高等数学第五版第二24ppt课件

1、第四节第四节 隐函数及由参数方程所隐函数及由参数方程所确定的函数的导数确定的函数的导数 相关变化率相关变化率第二章第二章 导数与微分导数与微分隐函数的导数隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率相关变化率小结小结 思索题思索题 作业作业定义定义由二元方程由二元方程)(xfy 0),( yxF)(xfy 1. 隐函数的定义隐函数的定义)(xyy 所确定的函数所确定的函数0),( yxF一、隐函数的导数一、隐函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率称为称为隐函数隐函数(implicit funct

2、ion).的方式称为的方式称为显函数显函数.隐函数的隐函数的013 yx可确定显函数可确定显函数;13xy 例例),10(sin yxy开普勒方程开普勒方程开普勒开普勒(J.Kepler)1571-(J.Kepler)1571-16301630德国数学家德国数学家, ,天文学家天文学家. .xy关关于于的隐函数客观存在的隐函数客观存在, ,但无法将但无法将yx表达成表达成的显式的显式表达式表达式. .显化显化. .2. 隐函数求导法隐函数求导法隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率隐函数求导法那隐函数求导法那么么 用复合函数求导法那用复合

3、函数求导法那么么,并留意到其中并留意到其中将方程两边对将方程两边对x求导求导.变量变量y是是x的函数的函数.隐函数不易显化或不能显化隐函数不易显化或不能显化如何求导如何求导例例解解0 yxeexy设设想想把把.,00 xyxyyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程那么得恒等那么得恒等式式代入方程代入方程,)(xyy 所确定的函数所确定的函数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率0 yxeexy将此恒等式两边同时对将此恒等式两边同时对x求导求导,得得xxy)( xxe )( xye )( )0( 由于由于y是是

4、x的函数的函数, 是是x的复合函数的复合函数,所以所以ye求导时要用复合函数求导法求导时要用复合函数求导法,yyx xe ye y 0 xeyeyyx . 1 0, 0 yx0 y0 x0 y0 x 虽然隐函数没解出来虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来但它的导数求出来了了,当然结果中仍含有变量当然结果中仍含有变量y.允许在允许在 的表达式中含有变量的表达式中含有变量y.y y 普通来说普通来说,隐函数隐函数求导求导,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 求隐函数的导数时求隐函数的导数时,只需记住只需记住x是自变量是自变量,将方程两边同

5、时对将方程两边同时对x求导求导,就得到一个含有导数就得到一个含有导数从中解出即可从中解出即可.于是于是y的函数便是的函数便是x的复合函数的复合函数,的方程的方程.y是是x的函数的函数,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率例例解解, 0sin yxey设设.xy 求求法一法一利用隐函数求导法利用隐函数求导法.将方程两边对将方程两边对x求导求导,得得ycosxy ye 1yex xy 0 yyxxeyey cos解出解出,xy 得得法二法二 从原方程中解出从原方程中解出,x得得 yeyxsinyeysin 隐函数及由参数方程所确定的函数的导

6、数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率yeeyxyysinsin 先求先求x对对y的导数的导数,得得 yx)sin(cosyyey yeyysincos 再利用反函数求导法那么再利用反函数求导法那么,得得yxxy 1yyxeye coscossin)1(yeyeyy 例例.,23,23,333线通过原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对x23xxyxyy 22. 1 切线方程切线方程)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy, xy 即

7、即23y y3 yx 3y 法线方程法线方程隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率经过原点经过原点. 23,23 23,23例例.)1 , 0(, 144处处的的值值在在点点求求设设yyxyx 解解得得求导求导方程两边对方程两边对,x34xy 得得求导求导,x212x.161 34y y yx y 0 y y yx yyy 21234y y 0 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率)1 , 0(41 将上面方程两边再对将上面方程两边再对y )1 , 0(01010101414141

8、41.)1 , 0(, 144处处的的值值在在点点求求设设yyxyx 或解或解得得求导求导方程两边对方程两边对,x04433 yyyxyx解得解得xyxyy 3344得得求导求导两边再对两边再对将将,4433xxyxyy yy 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率)4(3xy )12(2xy )4(3xy ;41 )1 ,0(y )1 ,0(.161 23)4(xy )112(2 yy隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率利用隐函数求导法来证明曲线族的正交问题利用隐函数求导法来证明

9、曲线族的正交问题.假设两条曲线在它们的交点处的切线相互垂直假设两条曲线在它们的交点处的切线相互垂直,正交轨线正交轨线. .称这两条曲线是称这两条曲线是正交的正交的. .假设一个曲线族中的每条曲线与另一个曲线族假设一个曲线族中的每条曲线与另一个曲线族中的一切与它相交的曲线均正交中的一切与它相交的曲线均正交, 称这称这是正交的是正交的两个曲线族两个曲线族或互为或互为正交曲线族在很多物理景象中出现正交曲线族在很多物理景象中出现,例如例如,静电场中的电力线与等电位线正交静电场中的电力线与等电位线正交,热力学中的热力学中的等温线与热流线正交等温线与热流线正交, 等等等等.).()2, 2(2282222

10、正正交交处处垂垂直直相相交交在在点点与与曲曲线线试试证证曲曲线线yxyx 证证:8222求求导导得得两两边边关关于于对对xyx , 042 yyx )2,2(y:222求导得求导得两边关于两边关于再对再对xyx ,222yx )2, 2(y即证即证.隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率两条曲线在该点的两条曲线在该点的现只须证明现只须证明切线斜率互为负倒数切线斜率互为负倒数.21 . 2,)2, 2(是两曲线的交点是两曲线的交点易验证点易验证点隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率2

11、019年考研数学一年考研数学一, 3分分016)(2 xxyexyyy由由方方程程已已知知函函数数 )0(y则则解解ye确定确定,y yx 6y6 x2 0 yexyxy 662 y )6(yex )62(y )6(yey )62(yx 2)6(yex 00, 0 x00000 y000000000 y02 .)()2()(xvxu幂指函数幂指函数3. 对数求导法对数求导法作为隐函数求导法的一个简单运用作为隐函数求导法的一个简单运用, 引见引见(1) 许多因子相乘除、乘方、开方的函数许多因子相乘除、乘方、开方的函数.,)4(1)1(23xexxxy 如如对数求导法对数求导法,它可以利用对数性质

12、使某些函数的它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单求导变得更为简单.sinxxy 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 适用于适用于先在方程两边取对数先在方程两边取对数, -对数求导法对数求导法 然后利用隐函数的然后利用隐函数的求导法求出导数求导法求出导数.例例解解 yln求导得求导得上式两边对上式两边对 xy1.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设142)1(3111 xxxy 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率等式两边取对数得等式两边取对数得 142)1(3

13、111)4(1)1(23 xxxexxxyx)1ln( xx )1ln(31 x)4ln(2 x 隐函数隐函数)(xu)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 两边对两边对x求导得求导得)(xf :幂指函数幂指函数 )(xf)(xv)0)( xu隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率等式两边取对数得等式两边取对数得)()()(xuxuxv )(xf )(ln)(xuxv 例例解解.),0(sinyxxyx 求求设设xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对xxxxx

14、yy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率等式两边取对数得等式两边取对数得注注复合函数复合函数)0)()()( xuxuyxv改写成改写成)(ln)(xuxvey .),0(sinyxxyx 求求如上例如上例),0(sin xxyx将将那么那么xxxylnsin xx ln(cos )sinxx 只需将只需将,lnsinxxey 改改写写成成幂指函数也可以利用对数性质化为幂指函数也可以利用对数性质化为:再求导再求导,隐函数及由参数方程所确定的

15、函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率例例.,22yxyxxx 求求设设解解,21yyy ,21xxy ,22xxy ,lnln2112xxyxyx 两两边边取取对对数数得得对对求求导导得得两两边边对对xxxxxyy211ln2 ,ln2xxx .ln221xxxxyx 得得2lnln222xxxyyx 两边取对数得两边取对数得对对求求导导得得两两边边对对x xeyyxxln12lnln22 ,2lnln xxe )ln1(22ln2xxyxxx 得得.21yyy 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率有些显

16、函数用对数求导法很方便有些显函数用对数求导法很方便. .例如例如, ,)1,0,0( babaaxxbbaybax两边取对数两边取对数 yln两边对两边对x x求导求导 yybalnxa xbxabaaxxbbaybaxln baxln lnlnxbalnlnaxb 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率xb .,1. 12sinyxxyx 求求设设解答解答求求导导得得上上式式两两边边对对x)1ln(lnln2sinxxyx )1ln(lnsin2xxx 212sinlncosxxxxxxyy )12sinln(cos2xxxxxxyy

17、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率等式两边取对数等式两边取对数.,. 2yyxxy 求求设设解答解答,lnlnyxxy ,lnlnyyxyxyxy .lnln22xxxyyyxyy 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数 )()(tytx 若若参参数数方方程程如如 ,22tytx2xt 2ty42x xy21 t(parametric equation)参数方程参数方程隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参

18、数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 称此为由参数方程所确定的函数称此为由参数方程所确定的函数. .22 x 消参数困难或无法消参数消参数困难或无法消参数 如何求导如何求导.消去参数消去参数,间的函数关系间的函数关系与与确定确定xy,)(),(都可导都可导再设函数再设函数tytx xyddtydd )()(tt txtyxydddddd 即即,)()(中中在方程在方程 tytx 具有具有设函数设函数)(tx 所以所以,tyddxtdd 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率),(1xt 单调延续的反函数单调延续的反函数由复合函数

19、及反函数的求导法那么得由复合函数及反函数的求导法那么得txdd1 , 0)( t 且且 y)(1x 例例解解txtyxydddddd ttcos1sin taatacossin 2cos12sindd2 txy. 1 .方方程程处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin( ttayttax隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率,2时时当当 t 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即 )cos1()sin(tayttax),12( ax. ay 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所

20、确定的函数的导数 相关变化率相关变化率例例解解 ,21sin,cos,2000gttvytvxv 其运动方程为其运动方程为发射炮弹发射炮弹发射角发射角以初速度以初速度不计空气的阻力不计空气的阻力,0时时刻刻的的切切线线方方向向轨轨迹迹在在t;)1(0的的运运动动方方向向炮炮弹弹在在时时刻刻求求t.)2(0的速度大小的速度大小炮弹在时刻炮弹在时刻 t隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映.即即xyO0v 时辰的运动方向时辰的运动方向在在0)1(t xydd cossin00vgtv ,21sin,co

21、s200gttvytvx 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率.cossin000 vgtv tttvgttv)cos()21sin(020 xydd0tt 轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(0 0ddttxtxv 0ddttytyv00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv ,21sin,cos200gttvytvx cos0v 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率0)cos(

22、0tttv 0)21sin(20ttgttv xyO0v vxvyv设由方程设由方程 )10(1sin 222 yytttx确定函数确定函数, )(xyy 求求.ddxy方程组两边对方程组两边对t t 求导求导, ,得得故故 xydd)cos1)(1(ytt txdd t 2 ytcos12 22 tycos tydd 0 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率例例解解 txddtxddtyddtydd)1(2 t tydd 假设曲线由极坐标方假设曲线由极坐标方程程)( rr 给出给出, ,利用利用可化为极角可化为极角 参数方程参数方程,

23、 , 因此曲线因此曲线 y sin)( r cos)( r cos)(r 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 ddy ddx)( rr 切线的斜率为切线的斜率为 oAM r,cos)( rx sin)(ry sin)( r 例例.42sin处处的的法法线线方方程程在在求求曲曲线线 ar解解 将曲线的极坐标方程转换成将曲线的极坐标方程转换成 cos)( rx cos2sina sin)( ry sin2sina )( 为为参参数数 那么曲线的切线斜率那么曲线的切线斜率为为xydd cos2sinsin2cos2aa 1 所以法线斜率为所

24、以法线斜率为又切点为又切点为隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 4 4 ,224ax ay224 sin2sincos2cos2aa 故法线方程为故法线方程为axay2222 即即0 yx, 1参数方程参数方程 这种将极坐标方程化为参数方程这种将极坐标方程化为参数方程,借助借助参数方程处置问题的方法参数方程处置问题的方法,在高等数学中将在高等数学中将多次遇到多次遇到.,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx xyxxydddddd22 )()(ddttt )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(dd32

25、2tttttxy 即即xtdd 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率如如: 33ddxy注注求二阶导数不用死套公式求二阶导数不用死套公式,只需了解其含义只需了解其含义,这样对求更高阶的导数也容易处置这样对求更高阶的导数也容易处置. 22ddddxyxtxydddd22 dtxtxyddddd22 xtdd 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率例例解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxtxtyxydddddd )sin(cos3

26、cossin322ttatta ttan )dd(dddd22xyxxy )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率022dd,2 tyttxyeetex求求设设解解),1(ddtetxt , 0dd tyeeyt1dd0 ttx,0时时当当 t得得,ddytety 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 22ddxy tey1tx 1 2)1(t ye ty )1(t ye 22ddxy t0 t0

27、11 tx 10, 0 yx )1(ddteexytyttey 11dd0 tty)(, )(tyytxx 为两可导函数为两可导函数yx ,之间有联络之间有联络tytxdd,dd之间也有联络之间也有联络称为称为相关变化率解法三步骤相关变化率解法三步骤找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对t t 求导求导相关变化率相关变化率求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率三、相关变化率三、相关变化率相关变化率相关变化率0),( yxFtytxdddd和和之间的关系式之间的关系式 代入指定时辰的变量值及知变

28、化率代入指定时辰的变量值及知变化率,(1)(2)(3)例例解解,秒后秒后设气球上升设气球上升t500tanh 求求导导得得两两边边对对t 2sec 0),( hF (1)(2)?,500./140,500多多少少员员视视线线的的仰仰角角增增加加率率是是观观察察米米时时当当气气球球高高度度为为秒秒米米其其速速率率为为米米处处离离地地面面铅铅直直上上升升一一气气球球从从离离开开观观察察员员),(th其高度为其高度为则则的的仰仰角角为为观观察察员员视视线线),(t tdd 5001 thdd 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率,/140dd

29、秒秒米米 th tdd 仰角添加率仰角添加率(3)2sec2 140500121 )/(14. 0分分弧弧度度 h, 1tan,500 时时当当h500 22tan1sec 当气球升至当气球升至500m500m时时, ,有一观测者以有一观测者以的速率向气球出发点走来的速率向气球出发点走来, ,min100m当间隔当间隔500 m500 m时时, ,仰角的仰角的添加率是多少添加率是多少? ?提示提示 tanx500对对t t 求导求导 2sectdd txxdd5002 ,min100ddmtx .ddt mx500 求求隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

30、相关变化率相关变化率 500 x水面水面例例桥面高出水面桥面高出水面的速度通过一座桥的速度通过一座桥某人以某人以,2sm解解桥面桥面20mxy秒钟后秒钟后设经设经t222220)()()( tytxtz(1),mx人行走距离为人行走距离为隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率在此人的正下方有一条小船以在此人的正下方有一条小船以,20msm34的速度在的速度在与桥垂直的方向航行与桥垂直的方向航行,求经求经5s后后,人与小船相分别的人与小船相分别的速度速度.z,mz船与人的距离为船与人的距离为对对t求导求导tyytxxtzzdd2dd2dd2 (2), 2dd tx,10 x,3702032010222 z(3),5时时当当 t,320 y).(2126dd5smtzt ,my船航行间隔为船航行间隔为.34dd ty).(,10,1