =2, x¢| t=0 =0的特解.解：上题可

2、知是微分方程通解，且代入初值条件，得，所以特解为习题10-21. 求下列微分方程的通解：(1)； (2) ；(3) ；(4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) 解：(1)这是可分离变量方程，分离变量得两端分别积分：这就是方程通解 .(2)这是可分离变量方程，分离变量得两端分别积分：即这就是方程通解 .(3)这是可分离变量方程，分离变量得两端分别积分：即这就是方程通解 .(4)这是可分离变量方程，分离变量得两端分别积分：即这就是方程通解 .(5)这是齐次方程，令则代入原方程并整理两端分别积分：即这就是方程通解 .(6)这是齐次方程，化简得令则代入原方程并整理，两端分别积分：即这就是方程

3、通解 .(7)这是齐次方程，化简得令则代入原方程并整理，两端分别积分：即这就是方程通解 . (8)这是特殊方程，用换元法，令则代入原方程并整理，两端分别积分：即这就是方程通解 .2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：(1) ， ；(2) ， ；(3) ，；(4) ，解(1)分离变量：两端分别积分：解得：将代入通解中，求得故所求特解为(2)分离变量：两端分别积分：将代入通解中，求得故所求特解为(3)这是齐次方程,令则代入原方程并整理两边积分得即变量回代得所求通解由代入通解，得，故所求初值问题的解为3. 一曲线在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，且通过点(1,2)，求该曲线方程.解：设

4、曲线方程为：由题意可得方程: ,且，解分离变量方程得：,由得，故所求曲线为：.4. 物体冷却的数学模型在多个领域有广泛的应用.例如，警方破案时，法医要根据尸体当时的温度推断这个人的死亡时间，就可以利用这个模型来计算解决.现设一物体的温度为100，将其放置在空气温度为20的环境中冷却.试求物体温度随时间t的变化规律.解 设物体的温度与时间的函数关系为建立该问题的数学模型: 其中为比例常数.下面来求上述初值问题的解.分离变量,得两边积分得(其中为任意常数)，即 (其中).从而再将条件(2)代入,得于是，所求规律为习题10-31. 求下列微分方程的通解：(1) ； (2) ；(3) ；(4) ；(5

5、) ； (6) 解 (1) 这是一阶线性非齐次方程，其中首先求出 (积分后，不再加任意常数)，然后用公式(10-6)可得所求通解为 (2) 这是一阶线性非齐次方程，其中首先求出 (积分后，不再加任意常数)，然后用公式(10-6)可得所求通解为(3) 这是一阶线性非齐次方程，其中首先求出 (积分后，不再加任意常数)，然后用公式(10-6)可得所求通解为(4)将x看作y的函数，即对进行求解，可将原方程化为未知函数为的线性方程，于是，首先求出，然后代入通解公式，可得所求通解为 .(5)将x看作y的函数，即对进行求解，可将原方程化为未知函数为的线性方程，于是，首先求出，然后代入通解公式，可得所求通解为

6、 .(6)令则代入原方程并整理两边积分得变量回代得所求通解2. 求解下列初值问题：(1) ，；(2)，；(3) ，；(4) ，.解(1)这是一个齐次线性方程,整理得，其通解为，将初始条件代入上式，可得，故所求特解为(2) 这是一阶线性非齐次方程，其中首先求出 (积分后，不再加任意常数)，然后用公式(10-6)可得所求通解为将初始条件代入上式，可得，故所求特解为(3)将x看作y的函数，即对进行求解，可将原方程化为未知函数为的线性方程，于是，首先求出，然后代入通解公式，可得所求通解为 .将初始条件代入上式，可得，故所求特解为(4)这是伯努利方程，以除方程的两端,得即令则上述方程变为解此线性微分方程

7、(过程略)，可得，得所求通解为，将初始条件代入上式，可得，故所求特解为3. 通过适当变换求下列微分方程的通解：(1) ；(2) .解(1)令则原方程化为.分离变量,得 ，两端积分得以代入上式,得通解.(2)这是伯努利方程，其中，则有公式得通解 4. 求过原点的曲线，使其每一点的切线斜率等于横坐标的2倍与纵坐标之和.解：由题意可得方程，这是一阶非齐次线性方程，其中，然后用公式(10-6)可得所求通解为.习题10-41. 求下列微分方程的通解：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) 解：(1) (2) , (3) 该方程是不显含y的方程，令，则.原方程化为一阶方程分离变量，

8、得.两边积分得: 再积分一次即得原方程的通解为(4) 该方程是不显含y的方程，令，则.原方程化为一阶方程整理，得，这是一阶非齐次线性方程，解得再积分一次即得原方程的通解为(5)该方程是不显含x的方程，令，则,原方程化为分离变量得两边积分得：再由，解得(6)该方程是不显含x的方程，令，则,原方程化为得解得：可解得通解为：2. 求解下列初值问题：(1) ,；(2) ；(3) ，.解(1)相继积分三次得出:，以代入后可得出，于是所求特解为(2)令代入方程并整理,有这是一阶线性非齐次方程，代入公式，得由条件得所以两端再积分,得又由条件得于是所求初值问题的解为(3)令由代入方程并化简得上式为可分离变量的

9、一阶微分方程，解得再分离变量,得由初始条件得出从而得再两边积分,得, ，得从而所求特解为.3. 已知平面曲线的曲率为,求具有常曲率的曲线方程.解：由题意得方程，令代入方程,有即解之，得习题10-51.下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？(1) (2) ；(3) ，；(4) .解：(1)无关；(2)无关；(3)无关；(4)无关.2. 验证与是方程的线性无关解，并写出其通解.解：当，代入满足方程；当，代入也满足方程；另外，是线性无关的（由定义可知），方程的通解为： .3. 求下列微分方程的通解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ;(7) ；(8) .解：(1) 特征方

10、程的根为：,通解为；(2) 特征方程的根为：,通解为；(3) 特征方程的根为：,通解为；(4) 特征方程的根为：,通解为；(5) 特征方程的根为：,通解为；(6) 特征方程的根为：,通解为；(7) 特征方程的根为：,齐次通解为；可以看成是与之和所以分别求方程与方程的特解容易求得方程的一个特解为：按例9的方法可求得方程的一个特解为：于是原方程的一个特解为故原方程的通解为=.(8) 为型的函数，且，是特征方程的根，所以取设特解为代入原方程，得 比较两端与的系数，得，故原方程的特解为而对应齐次方程的通解为.于是原方程的通解为4. 求解下列初值问题：(1) y|x=0=4、y¢| x=0=-

11、2； (2) ,解：(1) 特征方程的根为：,通解为；代入初值条件，得，方程特解为.(2) 特征方程的根为：,通解为；代入初值条件，得，方程特解为.5. 求下列微分方程的一个特解：(1) ； (2) ；(3) ； (4) .解：(1) 因为，且y的系数，设特解为则，代入原方程，得，使两端x同次幂的系数相等：,所求的特解为(2) 因为，且y的系数，设特解为则，代入原方程，使两端x同次幂的系数相等得，,所求的特解为(3) 是特征方程的重根，取，所以可设原方程的特解为，则，代入原方程得解得，故方程有一特解为.(4) 可以看成是与之和所以分别求方程与方程的特解容易求得方程的一个特解为：另求得方程的一个

12、特解为：于是原方程的一个特解为习题10-61. 求下列函数的一阶与二阶差分：(1) yt=3t2-t3；(2) yt=e2t；(3) yt=lnt；(4) yt=t2·3t.解：(1) ,；(2) ,，(3) ,(4) , 2. 将差分方程2yt+2yt=0表示成不含差分的形式.解：因为，故可化为3. 指出下列等式哪一个是差分方程，若是，确定差分方程的阶：(1) yt+5-yt+2+yt1=0;(2) 2yt-2yt=t；(3) 3yt+yt=1；(4) 2yt=3t-2yt；(5) 2yt=yt+2-2yt+1+yt.解：(1) 是差分方程.由于方程中未知函数下标的最大差为6，因此

13、方程的阶为7；(2) 是差分方程.由于，方程变为，方程中未知函数下标的最大差为2，因此方程的阶为2；(3)是差分方程.由于3yt，方程变为，未知函数下标的最大差为2，因此方程的阶为2；(4) 将原方程变形为2(yt+1-yt)= 3t-2yt，即2yt+1=3t,不符合定义3，因此，该等式不是差分方程.(5) 不是差分方程.由于，方程变为，所以不是差分方程. 4. 验证yt=C(-2)t是差分方程yt+1+2yt=0的通解.解：，所以是解，又方程的阶数是1，所以是通解.习题10-71. 求下列一阶常系数线性齐次差分方程的通解：(1) yt+1-2yt=0；(2) yt+1+3yt=0；(3)

14、3yt+1-2yt=0.解：(1)特征方程为：-2=0,特征根为=2，于是原方程的通解为yt=C2t.(2)特征方程为：+3=0,特征根为=-3，于是原方程的通解为yt=C(-3)t.(2)特征方程为：3-2=0,特征根为，于是原方程的通解为 2. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解：(1) yt+1-3yt=0，且y0=3；(2) yt+1+yt=0，且y0=-2.解(1)特征方程为,特征根为，于是原方程的通解为将初始条件y0=3代入，得出C=3，故所求解为(2)特征方程为,特征根为，于是原方程的通解为将初始条件y0=-2代入，得出C=-2，故所求解为3. 求下列一阶常系数线性非齐次差分方

15、程的通解：(1) yt+1+2yt=3；(2) yt+1-yt=-3；(3) yt+1-2yt=3t2；(4) yt+1-yt=t+1;(5) ；(6) yt+1+2yt=t2+4t.解 (1) 由于a=-2，k=3，令y*t=A(待定系数)，代入方程得A+2A=3，从而A=1，即y*t=1，故原方程的通解为yt=C(-2)t+1.(2) 由于a=1，k=-3，令y*t=At(待定系数)，代入方程得A=-3，即y*t=-3t，故原方程的通解为yt=-3t+C.(3) 设y*t=A0+A1t+A2t2为原方程的解，将y*t代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得A0=-9，A1=-6，A2=-3

16、.从而,故原方程的通解为 (4) 由于a=1,设y*t=(A0+A1t)t为原方程的解，将y*t代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得,从而,故原方程的通解为 (5) 由，令原方程有一个特解为，解得.于是原方程的通解为(6)设f1(t)= t2，f2(t)= 4t，则f(t)=f1(t)+f2(t).对于f1(t)= t2，因a=-21，可令特解y*t1= A0+A1t+A2t2；对于f2(t)= 4t，因a=-24，可令y*t2=B4t故原方程的特解可设为y*t= A0+A1t+A2t2 +B4t，代入原方程，得，于是，故所求通解为4. 求下列差分方程在给定初始条件下的特解：(1) yt+

17、1-yt=3+2t，且y0=5；(2) 2yt+1+yt=3+t，且y0=1;(3) yt+1-yt=2t-1，且y0=2.解 (1) 由于a=1,设y*t=(A0+A1t)t为原方程的解，将y*t代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得,从而,故原方程的通解为又有初始条件y0=5，可知，故特解为(2) 由于,设y*t=A0+A1t为原方程的解，将y*t代入原方程并整理，比较同次幂系数, 可得,故原方程的通解为又有初始条件y0=1，可知，故特解为 (3) 由a=1可知，对应的齐次方程的通解为yt=C.设f1(t)=2t，f2(t)=-1，则f(t)=f1(t)+f2(t).对于f1(t)=2t

18、，因a=13，可令y*t1=A2t；对于f2(t)=-1，因a=1，可令y*t2=Bt.故原方程的特解可设为y*t=A2t+Bt，代入原方程，得,故所求通解为又有初始条件y0=2，可知,故特解为.5. 某人向银行申请1年期的贷款25000万元，约定月利率为1%，计划用12个月采用每月等额的方式还清债务，试问此人每月需付还银行多少钱？若记yt为第t个月后还需偿还的债务，a为每月的还款额，写出yt所满足的差分方程以及每月还款额的计算公式.解先对问题的进行分析， 第1个月后还需偿还的贷款为y1= y0 (1+1%)-a;第2个月后还需偿还的贷款为y2=y1(1+1%)-a;第t+1个月后还需偿还的贷

19、款为yt+1=yt (1+1%)-a ，即yt+1-1.01yt=-a.这是一个一阶常系数线性非齐次差分方程，其对应的齐次方程的特征根为=1.011，设差分方程有特解y*t=A，代入得到，于是有通解.代入初始条件y0=25000，及得，从上面的等式解得.6. 设某产品在时期t的价格、供给量与需求量分别为Pt，St与Qt(t=0，1，2，).并满足关系：(1)St=2Pt+1，(2)Qt=-4Pt1+5，(3) Qt=St.求证：由(1)(2)(3)可推出差分方程Pt+1+2Pt=2.若已知P0，求上述差分方程的解.解 由题意可得2Pt+1=-4Pt1+5，即2Pt+1=-4Pt+4，得差分方程

20、Pt+1+2Pt=2，容易求得方程的特解为：，方程的通解为：,故所求差分方程的解为7. 设Ct为t时期的消费，yt为t时期的国民收入，I=1为投资(各期相同)，设有关系式Ct=ayt1+b，yt=Ct+1，其中a，b为正常数，且a<1，若基期(即初始时期)的国民收入y0为已知，试求Ct，yt表示为t的函数关系式.解 由Ct=ayt1+b，yt=Ct+1，得，又因为a<1，故可设特解为，代入得，所以方程的通解为，,故所求差分方程的解为，从而.复习题10（A）1. 通解为y=Ce-x+x的微分方程是 .解 方程是一阶的，方程为.2. 通解为y=C1ex+C2e2x的微分方程是 .解 易

21、见这是二阶常系数方程的解，特征根为,特征方程为所以微分方程为.3. 微分方程xdy-(x2ex+y)dx=0的通解是 .解 方程可化为，通解为.4. 微分方程xy+y=0满足初始条件y(1)=1的特解是 .解 分离变量得，通解为，初始条件y(1)=1特解为5. 设非齐次线性微分方程y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x)与y2(x)，C是任意常数，则该方程的通解是 .ACy1(x)+y2(x)BCy1(x)-y2(x)Cy1(x)+Cy1(x)-y2(x)Dy1(x)+Cy1(x)+y2(x)解 非齐次通解=齐次通解+非齐次特解，齐次通解，非齐次特解为：所以选择C.6. 微分方程y+4

22、y=sin2x的一个特解形式是 .ACcos2x+D(sin2x)B D (sin2x)CxCcos2x+ D (sin2x)Dx·D (sin2x)解 因为，是特征方程的根，所以取设特解为选择C.7. 解下列一阶微分方程：(1) (1+y2)dx=xy(x+1)dy；(2) x(y+1)+sin(x+y)=0；(3) ；(4) xy+2y=sinx；(5) tanydx=(siny-x)dy；(6) (y-2xy2)dx=xdy.解 (1)分离变量，积分得，化简得；(2)令，原方程化为，积分得，化简并整理得通解：.(3) ，原方程化为，积分得方程通解为(4)这是一阶线性非齐次方程，

23、所以方程通解为(5) )设，方程化为，这是一阶线性非齐次方程，所以方程通解为(6)方程可化，这是伯努利方程，其中，所以方程通解为即.8. 解下列二阶微分方程：(1) (1+x)y+y=ln(1+x)；(2) y+3y+2y=2x2+x+1；(3) y+2y-3y=2ex；(4) y+y=x+cosx.解 (1)易见不显含y，令代入方程得，即，所以，两边积分.(2)这是二阶常系数非齐次方程，由设特解为，带入方程并对比两端的系数，得，故非齐次特解为 ；齐次通解为，从而方程通解为.(3) 这是二阶常系数非齐次方程，因为是特征方程的单根，所以取设特解为，代入原方程后，解得，故方程的一个特解为：.所求的

24、通解为.(4) 可以看成是与之和所以分别考察方程与方程的特解容易求得方程的一个特解为：容易求得方程的一个特解为：于是原方程的一个特解为又原方程所对应的齐次方程的通解为，故原方程的通解为.9. 解下列差分方程：(1) yt+1+4yt=2t2+t-1；(2) yt+1-yt=t·2t+3.解 (1) 由于a=4，令 y*t=A0+A1t+A2t2 (待定系数)，代入方程得，故原方程的通解为.(2) 分别求yt+1-yt=t·2t和yt+1-yt=3的特解，对yt+1-yt=t·2t，由a=3，b=2，可设原方程有一特解为y*t=(A0+A1t)2t，代入原方程，可解

25、得；对yt+1-yt=3，由a=1，可设原方程有一特解为y*t=Bt，代入原方程，可解得；故原方程的通解为（B）1. 设曲线y=f(x)过点(0，-1)，且其上任一点处的切线斜率为2xln(1+x2)，则f(x)= .解 易得微分方程 ，直接积分得 ，利用分部积分法，过点(0，-1)，代入可得，所以f(x)= 2. 某企业每年的工资总额在比上一年增加10%的基础上再追加奖金3百万元.若以yt表示第t年的工资总额(单位：百万元)，则yt满足的差分方程是 .解 易见 ，所以差分方程为.3. 微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是 .解 令，带入方程得，求解得即代入条件y(1)=1，可得，化简得.4. 差分方程2yt+1+10yt=5t的通解是 .解 由，设特解为，代入得，所以通解为.5