第四章恒定磁场题解

1、第四章 恒定磁场 (注意：以下各题中凡是未标明磁媒质的空间，按真空考虑）4-1 如题4-1图所示，两条通以电流的半无穷长直导线垂直交于O点。在两导线所在平面，以O点为圆心作半径为的圆。求圆周上A、B、C、D、E、F各点的磁感应强度。解 参考教材71页的例4-1，可知，图4-2所示通有电流的直导线在点产生的磁感应强度为因此，可得（设参考正方向为指出纸面）用类似的方法可得 ，4-2 平面上有一正边形导线回路。回路的中心在原点，边形顶点到原点的距离为。导线中电流为。 1）求此载流回路在原点产生的磁感应强度； 2）证明当趋近于无穷大时，所得磁感应强度与半径为的圆形载流导线回路产生的磁感应强度相同；3）

2、计算等于3时原点的磁感应强度 。解 如图4-3中所示为正边形导线回路的一个边长，则所对应的圆心角为，各边在圆心产生的磁感应强度为1）n条边在圆心产生的磁感应强度为 2）当n时，圆心处的磁感应强度为 3）当等于3时圆心处的磁感应强度为 4-3 设矢量磁位的参考点为无穷远处，计算半径为的圆形导线回路通以电流时，在其轴线上产生的矢量磁位。解 如图4-4建立坐标系，可得轴线上处的矢量磁位为 4-4 设矢量磁位的参考点在无穷远处，计算一段长为2米的直线电流在其中垂线上距线电流1米处的矢量磁位。解 据76页例4-4，可得 ，其中，则 4-5 在空间，下列矢量函数哪些可能是磁感应强度？哪些不是？回答并说明理

3、由。 1） （球坐标系） 2） 3） 4） （球坐标系） 5） （圆柱坐标系）解 1） 2）3）4）5） 由于，因此以上表达式中，1）不是磁感应强度表达式，而2）5）可能是磁感应强度表达式。4-6 相距为的平行无限大平面电流，两平面分别在和平行于平面。面电流密度分别为和，求由两无限大平面分割出的三个空间区域的磁感应强度。解 如图建立坐标系，并作平行于平面的闭合回线，据安培环路定律，可得 和平行于平面的闭合回线，可得 考虑坐标系，及可得当，；当，；当，；4-7 求厚度为，中心在原点，沿平面平行放置，体电流密度为的无穷大导电板产生的磁感应强度。解 如图4-6建立坐标系，当，作闭合回线，据安培环路定

4、律，可得，当，作闭合回线，据安培环路定律，可得，因此，可得4-8 如图4-7所示，同轴电缆通以电流。求各处的磁感应强度。解 作半径为的闭合回线，据安培环路定律，可得 4-9 如图4-8所示，两无穷长平行圆柱面之间均匀分布着密度为的体电流。求小圆柱面内空洞中的磁感应强度。解 设小圆柱面内空洞中的任意点至大、小圆柱面的轴心距离分别为、，当空洞内也充满体电流时，可得点的磁感应强度为，空洞内的体电流密度在点产生的磁感应强度为4-10 内半径为，外半径为，厚度为，磁导率为（）的圆环形铁芯，其上均匀紧密绕有匝线圈，如图4-9所示。线圈中电流为。求铁芯中的磁感应强度和磁通以及线圈的磁链。解 在铁芯中作与铁芯

5、圆环同轴半径为的闭合回线，据安培环路定律，可得铁芯中磁感应强度为 相应的磁通为 磁链为 4-11 在无限大磁媒质分界面上，有一无穷长直线电流，如图4-10所示。求两种媒质中的磁感应强度和磁场强度。解 设轴与电流的方向一致，则据安培环路定律，可得 ，据边界条件，可得 解以上两式，得 ，4-12 如图4-11所示，无穷大铁磁媒质表面上方有一对平行直导线，导线截面半径为。求这对导线单位长度的电感。解 根据教材97页例题4-12、4-13，可得平行长线a、b的单为长度内自感为 对于外自感，如图4-12取镜象，a、b之间的外磁链可视为a、b和c、d中的电流分别作用后叠加，即，外磁链为 外自感为 因此，自

6、感为4-13 如图4-13所示，若在圆环轴线上放置一无穷长单匝导线，求导线与圆环线圈之间的互感。若导线不是无穷长，而是沿轴线穿过圆环后，绕到圆环外闭合，互感有何变化？若导线不沿轴线而是从任意点处穿过圆环后绕到圆环外闭合，互感有何变化？解 设长直导线中有电流，则在铁芯线圈中产生的磁通和磁链分别为，因此，两线圈之间的互感为根据诺以曼公式，可知两线圈之间的互感也可视为铁芯线圈中的电流产生被直导线所链绕的磁通与电流的比值，则题设后两种情况中，直导线链绕的磁通没有发生变化，因此互感也不变。4-14 如图4-14所示，内半径为，外半径为，厚度为，磁导率为（）的圆环形铁芯，其上均匀紧密绕有匝线圈。求此线圈的

7、自感。若将铁芯切割掉一小段，形成空气隙，空气隙对应的圆心角度为，求线圈的自感。解 当线圈中有电流时，设铁芯中的磁场强度为、气隙中为，据安培环路定律，可得据边界条件，可得 ，代入上式，得相应的磁通为 则铁芯及气隙中的磁通为 线圈所链绕的磁通为 则电感为 4-15 分别求如图4-15所示，两种情况中两回路之间的互感。解 （a）如图建立坐标系，对于三角形部分，可得长直导线中的电流在三角形线圈中产生的磁感应强度为，则磁通为互感为 （b）如图建立坐标系，对于三角形部分，可得长直导线中的电流在三角形线圈中产生的磁感应强度为 ，则磁通为 互感为 4-16 试证明真空中以速度运动的点电荷所产生的磁场强度和电位

8、移矢量之间关系为 。证明 如图4-16，点电荷在半径为处产生的电位移矢量为，当点电荷以速度向方向运动时在半径为处产生的磁场强度为证毕。4-17 试证明真空中以角速度作半径为圆周运动的点电荷在圆心处产生的磁场强度为，是与圆周运动方向成右手螺旋关系方向的单位矢量。证明 如图4-17所示，以角速度作半径为圆周运动的点电荷的线速度为 ，则磁场强度 证毕。4-18 如图4-18所示，半径为，长度为的永磁材料圆柱，被永久磁化到磁化强度为。求轴线上任一点的磁感应强度和磁场强度。解 等效的磁化电流体密度和面密度分别为 ， 参阅教材72页例4-2，可得图4-19所示电流微元在点产生的磁感应强度为则圆柱体上的磁化

9、电流在轴线上产生的磁感应强度为4-19 有两个相邻的线圈，设各线圈的磁链的参考方向与线圈自身电流的参考方向成右手螺旋关系，问：如何选取两线圈电流参考方向，才能使互感系数为正值？如何选取两线圈电流参考方向，才能使互感系数为负值。解 选择和的参考方向，使产生的磁通与成右手关系、产生的磁通与成右手关系，则互感系数为正值。选择和的参考方向，使产生的磁通与成左手关系、产生的磁通与成左手关系，则互感系数为负值。4-20 半径为的无穷长圆柱，表面载有密度为的面电流。求空间的磁感应强度和矢量磁位。解 如图建立圆柱坐标，由于对称性，则场量仅可能为的函数，作轴心与重合、半径分别大于或小于圆柱面，据，可得，即；对于，由于磁感应强度线应经无穷远处闭合，即，则当，；当，作闭合回线，据安培环路定律，可得，即；作轴心与重合、半径分别大于或小于圆环线，据安培环路定律，可得。 综合以上分析，可得磁感应强度为 根据，可得矢量磁位为 式中为环绕的闭合回线。4-21 在沿轴放置的长