第一章数值计算引论ppt课件

1、数值计算方法数值计算方法本课程的性质、目的和义务：本课程的性质、目的和义务： 本课程是电气工程及其自动化专业本课程是电气工程及其自动化专业一门专业根底课。其目的是经过本课程的学一门专业根底课。其目的是经过本课程的学习，使学生掌握利用计算机计算各种数学模习，使学生掌握利用计算机计算各种数学模型的数值计算方法，并经过数值上机实验提型的数值计算方法，并经过数值上机实验提高学生程序设计的根本技艺。为进一步学习高学生程序设计的根本技艺。为进一步学习专业课和毕业后从事专业任务打下必要的根专业课和毕业后从事专业任务打下必要的根底。底。课时安排：课时安排： 讲课：讲课：2424学时学时 上机：上机：8 8学时

2、学时 第一章第一章 数值计算引论数值计算引论主要内容：主要内容： 数值计算方法的概念、研讨对象及特点数值计算方法的概念、研讨对象及特点 数值计算中的误差；数值计算中的误差； 近似数的误差表示法；近似数的误差表示法； 运算误差分析；运算误差分析； 减小运算误差的原那么；减小运算误差的原那么；数值计算方法研讨的对象数值计算方法研讨的对象 随着计算机技术的开展和科学研讨、消费实际的需随着计算机技术的开展和科学研讨、消费实际的需求，利用计算机作为科学计算的主要工具越来越不可短求，利用计算机作为科学计算的主要工具越来越不可短少，因此要求研讨适宜计算机运用的数值计算方法。为少，因此要求研讨适宜计算机运用的

3、数值计算方法。为了更详细地阐明数值计算方法的研讨对象，我们调查用了更详细地阐明数值计算方法的研讨对象，我们调查用计算机处文科学计算问题的普经过程。计算机处文科学计算问题的普经过程。 1.1 1.1 数值计算方法数值计算方法处文科学计算问题的过程处文科学计算问题的过程数值数值分析分析 计算机计算机近似解近似解实践问题实践问题数学模型数学模型.),(,)(,ln,xfdxddxxfbxAxaxbax计算机计算的特点：计算机计算的特点：运算速度快运算速度快 只能完成加、减、乘、除和一些逻辑运算只能完成加、减、乘、除和一些逻辑运算 计算机计算数学问题的步骤：计算机计算数学问题的步骤：数学问题数学问题四

4、那么运算四那么运算编程指令编程指令 数值计算方法，又称数值分析或计算方法数值计算方法，又称数值分析或计算方法, 它是它是研讨用计算机求解各种数学问题的数值方法及其实际研讨用计算机求解各种数学问题的数值方法及其实际的一门学科，是程序设计和对数值结果进展分析的根的一门学科，是程序设计和对数值结果进展分析的根据和根底。据和根底。 根据计算机的特点，必需把对数学问题的解法归根据计算机的特点，必需把对数学问题的解法归结为结为及逻辑运算，并对运算顺序有完好、准及逻辑运算，并对运算顺序有完好、准确的描画的算法。确的描画的算法。 数值计算方法定义：数值计算方法定义：处理的数学问题处理的数学问题 计算方法课是研

5、讨各种数值算法及其有关计算方法课是研讨各种数值算法及其有关实际的一门课程。从工程实践出发，本课程所实际的一门课程。从工程实践出发，本课程所要处理的数学问题主要是：要处理的数学问题主要是： 非线性方程的数值求解非线性方程的数值求解 线性方程组的数值求解线性方程组的数值求解 插值和曲线拟合插值和曲线拟合 数值积分和微分数值积分和微分 常微分方程的数值求解。常微分方程的数值求解。 数值算法特点：数值算法特点： 1面向计算机 根据计算机特点提供实践可行的有效算法，即算法只能包括加，减，乘，除运算和逻辑运算，是计算机能直接处置的； 2保证算法的收敛性和稳定性 数值算法的数值解能恣意逼近准确解到要求的程度

6、；还要保证算法的数值稳定性。例如，求解一个例如，求解一个20阶线性方程组，用加减消元法需阶线性方程组，用加减消元法需3000次乘法运算，而用克莱姆法那么要进展次乘法运算，而用克莱姆法那么要进展 次运算，如用每秒次运算，如用每秒1亿次乘法运算的计算机要亿次乘法运算的计算机要30万年。万年。209.7 10计算方法中常用的一些概念计算方法中常用的一些概念n数值问题：由一组知数据输入数据，求出一数值问题：由一组知数据输入数据，求出一组结果数据输出数据，使得这两组数据之间组结果数据输出数据，使得这两组数据之间满足预先制定的某种关系的问题。满足预先制定的某种关系的问题。 n数值解：经过计算机的计算求出的

7、解，或由数值数值解：经过计算机的计算求出的解，或由数值计算公式得出的解称为数值解。普通为近似值。计算公式得出的解称为数值解。普通为近似值。n算法：由给定的知量，经过有限次的四那么运算算法：由给定的知量，经过有限次的四那么运算及规定的运算顺序，求出所关怀的未知量的数值及规定的运算顺序，求出所关怀的未知量的数值解，这样所构成的整个计算步骤，称为算法。解，这样所构成的整个计算步骤，称为算法。 1.2 数值计算中误差的来源数值计算中误差的来源 从实践问题中笼统出数学模型从实践问题中笼统出数学模型 模型误差模型误差 经过丈量得到模型中参数的值经过丈量得到模型中参数的值 观测误差观测误差 求近似解求近似解

8、 方法误差方法误差 (截断误差截断误差 机器字长有限机器字长有限 舍入误差舍入误差dxex 102 近近似似计计算算: :例例大家一同猜？大家一同猜？ dxe2x1011 / e解法之一：将解法之一：将 作作Taylor展开后再积分展开后再积分2xe 91!4171!3151!21311)!4!3!21(10864210dxxxxxdxe2xS4R4,104 Sdxe2x取取那那么么 111!5191!414R称为截断误差称为截断误差005091!414.R 这这里里7430024010333014211013114.S = 0.747 1.3 误差与有效数字误差与有效数字|*e*100050

9、74302.dxex*xx ，例如：，例如：工程上常记为工程上常记为，称为绝对误差限，称为绝对误差限 ，简称误差、精度，简称误差、精度的上限记为的上限记为由于无法准确地知道绝对误差由于无法准确地知道绝对误差 的大小，但根据详细情的大小，但根据详细情况可估计出误差范围。况可估计出误差范围。误差限不独一，实践中常用四舍五入来取近似值。误差限不独一，实践中常用四舍五入来取近似值。例如丈量数据、四舍五入数据例如丈量数据、四舍五入数据四舍五入的误差限是末位的半个单位四舍五入的误差限是末位的半个单位 绝对误差绝对误差*xxxe）（其中其中x x为准确值，为准确值，x x* *为为x x的近似值。简记为的近

10、似值。简记为*e 有效数字有效数字用科学计数法，记用科学计数法，记 其中其中 。假。假设设 ，那么称，那么称 为有为有n n 位有效数字，准确位有效数字，准确到到 。mnaa.ax10021* 01 anm.xx 1050|*xnm 10有效数字即有效数字位数，它是由绝对误差决议的。有效数字即有效数字位数，它是由绝对误差决议的。等价定义：一个四舍五入的近似数，从左向右第一位非零等价定义：一个四舍五入的近似数，从左向右第一位非零数数 字到最后一位数字的个数就是有效数字位数。字到最后一位数字的个数就是有效数字位数。 定义：定义： 1415389793214159265353.*;.例：例：问：问：

11、 有几位有效数字？请证明他的结论。有几位有效数字？请证明他的结论。* 131 40 3141510*0 5100 510*.,| |. 证明：证明：有有 位有效数字，准确到小数点后第位有效数字，准确到小数点后第 位。位。43关于有效数字还要指出以下几点：关于有效数字还要指出以下几点：1)用四舍五入取准确值的前用四舍五入取准确值的前 n 位作为近似值，那么必有位作为近似值，那么必有 n位位有效数字。有效数字。2) 把任何数乘以把任何数乘以10p，等于挪动该数的小数点。这样不影响其，等于挪动该数的小数点。这样不影响其有效数字位数。有效数字位数。 例如：例如： 9.80 写成写成0.00980 10

12、-33数字末尾的数字末尾的0不可随意省去不可随意省去0.2300有有4位有效数字，而位有效数字，而00023只需只需2位有效。位有效。12300假设写假设写成成0.123105，那么表示只需，那么表示只需3位有效数字。位有效数字。准确值被以为具有无穷多位有效数字准确值被以为具有无穷多位有效数字 相对误差相对误差*r*e ()()|rrexxxx x 的相对误差上限的相对误差上限 定义为定义为:绝对误差还缺乏以刻划近似数的准确程度，例如，有两个量绝对误差还缺乏以刻划近似数的准确程度，例如，有两个量 yx, 110101000哪个近似程度哪个近似程度 好？好？*( *)rexxexxx 定义：定义

13、：实践运用：实践运用：*( *)rexxexxx 相对误差限在实践计算中常称为相对误差。相对误差限在实践计算中常称为相对误差。由相对误差限的定义可知，相对误差限可由绝对误差限求出。由相对误差限的定义可知，相对误差限可由绝对误差限求出。反之，绝对误差限也可由相对误差限求出，即。反之，绝对误差限也可由相对误差限求出，即。*rx 1.4 函数的误差估计函数的误差估计问题：对于问题：对于 y = f (x) y = f (x)，假设用，假设用 x x* * 取代取代 x x，将对，将对y y 产生什么产生什么影响？影响？ 设一元函数设一元函数 的自变量的自变量 的近似值为的近似值为 ， 的近似值为的近

14、似值为 ，其误差限记为，其误差限记为 。将。将 在在近似值近似值 作泰勒展开作泰勒展开 介于介于 ， 之间。取绝对值得之间。取绝对值得其中：其中： 为近似数为近似数 的绝对误差限。的绝对误差限。 xf*x fx *fx *fx fx*x 2*2ff xf xfxxxxx x*x 2*2ffxfxfx *xx分析：利用函数的泰勒展开式可分析这种误差。分析：利用函数的泰勒展开式可分析这种误差。1.4 函数的误差估计函数的误差估计注：关于多元函数注：关于多元函数 的讨论，请参阅教的讨论，请参阅教材第材第10页。页。).,(21nx,x,xfy 忽略忽略 高次项，可得到高次项，可得到 *rfxfxfx

15、 函数运算相对误差函数运算相对误差: *f xfx 函数运算绝对误差函数运算绝对误差:利用多元函数的误差估计公式可得和、差、积、商的利用多元函数的误差估计公式可得和、差、积、商的误差估计误差估计1.5 减小运算误差的假设干原那减小运算误差的假设干原那么么1. 防止相近二数相减防止相近二数相减 (详细分析请参阅教材详细分析请参阅教材P11)例：例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有，各有5位有效数字。位有效数字。 而而 a2 a1 = 0.00001，只剩下，只剩下1位有效数字。位有效数字。 几种阅历性防止方法：几种阅历性防止方法：;xxxx ;1lnlnln xxx当当

16、| x | 1 时：时：;2sin2cos12xx .6121112xxxexl公式变换公式变换l假设计算公式不能改动时，添加有效位数；假设计算公式不能改动时，添加有效位数；l 当当 很接近时，采用泰勒展开；很接近时，采用泰勒展开； *fxfx 1.5 减小运算误差的原那减小运算误差的原那么么2. 防止小分母防止小分母 : 分母小会呵斥浮点溢出分母小会呵斥浮点溢出3. 防止大数吃小数防止大数吃小数例：用单精度计算例：用单精度计算 的根。的根。010)110(992 xx准确解为准确解为110291 x,x 算法算法1 1：利用求根公式：利用求根公式aacbbx242 在计算机内，在计算机内，1

17、09存为存为0.11010，1存为存为0.1101。做加法。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即即1 的指数部分须变为的指数部分须变为1010，那么：，那么：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成为：，取单精度时就成为： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010大数吃小数大数吃小数024,102422921 aacbbxaacbbx算法算法2 2：先解出：先解出 再利用再利用9211024aacbbx11010991221 xacxacxx

18、例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1 + 2 + 3 + + 40 + 1094. 减少步骤，减少运算次数，防止误差积累。减少步骤，减少运算次数，防止误差积累。例例1：计算：计算x255的值的值 5. 选用数值稳定性好的算法。选用数值稳定性好的算法。1.5 减小运算误差的原那减小运算误差的原那么么数值稳定性定义：假设在执行算法的过程中舍入误差在一数值稳定性定义：假设在执行算法的过程中舍入误差在一定条件下可以得到控制结果是可靠的，那么该算法是定条件下可以得到控制结果是可靠的，那么该算法是数值稳定的，否那么就是数值不稳定的。数值稳定的，否那么就是数

19、值不稳定的。 在实践运算过程中，参与运算的各种数据普通都带有一定的误差，这些误差即使很小，也会随着计算过程的进展不断传播或积累下去，对结果产生一定的影响。 假设计算结果对初值误差不敏感，那么以为算法是数值稳定的。 算法数值稳定的一个必要条件是原始数据小的变化只会引起最后结果有小的变化。.210110,n,dxexeIxnn 例：计算例：计算11 nnInI 公式公式一：一：留意此公式准确成留意此公式准确成立立632120560111100.edxeeIx 记为记为*0I80001050 .IIE那么初始误差那么初始误差111111110010 nI)e(ndxexeIdxexennnn391414231519594249414122764807131632896000121030592000111088128000101.367879440111415*13*14*12*13*11*12*10*11*9*10*0*1.I