数理方程与特殊函数ppt课件

1、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n : yc517922126 数理方程与特殊函数任课教师：杨春任课教师：杨春数学科学学院数学科学学院 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 热传导、稳态场方程及其定解条件热传导、稳态场方程及其定解条件(一一)、热传导方程、热传导方程本次课主要内容本次课主要内容(二二)、稳态场方程、稳态场方程(三三)、影响物理系统的其它条件、影响物理系统的其它条件 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5

2、2 1 0.5 0 0.5 1 n 常用物理规律常用物理规律( (二二) )1、热传导定律、热传导定律定义热流密度：定义热流密度：(, )ndQkuM t dSdt (,)nd Qqk uMtd S d t 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2、牛顿冷却定律、牛顿冷却定律0()Sqk uu单位时间内流过单位面积放出的热量为：单位时间内流过单位面积放出的热量为：3、比热公式、比热公式Qcm T吸 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 4、高斯定律、高斯定

3、律( , )SSSVDdSEdSx y z dV 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n (一一)、热传导方程、热传导方程 截面积为A的均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求杆内温度的变化规律。(1)、细杆的热传导问题、细杆的热传导问题xx+dxLu(x,t)xn 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 在dt时间内流入微元的热量为：1uud QkA d tkA d tnx 在dt时间内放出微元的热量为：2(,)xud QkA d tk uxd xtA d

4、tn 在dt时间内微元吸收的净热量为：12(, )( , )xxdQdQdQkAdt uxdx tux t 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 2txxua uxxtkAu dxdtc Au dxdt由比热公式：由比热公式： ( ,)( , )dQcm Tc Adx u x tdtu x ttc Au dxdt由热量守恒定律得：由热量守恒定律得：一维齐次热传导方程一维齐次热传导方程 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 设均匀且各向同性的导热体设均匀且各

5、向同性的导热体, ,置于温度比它高的置于温度比它高的热场中热场中, ,求物体中温度求物体中温度u(xu(x，y y，z, t)z, t)的分布的规律。的分布的规律。 (2)、三维空间中的热传导问题、三维空间中的热传导问题导热体导热体热场热场 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 分析：分析：(1)、t1,t2时间里流入导热体的热量时间里流入导热体的热量Q1计算计算 先要给出在先要给出在t1,t2时间里流入导热体的热量，时间里流入导热体的热量，然后再给出在该时间中导热体温度升高所需求的然后再给出在该时间中导热体温度升高所需求的

6、热量。热量。dSn流入流入dS的热量微元为：的热量微元为：1ud Qkd S d tn 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 211ttSuQkdS dtn在在t1,t2时间里流入时间里流入S的热量为：的热量为：21(ttSuuukdydzdzdxdxdy dtxyz21222222()ttVuuukdVdtxyz 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n (2)、t1,t2 里导热体升温需求的热量里导热体升温需求的热量Q2计算计算导热体微元导热体微元dV在在

7、dt时间升温需求的热量为：时间升温需求的热量为：2( , , ,)( , , , )dQc dV u x y z tdtu x y z ttc dVu dtt1,t2 里导热体升温需求的热量里导热体升温需求的热量Q2为：为：212tttVQc u dV dt 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 由热量守恒定律：由热量守恒定律：Q1=Q2于是得到：于是得到：21tttVc u dV dt 21222222()ttVuuukdVdtxyztkucu2tuau三维齐次热传导方程三维齐次热传导方程 0.8 1 0.6 0.4 0.

8、2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 假设导热体内部有热源，不难得到非齐次方程假设导热体内部有热源，不难得到非齐次方程方式为：方式为：2(, )tuauf M t 其中，其中，f ( M, t) 被称为自在项。被称为自在项。 物质分散与热传导景象类似。所以，热传导方物质分散与热传导景象类似。所以，热传导方程也称为分散方程。程也称为分散方程。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n (二、稳态场方程二、稳态场方程 稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特稳态场问题是一类重要的典型物理问题，

9、主要特征是所研讨的物理量不随时间而变化。征是所研讨的物理量不随时间而变化。1、稳定温度分布、稳定温度分布三维齐次热传导方程为：三维齐次热传导方程为：2tuau热传导到达稳定形状时有：热传导到达稳定形状时有：0u称后一方程为稳态场中的拉普拉斯方程称后一方程为稳态场中的拉普拉斯方程. 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 由静电场的高斯公式：由静电场的高斯公式：假设设：假设设：2、静电场中的电势分布规律、静电场中的电势分布规律SSVEd Sd V,EP Q R可以得到：可以得到：(1)E 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0

10、x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 静电场是保守场，于是存在势函数静电场是保守场，于是存在势函数u(x,y,z)u(x,y,z)满足：满足：把把(2)(2)代入代入(1)(1)得：得：,( 2 )uuuEuxyz 这就是静电场中电势满足的泊松方程这就是静电场中电势满足的泊松方程uu2假设假设=0=0，那么泊松方程变为拉普拉斯方程。，那么泊松方程变为拉普拉斯方程。泊松方程与拉普拉斯方程称为稳态场方程。泊松方程与拉普拉斯方程称为稳态场方程。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1 1、动摇方程：

11、、动摇方程：三类典型物理方程总结三类典型物理方程总结2(, )ttuauf M t2 2、热传导方程：、热传导方程：2(, )tuauf M t3 3、稳态场方程、稳态场方程( (泊松方程泊松方程) )：2()uufM 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 1 1、不含初值条件、不含初值条件带第一类边境条件：狄里赫列问题，简称狄氏问题；带第一类边境条件：狄里赫列问题，简称狄氏问题；稳态场方程的定解条件问题稳态场方程的定解条件问题2 2、边境条件、边境条件带第二类边境条件：牛曼问题；带第二类边境条件：牛曼问题；带第三类边境条件

12、：洛平问题。带第三类边境条件：洛平问题。稳态场方程求解将在第六章讨论！稳态场方程求解将在第六章讨论！ 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n (三、影响物理系统的其它条件三、影响物理系统的其它条件1、衔接条件、衔接条件反映两种介质交界处物理情况的条件称为衔接条件。反映两种介质交界处物理情况的条件称为衔接条件。 当物理系统涉及几种介质时，定解条件中就要包当物理系统涉及几种介质时，定解条件中就要包括衔接条件。括衔接条件。例例1、写出由两种不同资料、写出由两种不同资料, 等截面积杆衔接成的杆的等截面积杆衔接成的杆的纵振动的衔接条件。

13、衔接处为纵振动的衔接条件。衔接处为 x = x0分析：衔接处面上点的位移相等，面上协强相等。分析：衔接处面上点的位移相等，面上协强相等。x=x0Y1Y2xu1(x,t)u2(x,t) 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 所以，衔接条件为：所以，衔接条件为：0000121212xxxxxxxxuuuuYYxx例例2、讨论静电场中电介质外表的衔接条件、讨论静电场中电介质外表的衔接条件设设1，2与与u1,u2分别表示两种介质的介电常数与电势；分别表示两种介质的介电常数与电势；f 表示分界面表示分界面S上电荷面密度。上电荷面密度。

14、 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n (1)、在界面处，两种介质中的电势应相等、在界面处，两种介质中的电势应相等12SSuu现实上：根据电场强度与电势梯度的关系有：现实上：根据电场强度与电势梯度的关系有：duEdl 于是，假设假定于是，假设假定E为为p1p2上的平均上的平均电场强度电场强度 (显然它有限显然它有限) ，那么：，那么：2211()()upupEL 两边对两边对L取极限得：取极限得：12SSuu 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n (2)、

15、在界面处，可以导出如下等式：、在界面处，可以导出如下等式：现实上：根据有介质高斯公式就可以推出上式。现实上：根据有介质高斯公式就可以推出上式。1212SfuunnfSDd SQQfQf是面是面S S内的总电荷内的总电荷有介质高斯公式为：有介质高斯公式为： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 取一个包含取一个包含S的上下底平行的高为的上下底平行的高为h的扁平盒：的扁平盒：由于由于h可以很小，因此，经过侧面的电通量忽略！可以很小，因此，经过侧面的电通量忽略！于是由高斯公式有：于是由高斯公式有：12()()ffDnSDnSQS

16、而而:DEu 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 所以：所以：1212()Sfuunn阐明：假设阐明：假设u1为导体的电势，为导体的电势，u2是绝缘体电势，那是绝缘体电势，那么，由于导体是等势体，所以有：么，由于导体是等势体，所以有：22Sfun 2、周期性条件、周期性条件 在极坐标、柱面坐标和球坐标系的经度坐标中，在极坐标、柱面坐标和球坐标系的经度坐标中，实践物理量常满足周期性条件，即：实践物理量常满足周期性条件，即： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1

17、 n (1)(1)、在极坐标中：、在极坐标中：( ,2 , )( , , )u rzu rz( ,2 )( , )u ru r(2)(2)、在柱坐标中：、在柱坐标中：( , ,2 )( , ,)u ru r (3)(3)、在球坐标中：、在球坐标中： 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 例如，在静电场中，由电势的独一性有：例如，在静电场中，由电势的独一性有：3、有界性条件、有界性条件lim0ru 或 有 限 数( , ,2 )( , ,)u ru r 在没有源处，物理量普通有界。常思索物理量在在没有源处，物理量普通有界。常思

18、索物理量在坐标原点处有界。坐标原点处有界。 例如，在静电场中，电势在原点例如，在静电场中，电势在原点(无电荷有无电荷有界；在温度场中，中心温度有界等！界；在温度场中，中心温度有界等！4、无穷远条件、无穷远条件或者在无穷远处或者在无穷远处u有渐进展为有渐进展为f(r,t)(知函数知函数 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 例例3、半径为、半径为r0的球面，在的球面，在0/2的半球上电势为的半球上电势为u0，在另一半球上为在另一半球上为-u0,写出定解问题。写出定解问题。分析：空间中的电势分布分球内分析：空间中的电势分布分球内

19、(u1)与球外与球外(u2),由于是由于是静电场问题，所以泛定方程为稳态场方程。又空间中静电场问题，所以泛定方程为稳态场方程。又空间中没有分布电荷，因此方程为拉普拉斯方程。没有分布电荷，因此方程为拉普拉斯方程。 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 所以：所以：210lim0,rruu 0100100()(0/ 2)(/ 2)rrurruuu其它条件：其它条件：200()urr0012rrrruu1212()0Suunn 0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 1 0.5 0 0.5 1 n 定解问题的简要总结定解问题的简要总结 对于一个详细物理问题，写出其定解问题，对于一个详细物理问题，写出其定解问题，应该分如下三步进展：应该分如下