成人高考数学—导数

1、第五章第五章 导数导数一、导数定义一、导数定义二、二、幂函数求导公式幂函数求导公式和法则和法则（重要）（重要）三、导数的几何意义三、导数的几何意义（考点）（考点）四、函数的单调性与极值四、函数的单调性与极值（考点）（考点）五、函数的最大值和最小值五、函数的最大值和最小值（考点）（考点）一、导数一、导数:幂函数求导公式幂函数求导公式和法则和法则，即常数的导数是零；，则如果0)()() 1 (xfCxf；，则如果1)()()2(nnnxxfxxf.)()() 3(1nnnxCxfCxxf，则如果是一个函数值的函数，是)()(0 xfxxf注意注意:幂函数求导举例（降幂）幂函数求导举例（降幂）3)

2、1(3) 1(3)() 1 (22fxxf1) 1(1)()3(fxf30) 1(30) 1(3065)()2(444fxxxf0) 1(0)()4(fxf5)()4(;)()3(;6)()2(;)()1(：)1(求下列函数的导数及53xfxxfxxfxxff多项式幂函数求导举例多项式幂函数求导举例；的导数求函数)(132)(23xfxxxxf) 1(),(, 352)(234fxfxxxxf求若252158) 1(215823542)(2323fxxxxxxxf3433223)(22xxxxxf解：应用一：求切线v导数是曲线 在点 处的切线的斜率)(000 xxxfyy),(00yx)(xf

3、y (1) 切线的斜率方法就是先对曲线方程所对应函数求导(2)然后再代入点坐标，求出具体的导数值v对应的切线方程：导数的几何意义：导数的几何意义：处的斜率及切线方程在点求曲线)2 , 1 (2xxy3112|) 1 (1xyf代入横坐标，得斜率12 xy解：首先求导，得：) 1(32xy代入切线方程公式，得013 yx整理成标准形式，得4-5 , 2-4,2) 12）处切线斜率为（即在点则对函数求导，得Pyxyx01)0(11:),1 , 0(10, 11, 12)20yxxyyxyxyx整理得：代入直线点斜式可得即切点为处可求出对应的又由条件点即斜率为则对函数求导，得;)5 , 2() 12

4、处的切线的斜率在点求曲线 xy;) 1 , 0()22处的切线方程在点求曲线xxy;_) 3 , 1 (12)(3处的切线方程为在点例：曲线 xxf1010年考题第年考题第1919小题小题4 4分分;_)5 , 1(32)(2处切线的斜率为在点例：曲线 xxf1111年考题第年考题第2020小题小题4 4分分4) 1(4|1xyxy4解：) 1(63xy代入切线方程公式，得036 yx整理成标准形式，得616|21xy26xy 解：xxxxf2322)()1(处的切线方程：)1 ,0(点求下列函数的导数及在:练习)0( 11xy代入切线方程公式，得01 yx整理得1)0( f146)() 1

5、(2xxxf解：)0(01xy代入切线方程公式，得01y整理得23)(xxf11)()2(3223xxxxxxxf解：0)0( f的单调区间。）求函数（处的切线方程；在点）求曲线（。例：已知函数)(2)11, 2(32)(132)(2424xfxxxfxxxf0909年考题第年考题第2323题题1212分分) 1)(1(444)() 1 (3xxxxxxf解：242424)2(3 f03724)2(2411:)11, 2(32)(24yxxyxxxf即处的切线方程在点曲线2yx 2yxxy2222221211221,22yxyxyxyxyyxyxxkyxyx 的切线就与只有一个公共点， （A）

6、2或2 （B）0或4 （C）1或1 （D）3或7曲线 与直线 只有一个公共点，则k= 21yxykx内是常数。在，那么内恒有如果在内是减函数；在，那么内如果在内是增函数；在，那么内如果在内可导，在区间、定理：设函数),()(0)(),(),()(0)(),(),()(0)(),(),()(1baxfxfbabaxfxfbabaxfxfbabaxf应用二：判断函数的单调性;)(1)的定义域求出函数xf2、判断函数单调性的步骤：; )()(2)xfxf的导数求出函数;)(,0)(0,)(3)的驻点函数这样的点叫做得点并求出使令xfxxfxf;)(4)间的定义域分成若干个区驻点把函数xf;)(,)(

7、5)在各区间内的单调性判断函数并根据定理的符号查在上述每一个区间内考xfxf ;32(1)2的单调区间利用导数求函数例xxy),(322的定义域是解：函数xxy) 1(222xxy; 1320,) 1(22xxxyxy的一个驻点得函数令; ), 1() 1,(),(1和分成两个区间把区间x0) 1(2) 1,(xyx时，当.32) 1,(2的单调递减区间是区间xxy0) 1(2), 1(xyx时，当.32), 1(2的单调递增区间是区间xxy的单调区间。）求函数（处的切线方程；在点）求曲线（。例：已知函数)(2)11, 2(32)(132)(2424xfxxxfxxxf0909年考题第年考题第

8、2323题题1212分分),(32)(224的定义域是）函数（xxxf) 1)(1(444)(3xxxxxxf1;010,) 1)(1(4)(、得函数的三个驻点令xxxxf; ), 1 () 1 , 0)(0 , 1() 1,(),(101、分成四个区间把区间、0)() 1,(xfx时，当.)() 1,(的单调递减区间是区间xf0)()0 , 1(xfx时，当.)()01(的单调递增区间是，区间xf0)() 10(xfx时，当.)() 1 , 0(,的单调递减区间是区间xf0)()1 (xfx时，当.)() 1,(的单调递增区间是区间xf;1001232)(2)23的单调性判断函数例xxxxf

9、),(1001232)(23的定义域是解：函数xxxxf) 1)(2(61266)(2xxxxxf1;, 2)(0,) 1)(2(6)(21xxxfxxxf的两个驻点得函数令; ), 1 () 1 , 2()2,(),(1 , 2、分成三个区间把区间0)()2,(xfx时，当.)2,()(内单调递增在xf0)() 1 , 2(xfx时，当.) 1 , 2()(内单调递减在 xf0)(), 1 (xfx时，当.), 1 ()(内单调递增在xf)(xf值。在驻点的函数值不是极则函数的符号相同时与当时若当)(,)()(00 xfxfxxxfxx)(xfx1x2x+0-0+增区间极大值减区间极小值增区

10、间),(1x),(21xx),(2x应用三：求函数的极值：; )()(1)xfxf的导数求出函数的解0)(即求在其定义域内的驻点；)(求函数(2)xfxf;)(3)0左右的符号在驻点检查xxf ) 1)(3( 3963)(2xxxxxf1, 30)(21xxxf得驻点：令三个区间分为把区间), 1 (),1 , 3(),3,(),(1 , 3增减创建表格4-28)(00)(), 1(1)1 ,3(3)3,(xfxf的单调区间与极值；例：求函数193)(23xxxxf4-28) 1 , 3(), 1 (),3,(，极小值为为减区间，极大值为区间为增区间由上表可得：区间),解：原函数定义域为（0)

11、4)(1(624186)(2xxxxxf4, 121xx得驻点：的变化状态如下：和变化时当)()(xfxfx119)4(, 6) 1(fyfy极小极大由上表可得：的极值；练习：求函数72492)(23xxxxfx)(xf )(xf) 1,(1)4 , 1(4), 4( 06极大值0191极小值),解：原函数定义域为（;_13)(3的极小值为例：函数xxxf0) 1)(1(333)(2xxxxf解：1, 121xx得驻点：的变化状态如下：和变化时当)()(xfxfx1) 1(, 3) 1 (fyfy极小极大由上表可得：x)(xf )(xf) 1,(1) 1 , 1(1), 1 ( 01极小值03

12、极大值应用四：求函数的最大值与最小值：,ba（1）观察题目是否给出定义域（2）求出定义域区间内f(x)的驻点.（3）把驻点值和区间端点值f(a),f(b)进行比较.（4）最大的就是f(x)在定义域 上的最大值，最小的就是最小值.,ba上的最大值与最小值。在区间求已知2 , 2)(, 52)(24xfxxxf0) 1)(1(444)(3xxxxxxf解：1, 0, 1321xxx得驻点：4) 1 (, 5)0(, 4) 1(fff又。，最小值为上的最大值为在区间4132 , 2)(xf135222)2()2(24ff又axy23)1 (解：3, 3033|20aayx解之得：，即由（舍去）或解得

13、，令，定义域为得原函数为）由（1-1, 033,2, 013(1)223xyxyxxy1-32 , 0133，最小值为上的最大值为在比较得知，xxy上的最大值与最小值。在区间）求函数（的值；）求（。处的切线的斜率为在例：设函数2 , 01213) 1 , 0(133axxyaaxxy3|, 1|, 1|210 xxxyyy0707年考题第年考题第2525题题1313分分上的最大值和最小值。在区间）求函数的值；（）求（。，且例：已知函数2 , 2)(2124)2(5)(24xfmfmxxxf0808年考题第年考题第2525题题1313分分mxxxf24)() 1 (3解：2,24222424)2

14、(3mmf解之得：，即由1-10, 0)() 1)(1(444)(,2 , 252)(1)2324或，解得，令，定义域为得原函数为）由（xxfxxxxxxfxxxf4132 , 25224，最小值为上的最大值为在比较得知，xxy4) 1 (,13)2(, 5)0(, 4) 1(,13)2(fffff的最大值和最小值。在区间）求函数（的值；）求。（斜率为处的切线方程的在点例：设函数2 , 3)(2112)2 , 0()(, 24)(3xfaPxfyaxxxf1010年考题第年考题第2525题题1313分分axxf212)() 1 ( 解：1212)0(af，得：由2124)(1)23xxxf得原函数为）由（70102 , 3)(，最小值为上的最大值为在比较得知，xf10)2(, 6) 1 (,10) 1(,70)3(ffff1, 0)() 1)(1(121212)(2xxfxxxxf解得，令上的最大值和最小值。在区间）求函数（在哪个区间是减函数；在哪个区间是增函数，）确定函数（。例：已知函数4 , 0)(2)(14)(23xfxfxxxf1111年考题第年考题第2525小题小题1313分分),(4)(23的定义域是解：函数xxxf)83(83)(2xxxxxf;38, 0)(0,)83()(21xxxfxxxf的两个驻点得函数令; ),38()38, 0()0 ,(),