第一次习题课 无穷级数 高数

1、1 内容及要求内容及要求 无穷级数的第一次习题课无穷级数的第一次习题课 2 典型例题典型例题1 内容及要求内容及要求 (1) 理解常数项级数的定义及性质理解常数项级数的定义及性质(2) 掌握常数项级数敛散性的判别法掌握常数项级数敛散性的判别法 发散发散否否 1nnuun 0? 级级数数收收敛敛的的定定义义、性性质质形形式式比比较较法法、比比较较法法的的极极限限比比值值法法、根根值值法法0nu 用用定定义义其其他他用用定定义义进进行行处处理理对对莱莱布布尼尼兹兹判判别别法法交交错错级级数数散散若若用用比比值值，根根值值，则则发发,nu是是一般项级数一般项级数 1nnu 绝对收敛绝对收敛如收敛如收

2、敛如发如发散散首先考察首先考察 1|nnu2 典型例题典型例题 121)1(nnnnaa 收收敛敛，则则若若例例1 填空填空可能收敛也可能发散。可能收敛也可能发散。解解例如例如 收敛，收敛， 2)1(nnn.122收敛收敛 nn绝绝对对收收敛敛，或或 1nna 1nna是正项级数，是正项级数，因为因为an1推出推出an2 an。则结论正确。则结论正确。收敛，收敛， 2)1(nnn.12发散发散 nn 111lim)2(nnnnnnnuvvu收收敛敛，则则，已已知知。收收敛敛，则则若若 112)3(nnnnnaa绝对收敛绝对收敛可能收敛也可能收敛也可可能能发散。发散。1ln)1(lim1ln)1

3、(1ln)1(lim nnnnnnnnnn但是但是 发散。发散。 2221ln)1(1ln)1(nnnnnnnnn,121|22nnanna 。，则则21)1(, 0)4(nnkknn 条件收敛条件收敛收收敛敛。收收敛敛，|1,11212 nnnnnnana发发散散，212, 11limnnknnnknn 收收敛敛，而而交交错错级级数数21)1(nnknn 原级数条件收敛原级数条件收敛）为为（收收敛敛，则则必必收收敛敛的的级级数数若若 1)5(nnu 1)1()(nnnnuA 12)(nnuB 1212)()(nnnuuC 11)()(nnnuuDD:反例反例nuCnuBAnnnn1)1(:)

4、(1)1(:)(1 110(6)(),lim,nnnnnnnn uuSnuAu 若若且且则则SA 111021321011(6)()2()3().()(.)nkkknnnnk uuuuuuuun uuuuunu .)(limlim110SAuuknuSunkkknnnnnn 例例2 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性 11(1)nnn n 方法：方法： 221( !)(2)2nnn 发散发散 1011(3)lnnn 1,nvn 取用比较法 发散。取用比较法 发散。1,nvn 取用比较法，发散.取用比较法，发散.221!1()(1)!(0),22nnunnn 1(4)(1cos)nn 31

5、2ln(5)nnn 221coslim1,2nnn 收敛收敛431,nvn 取收敛取收敛21cos3(6);2nnnn 2cos3,22nnnnnnu 收敛收敛1(7)(0,0).nsnaasn ,1时时当当 a原级数收敛；原级数收敛；,1时时当当 a原级数发散；原级数发散；,1时时当当 a级数，故级数，故原级数为原级数为 pnns,11anausnnnnn )(limlim从而从而,1时时当当 a原级数发散；原级数发散；时，发散。时，发散。时，收敛：当时，收敛：当当当11 ss解：解：n2时，时， dxxndxxxunnn /0/011sin0 22)1ln(nnn 收敛，故所给级数收敛。收

6、敛，故所给级数收敛。 222nn 1)1ln(lim22 nnnn （或用极限法）（或用极限法） /01sin(8), 1nnnnxudxux 是否收敛？是否收敛？例例3 判断下列级数是条判断下列级数是条 112sin1(1)( 1),nnnn 件收敛还是绝对收敛件收敛还是绝对收敛12( 1) (1)!(2)nnnnn 11|,.nnu 解解: :绝绝对对收收敛敛11lim |1,.(1)nnnnnunuen 解解：绝绝对对收收敛敛)1()1()3(12 nnnn)(ln1)1(ln11 nnnenannnn解解不不绝绝对对收收敛敛。发发散散， 2lnnnn0)1(limln1 nnne显显然

7、然单单调调减减。下下验验证证1)1(ln11 nnnnena,ln)(xxxf 令令)(0ln1)(2exxxxf 13,.nnnaa 只只要要原级数条件收敛。原级数条件收敛。2( 1)(4)( 1)nnnn 解：这是一个交错级数，解：这是一个交错级数，11)1(1)1()1( nnnnnn 211nn发散，所以该级数不是绝对收敛的。发散，所以该级数不是绝对收敛的。 易知易知 0)1(1 nnnu当当n为偶数时，为偶数时， nnununnn1)1(11 ,1111 un un+1。 前前2n项之和记为项之和记为S2n，则，则)4151()2131(2 nS)21121(nn 每个小括号内皆为负

8、值，故每个小括号内皆为负值，故S2n是单调减少的，同是单调减少的，同时又有时又有 )6151()4131(212nS21121)21121( nnn又由于又由于 0lim nnuSuSSnnnnn )(limlim12212SSnn lim所以所以 所以原级数为条件收敛。所以原级数为条件收敛。 即原级数收敛。即原级数收敛。所以所以S2n单调减且有下界，故单调减且有下界，故nnS2lim 存在，记为存在，记为S。 1( 1)(5)lnnnnn ,1ln1nnn ,11发散发散而而 nn,ln1ln)1(11发散发散 nnnnnnn即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛,ln)1(1级数级数是交错是

9、交错 nnnn由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)( xxxf,), 1(上单增上单增在在,ln1单减单减即即xx ,1ln1时单减时单减当当故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛所给级数为交错级数。所给级数为交错级数。 1( 1) sinlnnnan 解解: : 发散，故发散，故而而nnnnannln1, 1ln1ln1sinlim,ln1sin|原级数不绝对收敛。原级数不绝对收敛。单调递减，故单调递减

10、，故很大时，很大时，而当而当又又nnnnln1sin, 0ln1sinlim 原级数条件收敛。原级数条件收敛。21(6)sin()lnnnn 例例4 求下列极限求下列极限 nkkknkn12)11(311lim)2()13(852!lim)1( nnn解解 （1） 考察考察 31lim ,11 nnnnnuuu.0lim1 nnnnuu 收收敛敛，所所以以 112)11(31 )2(nnnnnan考考察察级级数数11limlim(1)133nnnnnean 因因为为此级数收敛此级数收敛sknkkkn 12)11(31lim即即0)11(311lim12 nkkknkn所所以以证明证明 因为偶函

11、数因为偶函数f (x)在在x=0的某邻域有连续的二阶的某邻域有连续的二阶导数，导数，)1(2)0(122nonf ，故故0)0( f)1()1(2)0(1)0()0()1(22nonfnffnf 且且例例5 (1)设偶函数设偶函数f (x)在在x=0的某邻域二阶导数连的某邻域二阶导数连续，且续，且 f (0)=1，绝绝对对收收敛敛。证证明明级级数数 11)1(nnf于是于是 2)0(1)1(2)0(lim11)1(lim222fnnofnnfnn 收敛收敛 11)1(nnf绝对收敛绝对收敛)1)1(1 nnf绝绝对对收收敛敛。正正项项级级数数，证证明明为为收收敛敛的的收收敛敛，且且设设级级数数 1111)()2(nnnnnnnnbabaa1001(),nnkknnnksaaaaasa 证明：因故证明：因故Maaasannn |0有界，设有界，设从而从而则则的收敛性知，的收敛性知，由比较法及由比较法及 nnnnbMbba,| 绝对收敛。绝对收敛。nnba0nnnncaba证明：因，故可得证。证明：