椭圆及椭圆标准方程

1、主讲人：杜贤中主讲人：杜贤中 主讲人：杜贤中主讲人：杜贤中1.1.了解椭圆的实际背景，理解椭圆的定义了解椭圆的实际背景，理解椭圆的定义2.2.掌握椭圆的标准方程及其推导过程掌握椭圆的标准方程及其推导过程. .3.3.掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想; ; 重点 椭圆的定义及其标准方程椭圆的定义及其标准方程 难点 椭圆标准方程的推导椭圆标准方程的推导主讲人：杜贤中本节课需要解决一下问题本节课需要解决一下问题 1.椭圆的定义？椭圆的定义？ 2.椭圆的标准方程及其推导过程？椭圆的标准方程及其推导过程？ 3.椭圆标准方程的求法？椭圆标准方程的求法？取一条定长的细

2、绳取一条定长的细绳, ,把两端拉开一段距离分别固定把两端拉开一段距离分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的是什么图形？该曲线满足的条件是什尖，画出的是什么图形？该曲线满足的条件是什么？么？几何画板演示2 12PMMFMF 定定值值1 1、在画图过程中，绳子长度变化了吗？在画图过程中，绳子长度变化了吗？2 2、你所画出的曲线上的点到、你所画出的曲线上的点到F F1 1、F F2 2两点的距离和两点的距离和始终是什么关系？始终是什么关系？ 平面内与两定点的距离之平面内与两定点的距离之和和等于等于常数常数 的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭

3、圆椭圆。1F2FM主讲人：杜贤中 1. 改变两图钉之间的距离，使其与改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2绳长能小于两图钉之间的距离吗？绳长能小于两图钉之间的距离吗？ 主讲人：杜贤中 1. 改变两图钉之间的距离，使其与改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2绳长能小于两图钉之间的距离吗？绳长能小于两图钉之间的距离吗？ 平面内与两定点平面内与两定点()()的距离之的距离之和和等于等于常数常数 的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭圆椭圆。)(21FF大于这两个定点这两个定点叫做叫做椭圆的焦点椭圆

4、的焦点两焦点间的距离叫做两焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距1F2FM主讲人：杜贤中几点说明：几点说明： 1 1、F F1 1、F F2 2是两个不同的定点；是两个不同的定点；3 3、通常这个常数记为、通常这个常数记为2a2a，焦距记为，焦距记为2c2c，且，且 2a2c2a2c； 4 4、如果、如果2a = 2c2a = 2c，则，则M M点的轨迹是线段点的轨迹是线段F F1 1F F2 2. . 5 5、如果、如果2a 2c2a 0),2c(c0),那么焦点那么焦点F F1 1，F F2 2的坐标分别是的坐标分别是 ，设，设M M与焦点与焦点F F1 1，F F2 2的距离的距离的和为的

5、和为 （其中（其中 ），），2aac 12PMMFMF 定定值值 以椭圆两焦点以椭圆两焦点F F1 1，F F2 2所在的直线为所在的直线为X X轴，线段轴，线段F F1 1F F2 2的垂的垂直平分线为直平分线为Y Y轴轴（-c-c，0 0），（），（c c，0 0）1（）建系：_,建立直角坐标系。建系；建系；设点；设点；列式；列式； 化简化简.如何让化简？如何让化简？ 22x+c_(_;4)y：移项： （）化简222x-cay（）222222244x cx+cx caayyy（）（）方程两边平方:（）22x_c_ _ay（）整理移项: 2222 222422222a xa cx a ca

6、yaa cx c x上式两边再平方，得:222 ( )( )ya整理得: （ ）x 22222_1yaacx两边同除以，得 22ac2a22ac222aac（）2acx0,2222cacaca所以即由椭圆的定义可知，22221yabx思考jF2F1POxy_,_,2222cacacaca的线段吗？你能从下图中找出表示21PFPF 21OFOF PO22caPO令122222cayax0 ba焦点在x轴上的椭圆的标准方程22221yabx22221yabx0 ba焦点在Y轴上的椭圆的标准方程2FM1FxyM2Fxy1F0ba主讲人：杜贤中OXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0

7、,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay 椭圆的标准方程的特点：（1）左边是两个分式的平方和，右边是1（2）三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（4）x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。主讲人：杜贤中2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和的距离的和等于常数（大于等于常数（大于F1F2）的点的轨迹）的点的轨迹12- , 0 , 0，FcFc120

8、,-0,，FcFc标准方程标准方程不不 同同 点点相相 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系焦点位置的判断焦点位置的判断 再认识！再认识！xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO尝试练习一：尝试练习一：1 1、在下列方程中，哪些是、在下列方程中，哪些是椭圆的标准方程？如果是，请找出椭圆的标准方程？如果是，请找出a,b,ca,b,c的值的值. .22222222(1)0 (2)1 254169(3)1 (4)1 25429xyxyxyxy2 2、根据椭圆的方程填空、根据椭圆的方程填空22(1)110036xy abc 则则焦焦点点坐坐标标abc 则则焦焦

9、点点坐坐标标22(2)158xy 106( 8,0),(8,0) 82 25(0,3),(0,3) 3abc 则则焦焦点点坐坐标标22(3)4936xy 325(5,0),( 5,0) 主讲人：杜贤中例例. .已知椭圆的两个焦点坐标分别是已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2(-2,0),(2,0),),(2,0),并且经过点并且经过点 , , 求它的标准方程求它的标准方程. .)23,25(解法一解法一: :因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在x轴上轴上, ,所以设它的标准方程为所以设它的标准方程为).0( 12222babyax由椭圆的定义知由椭圆的定义知102)23()225()23()225(

10、22222 a所以所以.10 a又因为又因为 , ,所以所以2 c. 6410222 cab因此因此, , 所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为. 161022 yx主讲人：杜贤中求椭圆标准方程的解题步骤：求椭圆标准方程的解题步骤：（1）确定焦点的位置；）确定焦点的位置；（2）设出椭圆的标准方程；）设出椭圆的标准方程；（3）用待定系数法确定）用待定系数法确定a、b的值，的值， 写出椭圆的标准方程写出椭圆的标准方程.尝试练习二尝试练习二写出适合下列条件的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程22116xy22116yx 222211169169xyyx或或4,7ac（3），焦点在坐标轴上：_4,15ac（2），焦点在y轴上：_4,1,ab（1）焦点在x轴上：_1、椭圆的定义、椭圆的定义?2、求曲线轨迹方程的步骤求曲线轨迹方程的步骤?3、椭圆的标准方程椭圆的标准方程?2222222211 0)xyyxababab ， （1、椭圆的定义、椭圆的定义-注意：动点到两个定点的距离之和必须大于两个定点的距离2、求曲线轨迹方程的步骤