高等数学竞赛试题参考解答

1、学院 班号 学号 姓名密封线以内答题无效高等数学竞赛试题参考解答一、选择题（40分）1. 下列命题中正确的命题有几个？ （ A ）（1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量；（3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量.(A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个. 11, x0xsin, x02. 设 f(x)=，g(x)= 则x=0是间断点的函数是 （ B ） x0, x=01 , x=0(A) f(x)+g(x)； (B) f(x)-g(x)； (C) maxf(x), g(x)； (D) minf(x), g(x)

2、 .3. 设为f(x)=arctanx在 0, b上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 lim b02b2 = （ C ）(A) 1； (B) 111 ； (C) ； (D) . 234x04. 设f(x) , g(x)连续，当x0时，f(x)与g(x)为等价无穷小，令F(x)=f(x-t)dt，G(x)=x g(xt) dt, 则当x0时，F(x) 是 G(x)的 （ D ） 01(A) 高阶无穷小； (B) 低阶无穷小； (C) 同阶无穷小但非等价无穷小；(D) 等价无穷小.x0y05. 设f(x,y)在点(0,0)的某邻域内连续，且满足 lim f(x,y)-f(0,0)=-3 x2+1

3、-xsiny-cos2y则f(x,y)在点(0,0)处 （ A ）(A) 取极大值； (B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值.6. 设f(x)在(-,+)连续，且导函数y=f'(x)的图形如图所示，则f(x)有 （ D ）(A) 1个极小值点与2个极大值点，无拐点；(B) 2个极小值点与1个极大值点，1个拐点；(C) 2个极小值点与2个极大值点, 无拐点；(D) 2个极小值点与2个极大值点，1个拐点.7. 设f有连续的一阶导数，则13(1,2)(0,0)f(x+y)dx+f(x+y)dy= （ B ） (A) 2f(x) dx； 0(B) 0f(x) dx；

4、(C) f(3)-f(0)； (D) 0 . 8. 设任意项级数 an条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为bn, 将其中的负项保留正n=1n=1n=1n=1n=1项改为0所组成的级数记为cn，则bn与cn （ B ）(A) 两者都收敛； (B) 两者都发散； (C)一个收敛一个发散；1 (D) 以上三种情况都可能发生. 第 页 共 4 页学院 班号 学号 姓名密封线以内答题无效9. 设 n阶矩阵A的伴随矩阵 A*O，且非齐次线性方程组 A x= 有两个不同的解向量1 , 2，则下列命题正确的是 （ D ）(A) 1+2也是A x=的解； (B) A x=的通鲜为x=k11+k2

5、2 （k1,k2R）； (C) 满足A-E=0的数必不为零；(D) 1-2 是A x=0的基础解系.a1b1c1d11:a1x+b1y+c1z=d110. 设1=a2 ,2=b2 ,3=c2 ,4=d2 ,则三个平面 2:a2x+b2y+c2z=d2a3b3c3d33:a3x+b3y+c3z=d3两两相交成三条平行直线的充要条件是 （ C (A) 秩r(1,2,3)=1, r(1,2,3,4)=2; (B) 秩r(1,2,3)=2, r(1,2,3,4)=3;(C) 1,2,3中任意两个均线性无关，且4不能由1,2,3线性表出;(D) 1,2,3线性相关，且4不能由1,2,3线性表出. 二、(

6、10分）设f(x)在区间(-,+)连续，F(x)=1x+a2ax-af(t) dt (a>0), G(x)=x0f(t) dt, 试解答下列问题：（1）用G(x)表示F(x)；（2）求F'(x)；（3）求证：lim a0F(x)=f(x)；（4）设f(x)在x-a,x+a内的最大值和最小值分别是M、m,求证：F(x)-f(x)M-m.解（1）F(x)=1x+a2ax-af(t)dt=12ax+a0f(t)dt-x-a0f(t)dt=12aG(x+a)-G(x-a) （2）F'(x)=12aG'(x+a)-G'(x-a)=12af(x+a)-f(x-a)（3

7、）limG(x+a)-G(x-a)G(x+a)-G(x)+G(x)-a0F(x)=limG(x-a)a02a=lima02a=1G'(x)+G'(x)=G'(x)=f(x) （4）|F(x)-f(x)|=|1x+a2ax-af(t)dt-f(x)|=|12a(x+a)-(x-a)f()-f(x)|=|f()-f(x)|M-m(x-ax+a)三、（10分）求曲线 lnx + lny =1 所围成的平面图形的面积.xy=e,x1且y1,y=1x,x1且0<y<解1去掉绝对值曲线为：e1y=ex,0<x<1且y1xy=1e,0<x<1且0&

8、lt;y<1A=11eex11(ex-)dx+eex1(x-e)dx=e-e解2令lnx=u,lny=v,则x=eu,y=ev,D':|u|+|v|1,J=xuxveu0uvyuy=ev=ee. v0dxdy=|J|dudv=Deuevdudv=eudu11-uvD'D'0-1u+1v-u-1edv+0euduu-1edv=e-1e. 2 第 页 共 4 ） 页学院 班号 学号 姓名密封线以内答题无效z=ey四、（10分）设曲面S为曲线 (1y2) 绕z轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分x=0I=4zx dydz-2z dzdx+(1-z2) dxdyS解1S

9、的方程为z=(1x2+y24)补两平面S1:z=e(x2+y21,下侧)S2:z=e2(x2+y24,上侧)e2e25422=2zdzd=2zdV=2zlnzdz=e-e eD e22(z)S+S1+S2V4zxdydz-2zdzdx+(1-z)dxdy=-(1-e)dxdy=-(1-e)=(eS1Dxy44=(1-e)dxdy=4(1-e);I=S2DxyS+S1+S22222-1)；-=S1S2542e-e-(e2-1)-4(1-e4) 2213432e-e-3 22解2I=(4zx,-2z,1-z2)(zx,zy,-1)dxdy =D=eD2+1dxdy-dxdyD=20de2r(4rc

10、os2-2sin+1)rdr-(4-1)1213432e-e-322(D:1x2+y24)五、（10分）设n阶矩阵 A=(1,2, ,n-1,n)的前n-1 个列向量线性相关, 后n-1 个列向量线性无关,=1+2+ +n; （1）证明线性方程组A x=有无穷多解；（2）求方程组A x=的通解.解（1） 1,2, ,n-1相关，1,2, ,n-1,n相关； 2,3, ,n无关，1,2, ,n的秩为n-1，且1可以由2, ,n表出；又由已知可由1, ,n表出，故1, ,n,与1, ,n等价，从而1,2, ,n,的秩为n-1，对于方程组Ax=(1, ,n)X=，增广矩阵的秩与A的秩相等，即R()=

11、R(A)=n-1<n，故Ax=有无穷多解.,k（2） 1, ,n-1相关，不全为0的数k1,k2,n-1，使k12+ +kn-1n-=10，即k11+ +kn-1n-k1 +(, ,n)=10n=012kn-1 00A(k1, ,kn-1,0)T=0，又R(A=)-n 1Ax=0的基础解系只含一个解向量(k1, ,kn-1,0)T为Ax=0的基础解系；1 又1+2+ +n=(1, ,n) =A(1, ,1)T=(1,1, ,1)T为Ax=的解，1故Ax=的通解为x = C(k1, ,kn-1,0)T+(1,1, ,1)T(C为任意常数)3 第 页 共 4 页学院 班号 学号 姓名密封线以

12、内答题无效六、（10分）设 n (n>4)阶矩阵的4个不同特征值为1, 2, 3, 4 , 其对应的特征向量依次为1, 2, 3, 4，记=1+2+3+4, 求证：, A , A2, A3 线性无关.解1=1+2+3+41A=11+22+33+44231,A,A,A=2123422221A=11+22+33+44A3=3+3+3+3111223344i互不相等,范德蒙行列式不等于0,范德蒙矩阵可逆，从而12341222324213233343rAA2A3=r1234.1,2,3,4无关，r(1,2,3,4)=4，rAA2A3=4，故AA2A3的秩为4，故线性无关.解2设存在一组数k1,k

13、2,k3,k4使k1+k1A+k3A2+k4A3=0 （1）由题设=1+2+3+4，利用特征向量的性质可得A=11+22+33+44,A2=121+222+333+424, （2）3A3=131+22+333+444.将（2）式一并代入（1）式可有k1(1+2+3+4)+k2(11+22+33+44)+k3(121+222+333+424)+k4(131+232+333+444)=0整理得(k1+1k2+12k3+13k4)1+(k1+2k2+22k3+23k4)2+(k1+3k2+32k3+33k4)3+(k1+4k2+42k3+43k4)4=0.因1,2,3,4分属不同的特征值，故线性无关

14、，从而有k1+1k2+22k3+13k4=0,23k1+2k2+2k3+2k4=0,23k+k+k+k=0,1323334k+k+2k+3k=0.4243441视k1,k2,k3,k4为未知数，此为4个未知量，4个方程组成的齐次线性方程组，其系数行式为范德蒙德行列D(1,2,3,4)的转置. 因1,2,3,4互异，所以D=D(1,2,3,4)0. 这表明只有零解，即k1=k2=k3=k4=0，从而,A,A2,A3线性无关.七、（10分）设幂级数axnn=0n, 当n>1时an-2=n (n-1) an，且a0=4, a1=1;（1）求幂级数anxn的和函数S(x)；（2）求和函数S(x)

15、的极值.n=0n-1解（1）令S(x)=anx,则S'(x)=nanxnn=0n=1S''(x)=n(n-1)anxn=2n-2=an-2xn=2n-2=anxn=S(x)，S''(x)-S(x)=0n=05353S(x)=c1ex+c2e-x由S(0)=a0=4,S'(0)=a1=1，求得c1=,c2=,S(x)=ex+e-x22224 第 页 共 4 页学院 班号 学号 姓名密封线以内答题无效531313（2）由S'(x)=ex-e-x=0得x0=ln,又S''(x0)>0,S(x0)为极小值S(ln=. 222

16、5251f ( 0, y+ ) f=ecoty 求 f(x,y). 八、（10分）设函数f(x,y)可微，=-f(x,y), f 0,=1, 且满足lim nf0,yx2 f(0,y+)-f(0,y)11nlimfy(0,y)f(0,y+)f(0,y+)-f(0,y)nf(0,y)n=ef(0,y) =lim1+=e解 limnnf(0,y)f(0,y)fy(0,y)dlnf(0,y)=coty，对y积分得lnf(0,y)=lnsiny+lncf(0,y)=csiny f(0,y)dyf代入f(0,)=1得c=1，f(0,y)=siny又已知=-ff(x,y)=c(y)e-x， 2xf(0,y

17、)=siny，c(y)=siny故f(x,y)=e-xsiny. nn1n九、（10分）如图所示，设河宽为a，一条船从岸边一点O出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点O相对的一点B。假设在静水中船速为常数 V1，河流中水的流速为常数 V2，试求船过河所走的路线(曲线方程)；并讨论在什么条件下（1）船能到达对岸；（2）船能到达点B.解 如图所示，设P(x,y)为船在要时刻的位置 dxdy=v2-v1sin=v1cos(0<<)， dtdt2v1cosvdycos1=(k=2) =消去t得 dxv2-v1sink-sinv1ksec-tan此时两个分速度为x,则sec=，又tan=,代入得a-ydy路线满足