第一篇 高等数学

1、第一篇 高等数学第一章 函数与极限数列极限、函数极限【例1.1】说明数列极限的存在性，并估计出该极限的近似值。第一步：LIB 选Sequence START ,输入数列第一项、第二项和一般项。( 1 + 11 ) xy 1 ENTER OK，得U1(1)；( 1 + 12 ) xy 2 ENTER OK，得U1(2)；( 1 + 1N ) xy N ENTER OK，得U1(N)。第二步： NUM 依下图，设置计算数列项的参数；按 NUM ，显示数列各项之值，从表中可观察到：随着N的增大，U1(N)的值趋向于常数2.718281828。第三步： PLOT ，依下图，设置绘制数列阶梯图的相关参数

2、；按 PLOT ，可画出数列阶梯图，从图中可观察到，当N23后，曲线的变化趋势呈水平状，这表明，数列是收敛的。【例1.2】说明函数极限。LIB 选Function START ,输入函数F1(X)=SIN(X)X； VIEWS ，选 PLOT-Table OK，可给出函数在X=0附近的值和它的图形。从图表中可观察到极限是正确的。【例1.3】说明函数极限，是否存在，如果存在，判断其极限值大约是多少。LIB 选Function START ,输入函数F1(X)=X*SIN(X)； NUM 依下图，设置计算函数求值的参数；按 NUM ，将显示出函数值表，从表中可以观察到：当X=0.0005时，对应的

3、函数值F1(X)大约等于2.07×10-13，因此可以初步断定。再按 NUM ，对函数求值的参数进行如下的重新设置。再按下 NUM 键，从函数值表中可以看到：当X=1500时，对应的函数值F1(X)大约等于3.14159，我们可以猜测。 PLOT ，参考下图，设置绘制函数图象的有关参数；按 PLOT ，可画出函数的图象，从图中可以观察到，当X的绝对值充分大之后，曲线的变化趋势呈水平状，这表明函数当自变量趋向于无穷大时的极限是存在的；当X的绝对值充分小时，曲线逼近于原点，这表明函数当自变量趋向于零时的极限可能为零。【思考题1.1】对于半径的圆，中国古代数学家刘徽采用正多边形面积逼近圆面

4、积的方法，即割圆术，计算出了圆面积。如下图所示，设圆内接、外接正多边形面积为、，n代表正多边形边数。1、给出、与圆心角之间的关系式；2、显然，如果、收敛于同一极限，那么该极限就应该是圆的面积值，这就是刘徽割圆术的思想。利用图形计算器的数值计算法与作图法，证明刘徽利用正多形面积逼近圆面积思想的可行性与正确性。【例1.4】设有，利用图形计算器，判定该数列的极限是否存在？如果存在，估计该极限的近似值。HOME 输入1 STO AZ X ENTER ，得到 X=1；0.5 * ( AZ X + 2 AZ X ) STO AZ X ENTER ，可得到 X=1.5； COPY ENTER，可得 X=1.

5、416666； COPY ENTER，可得 X=1.414215； COPY ENTER，可得 X=1.414213。可以断言，存在且大约为1.41421。事实上，可严格证明。上述计算过程，实际上展示了计算的一个数值方法 迭代法。【思考题1.2】设，给出求近似值的递推关系式，并利用它计算的近似值，要求精确到小数点后第5位。【思考题1.3】对于迭代关系式 ，或设，它可以重新表示成 。如果，对它两过取极限可得 ，显然是方程的一个根，也称之为迭代式的不动点。对于这个方法所蕴含的数学思想，我们作一个小结：欲求方程的根，可设法将它改写成等价形式，然后给定迭代初值，生成迭代关系式，如果迭代生成的数列收敛，

6、即，则是方程的一个根，自然地，。因此，迭代法可用来求方程的近似根。1、方程在附近有根，构造尽可能多的迭代关系式，计算该根的近似值；2、说明迭代法求根的几何意义。【思考题1.4】讨论极限1、可否利用等价无穷小替换求上述极限，借助图形计算器阐明你的观点；2、借助图形计算器，猜测上述极限；3、对于极限、，你会产生怎样的猜想呢，并设法去证实它。【思考题1.5】设有元存款，年利率为1、若银行一年支付一次利息，给出一年后的本利之和计算公式；2、若银行采取一年支付次利息的方式，试证明，年之后这笔存款的本利之和为 ；3、如果一年内计息无穷多次(即：)，这笔存款在年之后的本利之和又应如何计算(即要求你导出所谓的

7、连续复利计算公式)；4、设元存款，年利率，一年内计息次数分别为(半年)，(季度)，(月)，(天)，存款的年限分别为、年，试计算出本利之和，并将结果列表显示。函数的连续性与间断点【例1.5】判断函数在处的连续性，指出分段函数，在处是否连续，并作出它的图象。函数在处无定义，故是其间断点，又，故该间断点为可去间断点。若重新定义分段函数，则它在处是连续的。利用图形计算器，可作出曲线的图象，由于，可知该曲线被界于两直线之间。LIB 选 Function START，分别输入函数F1(X)=X；F2(X)= -X；F3(X)=X*SIN(1/X)。 PLOT ，按下图设置作图参数，再按 PLOT ，可作出

8、如下三条曲线。为了更好地了解曲线在附近的细节，我们可以对图象作局部放大。MENU ZOOM Box OK，移动光标到合适位置，按OK键，定下方框的第一个角的位置，然后再移动光标到另一位置，按下OK，可定出方框的第二个角的位置，此时方框内的图形被放大。【例1.6】作函数的图象，并指出的间断点类型。LIB 选Function START + XY ( X ( X 1 ) )，输入函数F1(X)=e ( X(X-1)； PLOT ，按下图设置作图参数，再按 PLOT ，可作出曲线。从图中可以观察到：是一个跳跃间断点，因为，而。【思考题1.6】设有函数1、利用图形计算器，作出该函数在附近的图象；2、是

9、函数的无穷间断点吗？该函数在其定义域内是无界函数吗？用分析的方法证明你的结论。方程求根【例1.7】求方程在( 0 , 1 )上的根。可直接利用图形计算器提供方程求根功能，来解决该问题。LIB 选Solve START ，输入方程E1：AZ X XY 3 AZ 4 * X XY 2 + 1 = 0 按 NUM 进入方程求根窗口，首先输入一个对所求根估计值，如X=0.5，再按下OK键，然后按下SOLVE，可得到方程在X=0.5附近的一个根X=0.5374。【例1.8】利用两分法，编写求方程在(0 ,1)上的根的程序。因为，而，据连续函数零点定理，函数在(0 ,1)上有一零点。若设定近似根的误差限小

10、于10，这个求根的两分法程序框图如下：按 PROGRAM 可进入HP38G的编程环境PROGRAM CATALOG，按NEW ，为你的程序起个名字，如：PROG01，按OK，立即进入程序编辑环境，请输入以下程序代码。0 A：1 B：A34*A2+1 L：10(- 4) E：DO(A+B)/2 C：C34*C2+1 M：IF L*M0 THENCA：ELSECB：END：UNTIL ABS(BA)<E END：DISP 4；"X = " (A+B)2：FREEZE：按 PROGRAM，退出程序编辑环境，按RUN，稍等片刻，便可得到根的近似值X=0.5373840332。

11、【思考题1.7】分别用Solve方法和两分法，计算方程在附近的近似根，且误差小于。第二章 导数与微分导数定义与函数求导【例2.1】利用HP38G绘制一幅动画，说明曲线在原点(0,0)处的切线，是过原点的割线经转动而生成的。第一步：按 PROGRAM ，进入HP38G的编程环境PROGRAM CATALOG。再按NEW ，键入文件名PROG02，按OK，可进入程序编辑环境，输入如下程序代码。FOR X=-2 TO 2 STEP 4/200；X2 Y：PIXON X；Y：END：FOR X=2 TO 0 STEP -0.2；X2 Y：LINE 0；0；X；Y：END：LINE -2；0；2；0：F

12、REEZE：第二步： PLOT ，依下图设置绘图参数。第三步：按 PROGRAM，选取程序PROG02，按RUN运行它，可得到上述演示图。【例2.2】求的导数。HP38G的符号运算功能与数值计算、图形绘制功能相比较，应该说其功能相对较弱。一般仅能求某些简单函数的导函数，而且符号变量必须取且只能取S1、S2、S9、S0。HOME MATH Cos 选Calculus 选取¶ OK，在HOME窗口下，输入表达式 ¶S1(S15+5*S12-7*S1)按下Enter 键，可得到该函数的导数。按 ，选定屏幕上给出的导函数表达式，按SHOW，可得到导函数按数学表达式显示的形式。【例2

13、.3】求的导数。第一步：对含有指数函数、三角函数的初等函数求其导函数，要得到准确的表达式，必须给出正确的数值模式。按 Modes ，进入HOME MODES窗口，将角度(ANGLE MEASRURE)设置为弧度(Radians)，将数值格式(NUMBER FORMAT)设置为分数(Fraction 4)，可参照下图进行设置。第二步：在HOME窗口下，输入求导表达式。HOME MATH Cos 选Calculus 选取¶ OK，在HOME窗口下，输入表达式 ¶S1(LN(TAN(S1/2)第三步：求其导函数。按下Enter 键，可得到该函数的导数。按 ，选定屏幕上给出的导函数

14、表达式，按SHOW，可获得导函数的数学表达式形式。【思考题2.1】将HOME MODES中的角度模式设置为DEGREE时，利用图形计算器求函数的导数，在屏幕上会出现的一些小数，说明这是为什么？。利用复合函数的求导法，求函数的导数，利用此结果，从理论上解释在图形计算器上出现的现象。【思考题2.2】求方程根的近似值，有所谓的牛顿切线法。该方法大意可以通过下述图示来加以说明。在根附近任取初始值，作曲线在点处切线，其切线方程为若令，可得该切线与轴交点。类似地，再作曲线在点处切线，其切线方程为若令，可得该切线与轴交点。从图中可观察到，点、逐渐逼近方程的根。对上述方法加以总结，可获得一种求方程根的数值计算

15、方法，其一般迭代公式为如果求方程的正实根，其迭代公式为。【例2.4】求方程在附近的其它正根。这里函数为，其导函数为HOME 2.5 STO AZ X ENTERAZ X ( 3 AZ X AZ X 3 ) ( ( LN 3 ) * 3 AZ X 3 AZ X ) STO AZ X ENTER连续按ENTER键，可求得方程在附近的近似根为。【例2.5】求的正根。这里导函数为，若取迭代初值。HOME 2 STO AZ X ENTERAZ X ( AZ X 4 10 AZ X 8 ) / ( 4 AZ X 3 20 AZ X ) STO AZ X ENTER继续按ENTER键，由于近似值介于2和2之

16、间振动，故牛顿迭代法失效。但若再取迭代初值，做如下操作：HOME 3 STO AZ X ENTER用键，将光标上移到迭代公式X(X410X28)(4X3-20X) X处，按下COPY 键，然后按ENTER键，直至获得近似根：3.2778899686。这个例子表明：牛顿迭代法对初始值的选取是很敏感的。【思考题2.3】设，采用牛顿迭代法求它的根，若初始值分别取，会有何差异？牛顿切线法的算法1、初始化 选定初始近似值，近似根的精度，允许的最大迭代次数，迭代次数计数变量；2、迭代 计算，如果，输入该方法失败信息；否则，按公式 迭代一次得新的近似值，；3、控制 如果(为预先给定的精度)，则迭代过程收敛，

17、终止迭代，并取为所求根的近似值，否则，返回2再继续迭代。如果迭代次数，仍达不到精度要求，则认为方法失败。牛顿切线法程序框图【思考题2.4】编写利用牛顿法求方程正实数根的程序，假设取，。根据上面的程序流程图，我们可编写如下程序PROG03'X3-3' F1(X)：'3*X' F2(X)：CHECK 1：CHECK 2：10(-6) E：20 N：0 K：2 X：DO IF F2(X)=0 THEN MSGBOX "DERIVATIVE IS ZERO"： STOP： END： X-F1(X)/F2(X) Y： K+1 K： IF ABS(Y-X

18、)<E THEN MSGBOX "ROOT= "Y： STOP： END： IF K>N THEN MSGBOX "EXCEED LIMIT "N： STOP： END： Y X：UNTIL TRUE END：【思考题2.5】当充分小时，利用函数微分，我们可获得以下几个常用的工程近似函数公式，试利用图形计算器画出上述函数的图象，并说明在充分小的条件下，工程函数确实较好地近似了原来的超越函数，具有一定的实用价值。第三章 中值定理与导数的应用泰勒中值定理应用【例3.1】应用图形计算器，验证罗尔定理对函数在区间上的正确性。HOME LIB 选Fun

19、ction，然后输入函数与导函数F1(X)=LN(SIN(X)，F2(X)=COS(X)SIN(X) 。 PLOT ，依下图对绘图参数进行设置，然后按 PLOT ，可得到如下图象。的图象是位于X轴下方的那条曲线，而它的导函数的图象单调下降且过X轴，这表明，在内存在唯一点，使。在图形窗口中，按 MENU，FCN，选Root ，我们可得到。还可以用以下方法验证罗尔定理的正确性。HOME LIB 选Solve，输入方程E1：COS(X)SIN(X)=0。然后按下 NUM ,进入方程的数值求解窗口，键入求近似解的初值X=1，然后按 Solve键，也同样可获得的结果。【思考题3.1】对于函数，在上验证柯

20、西中值定理的正确性。【例3.2】给出的五阶麦克劳林展开式。HOME MODES 设置角度为弧度(Radians)，数值格式为分数(Fraction 4)。HOME MATH COS 选TAYLOR OK Tan AZ X ) , AZ X , 5 ) ENTER查看函数的一阶台劳展开式： SHOW OK【例3.3】设，给出它一至四阶的麦克劳林展式并作出图象，并将麦克劳林展式的图象与原来函数的图象作比较。HOME LIB Function START选F1(X) EDIT ex X + 1 OK选F2(X) EDIT MATH COS 选TAYLOR OK AZ F 1 ( X ) , X ,

21、1 ) OK查看函数的一阶麦克劳林展开式： EVAL SHOW OK重复上述过程，对n=2，3，4分别用函数F3(X)，F4(X)，F5(X)来存储。如，二阶麦克劳林展式为：选F3(X) EDIT MATH COS 选TAYLOR OK AZ F 1 ( X ) , X , 2 ) OK下面我们来比较F1(X)，F2(X)；F1(X)，F3(X)；F1(X)，F5(X)的图象。先设置作图参数为XRANG 5 5YRANG 5 10作F1(X)与F2(X)图形：HOME LIB Function START 选F1(X)，F2(X)打上,然后按PLOT。依次对其它各组打，并画图，可得到如下图形。

22、将所有多项式打，按NUM 键，用 来观察函数值与各阶麦克劳林展开式的值。【例3.4】利用麦克劳林展开式，我们得到无理数的近似计算公式 ，其误差。试利用展开式，给出计算近似值的程序。要求：1、截取的求和项数用用户输入；2、在屏幕上输出的近似值与误差界。在编程环境下，键入文件名PROG04，按OK，可直接进入程序编辑环境，输入以下程序代码。INPUT N；" Euler Number Input Windows"；N="；"INPUT NUM N"；10；1 S：FOR I=1 TO N STEP 1； 1 T： FOR J=1 TO I STEP

23、 1； T*J T： END： S+1T S：END：T*(N+1) T：3T E：ERASE：DISP 4; "EULER NUM E= "S：DISP 6;"ERROR = "E：FREEZE：【思考题3.2】已知泰勒展开式"而且。利用上式，求近似值，要求误差小于等于。参考解答：这是一个级数求和问题，其基本方法是依次计算每一项，并将该项与前面各项之和累加，如果某项绝对值小于106，则求和过程结束，否则重复上述过程。一般项（第n项）为，而且第n项与第n-1项仅相差一个比例因子，因此，级数中各项的计算可采用以下迭代公式来计算：算法：1、输入并将

24、它转换为弧度值，设定允许误差。2、求和变量置初值0，存放级数中一般项的变量置初值，项数置初值1。3、求和：3-1、将加到中去。3-2、项数增加1。3-3、计算下一个。3-4、测试，若则转3-1(循环)，否则转4(结束循环)。4、输出。参考程序(PROG05)：INPUT;"Calculate""Input Angle""Enter Angle Value"18:*3.14159/180 X:0.0000001 E:0 S:1 N:X A:DOA+S S:N+1 N:A*(-1)*X*X/(2*N-2)*(2*N-1) A:UNTIL

25、ABS(A)<E END:ERASE:DISP 4;"SIN("")="S:FREEZE:【思考题3.3】给出计算近似值的程序，其中，角度和允许误差由用户在程序运行过程中自行给定。【例3.5】设，从的图形可以回答关于的如下问题。1、在哪个区间单增，哪个区间单减？2、是否有极值点？它们是什么？3、这些极值点中哪些是极大？哪些是极小？ 4、在哪个区间上凸？下凹？5、是否存在拐点？LIB 选Function STARTF1(X)：5 X XY 4 16 X XY 3 3 X X2 + 32 X 12OKPLOT设置作图参数如下：XRANG 2 3YRAN

26、G 40 30PLOT作图，可得函数图象。用箭头键移动鼠标到曲线与X轴相交之处的附近，按MENU FCN 选 Root OK，可得到导函数的第一个零点，类似地可以找到其它零点：从上述数据我们可以得出关于的以下结论：1、在区间上，函数单增；在区间上函数单减。2、由得4个可能的极值点。因为在的左边，而在的右边，所以处取得极大；类似地可判断出，也是极大值点，而是极小值点。用箭头键移动鼠标到曲线取得极值的点的附近，按MENU FCN 选Extremum OK，可得的三个极值点，即的三个根：从上述数据我们又可以得出关于的一些其他结论：3、观察的图形，在区间，在这些区间上是下凸的。4、而在处，曲线出现了拐

27、点。【例3.6】设LIB Function STARTF1(X)：3 ( ABS X ) 3 ) OKF2(X)：MATH COS OK X ( AZ F 1 ( X ) ) OKPLOT 设置作图参数：XRANG 4 4YRANG 3 3去掉F1(X)前面的，按下PLOT，可得到导函数的图象。根据图象，我们可对函数的性态进行如下分析：1) 在区间递减，在区间递增；2) 有三个点不存在；3) 不改变符号，所以这两个临界点不是极值点，而是极小的值点；4) 从的图形知，在区间下凸，在区间上凸；5) 是拐点，不是拐点。【思考题3.4】已知是上的连续函数，且问：据此导函数，能对原来函数的性态下何结论？

28、提示：的操作为：在LIB 选Function的状态下，3 X OK的操作为：在LIB 选Function的状态下，( 3 ( 6 X ) ) 2 OK作图参数为：XRANG 6 10YRANG 5 5你可否画出的草图。【思考题3.5】对于给定的函数，研究该函数的性态1、给出函数的单调区间；2、给出函数的极值（或最值）；3、给出函数的凹凸区间以及拐点；4、讨论函数图象的渐近线(注意求斜渐近线)；5、借助图形计算器，绘制出最能反映该函数特征的图象。【思考题3.6】用图形计算器观察方程解的个数，并用分析方法证明你所观察到的结果。第四章 不定积分与定积分简单不定积分的求法HP38G上没有专门的求不定积

29、分功能，可以用求变上限积分函数来替代。但必须注意的是，变上限的变量只能设置为字符S1，S2，S3，S4，S5，象S，S6，S10以及其它英文字母均不可以，而积分变量可选用任意英文字母。【例4.1】求首先，设置模式MODES设置为弧度：MODES 选ANGLE MEASURE CHOOSE 选RADIANS，然后按OK其次，在主窗口中，输入变上限积分表达式：HOME MATH COS 选 OK 0 , AZ S 1 , AZ T , AZ T ) ENTER最后，在屏幕上选定所输出的计算结果，按SHOW，将它显示成数学表达式的形式。【思考题4.1】利用HP38G求不定积分。定积分的求法对于一些简

30、单的函数，HP38G可以可以直接求其定积分的值。【例4.2】求的精确值。为了得到准确值，需将模式设置成“分数”的数字格式。步骤如下：MODES 选NUMBER FORMAT CHOOSE Fraction OKHOME MATH COS 选 OK 1 , 4 , AZ X , AZ X ) Enter【例4.3】计算，其结果用十进制小数表示。首先将模式设置成“标准”的数字格式，即十进制小数的形式。MODES 选NUMBER FORMAT CHOOSE Standard OKHOME MATH COS 选 OK 0 , 2 , AZ ( 1 + AZ X XY 3 ) , AZ X ) Ente

31、r【思考题4.2】利用HP38G，求定积分、的近似值。广义积分利用HP38G的定积分数值计算功能，可以通过数值实验的方法，判断广义积分的敛散性。【例4.4】通过数值实验的方法，判定广义积分的敛散性。首先将进行函数值计算的数系设置成为用户自定义型，操作步骤如下： NUM NUMTYPE CHOOSE Build Your Own 然后在函数库中定义变上限的积分函数： HOME LIB Function STARTF1(X)：MATH COS 选 OK 1 , AZ X , AZ A XY ( X 0 . 5 ) , AZ A ) OK最后对变上限函数作数值计算：按下NUM，逐个输入X=10，10

32、0，1000，经过一段时间的计算，HP38G会给出其计算结果。从结果中不难发现，随着积分上限X的增大，其定积分的值也在增大，因此，我们可以猜测该广义积分发散。进一步的数值计算，可以更清楚地看出这个猜测的正确性。【思考题4.3】利用HP38G，判定概率积分的收敛性，给出其近似值。定积分的数值计算方法【例4.5】定积分的黎曼定义是一个构造性的定义，它本身就提供了一种计算定积分的数值方法。如果我们取等距节点以及特殊的(每个小区间的左端点)，如就可得到如下定积分计算的近似公式通过数值实验证明：如果在上连续，则。可以取为一些简单初等函数来进行试验，如，。解决这一问题，可分以下三步来进行。第一步：在LIB

33、中建立被积函数，考虑到被积函数有可能出现三角函数，将Modes设置为弧度Radians，操作步骤如下：HOME LIB Function STARTF1(X)：AZ X XY ，按下OKMODES 选ANGLE MEASURE CHOOSE 选RADIANS，然后按OK第二步：在PROGRAM里，编写对于给定的区间等分数N，定积分近似值的计算程序PROG06。INPUT A；"NUMINT"；"LOWER"；"ENTER LOWER LIMIT"；0：INPUT B；"NUMINT"；"UPPER&quo

34、t;；"ENTER UPPER LIMIT"；1：INPUT N；"NUMINT"；"N="；"ENTER DIVIDING NUM"；10：ERASE：(B-A)/N H：A X：0 L：1 I：WHILE IN REPEATL+H*F1(X) L：X+H X：I+1 I：END：DISP 4；" N= "N " , L = "L：FREEZE：第三步：为了观察不同的区间等分数N，其近似值的变化趋势，对上述程序作一些改进(主要是增加了一些显示格式的控制)。INPUT A；&

35、quot;NUMINT"；"LOWER"；"ENTER LOWER LIMIT"；0：INPUT B；"NUMINT"；"UPPER"；"ENTER UPPER LIMIT"；1：INPUT N；"NUMINT"；"N="；"ENTER DIVIDING NUM"；10：ERASE：FOR J=1 TO N STEP 1；(B-A)/J H：A X：0 L：1 I：WHILE IJ REPEATL+H*F1(X) L：X+H

36、X：I+1 I：END：IF INT(J/7)= =J/7 THENDISP 7；" N= "J " , L = "L：FREEZE：ERASE：ELSEDISP J-7*INT(J/7)；" N= "J " , L = "L：END：END：FREEZE：【思考题4.4】如果取节点，为每个小区间的右端点，定积分的近似计算公式为借鉴上述程序，编写计算的程序。【例4.6】对于上述定积分近似计算方法，通过分析其几何意义，我们可以对它加以改进，给出定积分近似计算的另一个更为有效方法 梯形法。近似求积公式，在几何上表示，将

37、曲线，以及轴所围成的曲边梯形，划分成个小曲边梯形，对于每一个小的曲边梯形面积，用矩形面积来近似。如果我们将每一个小的曲边梯形面积，用梯形面积来近似，从几何上很容易看出，其近似的效果有了较大的改进。这就是所谓的梯形求积法的思想。一、梯形求积公式第个小区间所对应的梯形的面积为 ，整个曲边梯形面积的近似值为对上述公式编程，便可以进行定积分近似计算，但这一算法从计算数学的角度来看，存在一些缺陷。下面，我们对方法作改进，给出更实用的算法。二、梯形法的递推化若将区间等分，用梯形法求得的近似值可记为，原来作等分时的第个小区间，被分成了两个小区间，若记该区间的中点为，则，所对应的梯形面积为则 于是，我们得到了

38、与之间的递推式其中，为等分时小区间长度，而。三、梯形求积法的算法1、输入以及所求近似值的允许误差。2、赋初值，。3、递推化的梯形求积3-1、3-2、3-3、若，则转3-2，否则做3-4。3-4、3-5、若，则，输出，终止计算；否则做3-6。3-6、，转3-1。说明：在利用上述算法进行HP38G编程时，首先应在LIB函数库中为被积函数建立表达式。【思考题4.5】利用梯形法求的近似值，要求误差不超过10-6。第五章 定积分应用曲线所围图形的面积【例5.1】求曲线所围成的图形之面积。利用图形计算器解此题可分如下三步：第一步：LIB Function START 定义函数；第二步：PLOT 作两个函数

39、的图象，观察图形所围面积的范围，并求出两曲线交点坐标为 (0.35, 2.88) 和(1.53, 0.65)，从而得到了定积分的上下限；第三步：HOME MATH Cos 选Calculus 选取ò OK，然后输入表达式 ，按下ENTER键。最后，得到两曲线所围面积约为0.89。弧长与表面积弧长与表面积的计算公式分别是，【例5.2】求曲线的弧长。弧长计算公式为 在 HOME 窗口，输入，按下ENTER键，可得出计算结果为1.91。【例5.3】求曲线所围图形绕X轴旋转一周所得旋转体的表面积。旋转体的表面积计算公式为 在HOME 窗口，输入，按下ENTER键，可得到结果7.21。极坐标表

40、示的曲线【例5.4】作所表示的极坐标图象。HOME LIB 选Polar START,输入极坐标函数R1()= 1 0 （ 3 + 2 * Cos ） ） OK按PLOT，设置如下作图参数后，再按 PLOT，可作出图象。【例5.5】作玫瑰线,问：它有多少瓣？需要转多少次图形才会重复？设需转n次，则，易得，于是。HOME LIB 选Polar START,输入极坐标函数R1()=Cos 8 * ） OK按PLOT，设置如下作图参数后，再按 PLOT，可作出图象。【例5.6】对于给定的极坐标曲线 ，完成下列工作1、作出其图象；2、求图象上一点，使曲线在该点具有水平切线；3、求位于圆内、心脏线外的那

41、块面积；参考解法：HOME LIB 选Polar START,输入R1()= 1 + Cos ） OK按PLOT，设置如下作图参数后，再按 PLOT，可作出图象。曲线的参数方程为 切线斜率为 ，若令，解方程求出。HOME LIB 选Solve START,输入方程E1:,按 NUM 可得到方程的近似解。另一种寻找切线为零的点的方法：作出心脏线图象，通过MENU TRACE MENU (X,Y)，按光标移动键 ，直到字光标移到切线位置。这时显示：，另一个点是：。所求图象面积为 ，为了确定定积分的上下限，先作出两极坐标曲线的图象，通过MENU TRACE，按光标移动键 ，将字光标移到交点位置，可得

42、到：。在HOME 窗口，输入，按下ENTER键，可得到结果约为3.14。【例5.7】设一曲线的直角坐标方程为1、给出该曲线的极坐标方程；2、利用图形计算器，作出该曲线的图象；3、借助图象，利用定积分计算该曲线所围图形面积的精确值.令,代入直角坐标方程可得设置如下作图参数,可绘制其极坐标图象据图形的对称性，可给出面积的计算公式【思考题5.1】在计算曲线及所围成图形的公共部分的面积时，参考它们的图象来帮助你配置定积分的上下限，并求其精确值。【例5.8】作图象，并求曲线弧长。输入极坐标函数，选择以下作图参数作图。曲线的弧长公式为在HOME 窗口，输入，按下ENTER键，可得到结果约为8.52。参数方

43、程表示的曲线【例5.9】曲线的参数方程为1、作出曲线的图象；2、求其弧长；3、求曲线上半部绕X轴旋转得到的旋转体体积。参考解法：HOME LIB 选Parametric START,输入X1(T)：2 * COS T ) OKY1(T)：SIN T ) OK按PLOT，设置如下作图参数后，再按 PLOT，可作出图象。曲线的弧长的公式为 在HOME 窗口，输入，按下ENTER键，可得结果约为9.69。旋转体的体积公式为 在HOME 窗口，输入，按下ENTER键，可得结果约为8.38。【思考题5.2】求渐伸线与直线所围区域的面积。第六章 向量运算与空间解析几何向量的输入HP38G中向量的输入有三种

44、方式。在主窗口直接按格式输入；在主窗口按格式输入后，将它赋值给向量变量M0，M1，M9；在矩阵(向量)编辑器中直接输入。【例6.1】输入向量1，2，3。Home 1 , 2 , 3 Enter【例6.2】输入向量1，2，3并将它存储到变量M1中。Home 1 , 2 , 3 STO AZ M 1 Enter按 MATRIX，打开矩阵(向量)编辑器，移动鼠标，使M1栏变亮，按EDIT，可以查看向量M1。【例6.3】利用矩阵(向量)编辑器输入向量2，3，4，将它存储在变量M2中。按 MATRIX，打开矩阵(向量)编辑器，移动鼠标，使M2栏变亮，按NEW，选Real Vector，按OK，然后输入向

45、量1，2，3。向量的运算【例6.4】求1, 2 ,3 + 2, 3, 4和1, 2 ,3 2, 3, 4。Home 1 , 2 , 3 + 2 , 3 , 4 EnterHome 1 , 2 , 3 2 , 3 , 4 Enter如果事先将向量存入变量M1和M2，也可如下操作：Home AZ M 1 + AZ M 2 EnterHome AZ M 1 AZ M 2 Enter【例6.5】求向量1，2，3与2，3，4的数量积。Math 9 选DOT OK 1 , 2 , 3 , 2 , 3 , 4 ) Enter如果事先将向量存入变量M1和M2，也可如下操作：Math 9 选DOT OK AZ M 1 , AZ M 2 ) Enter【例6.6】求向量1，2，3与2，3，4的向量积。Math 9 选CROSS OK 1 , 0 , 1 , 0 , 1 , 2 ) Enter如果事先将向量存入变量M1和M2，也可如下操作：Math 9 选CROSS OK AZ M 1 , AZ M 2 ) Enter【例6.7】求点M(4，3，10)关于直线的对称点的坐标。解题思路：过点M作垂直于直线的平面，而平面和直线的交点可以求解以下线性方程组该交点其实是点M