高等数学(考前要点复习_下)

1、第五章 定积分的概念教学目的与要求：1 解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿莱布尼茨公式。2 解广义积分的概念并会计算广义积分。3掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。5.1定积分概念一 定积分的定义不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分定义 设函数f(x)在a,b上有界，在a,b中任意插入若干个分点，把区间a,b分成n个小区间，记在上任意取一点，作和式：如果无论a,b作怎样分割，也无论在怎样选取，只要有I （I为一个确定的常数），则称极

2、限I是f(x)在a,b上的定积分，简称积分，记做即I=其中f(x)为被积函数，f(x)dx为积分表达式，a为积分下限，b为积分上限，x称为积分变量，a,b称为积分区间。注1 定积分还可以用语言定义2由此定义，以上二例的结果可以表示为A=和S=3有定义知道表示一个具体的书，与函数f(x)以及区间a,b有关，而与积分变量x无关，即=4定义中的不能用代替5如果存在，则它就是f(x)在a,b上的定积分，那么f(x)必须在a,b上满足什么条件f(x)在a,b上才可积分呢？经典反例：在0，1上不可积。可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。以下给出两个充分条件。定理1 设f(x)在区间a,

3、b上连续，则f(x)在a,b上可积。定理2 设f(x)在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在a,b上可积。定理3 设f(x)在区间a,b上单调，则f(x)在a,b上可积。6几何意义当f(x)0时，表示曲边梯形的面积；当f(x) 0时，表示曲边梯形的面积的负值；一般地，若f(x)在a,b上有正有负，则表示曲边梯形面积的代数和。例1计算解：显然f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上可积，现将0，1分成n个等分，分点为，取作和式：所以：=e-17按照定义52定积分的性质积分中值定理有定积分的定义知，是当a<b时才有意义，而当a=b与a>b时无意义，但为了计算及应用的方

4、便，特作两个规定：1 a=b时，=02 a>b时，=- 性质1：和差的定积分等于它的定积分的和差，即 性质2：常数因子可以外提（可以推广到n个）性质3：无论a,b,c的位置如何，有性质4：f(x)则性质5：若f(x)g(x)则性质6：性质7：设在，则性质8：（积分中值定理）若f(x)在a,b上连续，则a,b上至少存一点，使下式成立，例1利用定积分几何意义，求定积分值 上式表示介于, , , 之间面积例2、（估计积分值） 证明 证：在 上最大值为，最小值为2 53定积分的计算方法一 变上限积分函数的导数设函数f(x)在a,b上连续，x为a,b上任一点，显然，f(x)在a,b上连续，从而可积

5、，定积分为由于积分变量与积分上限相同，为防止混淆，修改为（）称是变上限积分的函数。定理1：设f(x)在a,b上连续，则在a,b上可导，且导数为证明省略定理2：如果函数f(x)在a,b上连续，则积分上限的函数是f(x)在a,b上的一个原函数。注意：1定理说明了连续函数的原函数一定存在2此定理指出了定积分与原函数的关系二、基本定理 牛顿莱伯尼兹公式定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原函数，则。 (1)证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数，即 。 (2)在上式中令x =

6、a，得。又由F (x)的定义式及上节定积分的补充规定知F (a) = 0，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的F (x)，可得，在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1) 。由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。为方便起见，以后把F(b) F(a)记成。公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。例1计算定积分。解。例2计算。解。例3计算。解。例4计算正弦曲线y = sinx在0,p 上与x轴所围成的平面图形的面积。解。例5求解易知这是一个型的未定式，

7、我们利用洛必达法则来计算。因此。例6、 54定积分的换元法定理：设（1）f(x)在a,b上连续，（2）函数在上严格单调，且有连续导数，（3）时， 且则有换元公式：.(1)注1 用换元法时，当用将积分变量x换成t求出原函数后，t不用回代，只要积分上下限作相应的变化即可。2 必须严格单调3 可以大于4 从左往右看，是不定积分的第二换元法；从右往左看，可以认为是第一换元法。 例1、法一 设法二设原式例2设在上连续，且,证明：若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数。证： 例3 奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质(1) 在-a,a连续，当为偶数，则当为奇函数，则(2) ，以T为周期说明在任何

8、长度为T的区间上的积分值是相等的。例4、原式 例5、例6、设为连续函数，且 求解： 设则两边积分 5.5定积分的分部积分法定理：若u(x),v(x)在a,b上有连续导数，则证明：因为，则有，两边取定积分。有也可以写成：例1解：例2解：=例3、设，求解： 例4 设在连续，可导，且，证明在内，有证： 在单调减，故56定积分的近似计算57广义积分一 无穷限的广义积分定义1设函数f(x)在区间a , +¥ )上连续，取b>a，若极限存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间a , +¥ )上的广义积分，记作，即。 (1)这时也称广义积分收敛；若上述极限不存在，称为广义积分发散。

9、类似地，若极限存在，则称广义积分收敛。设函数f(x)在区间(-¥ ,+¥ )上连续，如果广义积分和都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-¥ , +¥ )上的广义积分，记作，也称广义积分收敛；否则就称广义积分发散。上述广义积分统称为无穷限的广义积分。例1：计算广义积分解：=例2计算广义积分以及解： 显然发散同理也发散例3：证明广义积分(a>0)当p>1时收敛，当p£ 1时发散。证当p = 1时，,当p¹ 1时，因此，当p > 1时，这广义积分收敛，其值为；当p£ 1时，这广义积分发散。二无

10、界函数的广义积分现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。定义2设函数f(x)在(a,b上连续，而在点a的右领域内无界，取，如果极限 存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b上的广义积分，仍然记作，这时也称广义积分收敛。类似地，设函数f(x)在a,b上除点c(a<c<b)外连续，而在点c的领域内无界，如果两个广义积分与都收敛，则定义；(2)否则，就称广义积分发散。例1证明广义积分当q < 1时收敛，当q ³ 1时发散。证当q = 1时，当q ¹ 1时，因此，当q < 1时，这广义积分收敛，其值为；当q ³ 1时，这广义积分发散。例2计

11、算广义积分解：例3：广义积分可以相互转化第六章 定积分应用6.1定积分的微小元素法(详请见合肥工业大学编写的高等数学上册267页)62平面图形的面积一直角坐标的情形定理1：由两条连续曲线, 以及直线x=a,x=b所围平面图形的面积为：证明：有微小元素法：,则注意：1 从几何意义容易看出2 若无这一条件，则面积3 同理，曲线与y=c,y=d所围区域的面积为，其中例1：求抛物线及其点和处的切线所围成图形的面积解：在点处，切线方程 在点处，切线方程 得交点 定理2：若平面曲线由参数方程给出，且在连续，则曲线与x=a,x=b 以及x轴所围的曲边梯形的面积为：例1 求摆线x=a(t-sint),y=a(

12、1-cost) (a>0)的一拱与x轴所为的面积解：二极坐标的情形定理3：设曲线且 在上连续，非负则有曲线与射线所围区域（称为曲边扇形）的面积为：证明：又微小元素法上的面积微元是：，所以 例1、 求双纽线所围的平面图形的面积。解：又由图形的对称性以及公式有：例2、求由曲线所围图形公共部分的面积解：两曲线的交点+ 63体积一 平行截面面积为已知的立体体积定理一：设V是位于a,b间的一空间立体，A(x)（）是截面积的函数，且在a,b上连续，则立体V的体积为证明：在x,x+dx上的体积微元是dV=A(x)dx,则体积为：例1：求由圆柱面所围立体的体积解：由于对称性，我们只要求第一卦限立体体积，

13、过x点（）且垂直于x轴的平面与该立体的截面为边长为的正方形，则二 旋转体的体积旋转体是一种特殊的空间立体，它是一条平面图形饶平面一直线l旋转一周所得，特别地，直线为x轴，一般地，设旋转体由曲线y=f(x),x=a,x=b,以及x轴所围的曲边梯形饶x轴旋转一周所得的一个立体，用垂直于x轴的平面去截立体得到截面面积为A(x)=,则旋转体的体积为：例1例3、过点作抛物线的切线，求该切线与抛物线及轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积解：设切点为切线方程Q 切点在切线上，（3,1）0 1 2 3 ， 切线方程：64平面曲线的弧唱一直角坐标系定理1：设y=f(x)在a,b上连续，且有一阶连续导数，则 y=f(x) 在a,b上的弧长为这由弧微分很容易推导出来。例1曲线相应于的一段解：1. 二参数方程的情形 当曲线以参数方程 给出时要求t由时的曲线弧长。由弧微分容易知道：例1摆线 的一拱 3. 三极坐标的情形定理3：若曲线的极坐标方程为,那么相应于的一段弧长为：例1：心形线的全长 ，=8a=8a(3) 65功，压力例子1.一锥形水池,池口直径20m,深15m,池中盛满瞒水,求将全部池水抽到池口外所