高等数学李伟版课后习题答案第五章

1、习题51(A1判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）如果函数仅在区间上有界，它在上未必可积，要使其可积，它在上必须连续；（2）如果积分（）存在，那么；（3）性质5也常称为积分不等式，利用它（包括推论）结合第三章的有关知识，可以估计积分的值、判定积分的符号，也可证明关于定积分的某些不等式；（4）定积分的中值定理是一个非常重要的定理，利用它能去掉积分号，同时该“中值”还是被积函数在积分区间上的平均值.答：（1）前者正确如狄利克雷函数在区间（其中）上有界，但是它在区间上不可积，事实上：将任意分成个小区间，（其中）记第个小区间长度为，先在上取为有理数，则，再在上取为无理数，则，对于的不同取法黎曼和的

2、极限不同，所以在区间上不可积；后者不正确，参见定理1.2（2）正确事实上：由于在区间上可积，则对的任意分法，的任意取法，都有，现在对区间等分，去在小区间的右分点，则，并且等价于，所以（3）正确它是证明关于定积分不等式的基础，参见例题1.3、1.4、1.5等（4）正确它可以起到去掉积分号的作用；也可以用来表示连续函数在区间上的平均值，但是由于位置不好确定，一般不用它来计算平均值，而是直接计算.2自由落体下落的速度，用定积分表示前10秒物体下落的距离. 解：根据定积分引入的实例，变速直线运动的路程，所以3一物体在力作用下，沿 轴从 点移动到 点，用定积分表示力 所做的功项目管理PMP.1-项目管理

3、框架解：将位移区间任意分成个小区间）记第个小区间长度为，用近似代替物体从移动到移动到时所做的功近似为，于是1.，记，则（假定极限存在）.C.4用定积分的几何意义求下列积分值：（1）； （2）解：（1）如图，上半圆的面积，根据定积分几何意义，所以，5.项目管理是通过以下五个过程组进行的：启动，计划，执行，控制和收尾。（2）如图，面积，-根据定积分几何意义，所以，7.58.PMO项目管理办公室，负责多项目的处理协调和资源的管理等。9.（1） 当(这里我后期会整理为IT（2） 项目管理能力成熟度模型为偶函数时，A.项目管理知识体系 B.解：（1）如图1，当是奇函数时，由对称性，面积，10.管理和领导

4、的区别,领导更难，无形胜有形，领导目的是创造自适应和学习型的团队。11.项目管理的四要素：时间，成本，范围和质量。如何判定一个项目是否成功关键是是否满足当前协定好的客户的需求，最好能够是在项目计划或验收准则中对项目是否成功的标准进行适当的量化。2是偶函数时，由对称性，面积）与； （2）；（3）与4），所以7， .项目管理PMP6项目管理环境.解：（1）因为在区间上，所以项目的阶段是一个或多个可以交付成果的完成为标志的。(必须要有形的，可以验证的输出物（3.项目生命周期主要包括概念(Concept，规划(Development，执行(Implement，收尾 （3）因为在区间，所以，即6.项目组

5、织结构分为职能型，矩阵型和项目型三种。其中矩阵又分为弱矩阵，平衡矩阵和强矩阵。职能型官僚，项目型难以保证资源的充分利用。强矩阵较复杂，但用好的话效率很高。估计下列定积分的值：（1（3）； （.PMP培训笔记3-项目管理过程解：（，在区间，又，得 （31.，于是函数在区间循环，计划，最大值，而区间长度，根据，得 （2每个过程都包含三个部分的内容，由于函数工具和技术作用于输入，以完成输出的机制 C.输出过程结果文件或可以记载成文的事项项目管理过程图表。，而区间长度，根据）设，则PMP培训笔记3-项目综合管理，最大值，而区间长度，根据，得（4）设，则，有，在区间内得驻点，又，所以函数在区间，最大值项

6、目章程里面有个重点就是赋予项目经理管理项目的权力。，根据，得3.目标式管理(MBO，最好是从工作分解结构(WBS开始实施目标式管理，因为他将项目细分为若干个容易完成的部分。实施目标管理包含三个步骤:A.知道明确现实的目标。B.上显然有，所以.4.项目初步范围说明书需要关注的重要内容 A.，在区间上，于是函数 D.约束和假设上单调增加，从而，即在区间上，所以习题51(B1右图给出了做直线运动的某质点在到9s内的速度图象，求它在这段时间间隔内所走的路程.解：质点在0到变更应该由专门的变更控制委员会CCB来批准或否决。但不是所有的项目都需要设置CCB.9.质点在0到9s发布所有需要的，与收尾相关的报

7、告 C.收尾所有外部供应商的合同 D.完成所有项目文件的归档(组织资产更新 E.释放资源给其它项目； （2） （1）由定积分中值定理，（其中），于是 （2）由项目管理PMP培训笔记4-由，有等价于，于是3若函数在区间（）上连续，且不恒等于，证明2.WBS.上函数连续且又不恒等于零，于是有WBS，使得，由连续函数的性质，在区间内恒有，设区间（），所以，即，再由定积分的线性性，得4证明下列不等式： （1）；（27.（其中是正整数）8.范围控制主要是范围的变更，当项目范围有变更的时候需要对项目范围说明书，工作分解结构和范围基准等都进行更新。项目范围控制输出的产生的变更将作为整体变更控制的输入。）设

8、，则 ，由 ，在区间 内得驻点 ，又 ，于是函数 在区间 的最小值为 ，最大值为 ，从而 ，因为 （2）在区间上显然有，且等号不恒成立，而函数、 1.使用进度表的目的是:A.确定是实现目标还是超越目标 B.追踪并沟通你的项目进展和状态 C.看看一个可能的变更会如何影响项目。习题52(A1判断下列叙述是否正确？并说明理由：1）在定理2.1的证明中，被积函数连续的条件是不可缺少的；（2）若连续、可导，则：约束是不延误后续活动 C.最早完成时间（3连续、及可导时，通过将化成两个变上限定积分，7.(GERT）使用牛顿莱布尼兹公式计算定积分，首先要找到8.PERT值的计算 (乐观时间+4*最可能时间+悲

9、观时间/6，偏差为(乐观时间）不正确应该是/69.双代号网络图（3）正确将函数改写为，再根据（2）求导10.单代号网络图(PDM A.可以有开始完成，开始开始，完成开始，完成完成四种关系在区间上的一个原函数），但是计算下列定积分：（1）； （2）； 12.缩短工期的方法主要有赶工，快速跟进，提供生产效率等。； （4）；（5）； （6）；评论； （8）； （9）； （10）（11）； （12）；（136-项目成本管理，其中 解：（1）大中小 （32.即使再好的计划都是建立在预测的基础上的，因此不要追求过多的零偏差。而是要让我们的偏差处于在一个可以接受或可以控制的范围内。3.（4）4.（5）EV:

10、挣值，已经完成工作的估算成本PV:计划值，计划完成工作的预算成本（7） （8） （9）（10）EAC:竣工预算，计算公式为 BAC/CPI（11）TCPIC:尚需竣工绩效指数(（TCPIS:(进度的, = (BAC-EV/(BAC-PVTCPIO:总体绩效指数。6.衡量工作绩效（14）3求下列函数的导数：（1）； （1万块买了A，B两只不同股票，甲赚了2000而乙赚了5000，则甲会感觉好像自己损失了3000块一样。9.（1） （3） （4）4求下列极限：（1）； （2大中小（3）； （4）.解：（1） （2） Joseph B.Crosby - 零缺陷，从开始就把事情做对，质量成本Kaoru

11、 Ishikawa - 鱼骨图(石川熏图,因果分析，质量控制循环Shigeo Shingo - 质量的查错检验和差错原因的校验Yoshio Kondo - 质量与人的关系；动机习题52(B质量是既符合各项要求1 质量保证质量保证具有一种管理功能，它为项目符合相关质量标准要求树立信心而在质量系统内实施的各项有计划的系统活动。质量保证只对质量过程有效对产品无效质量保证是组织级提供，质量控制是项目确保解：质量成本（一致性成本：COGQ 预防性质量过程成本，如评审，测试非一致性成本质量控制质量控制是一项技术手段，包括为项目建立技术性基线，收集详细数据，并用此数据测量质量是否与基线一致。PMBOK由方程

12、，求.解：方程全面质量管理，解得3若函数连续，设，求.解：流程图和图表帕累托图(2/84证明：当时，函数取得最小值.证明：函数在内有定义，由核对表(CheckSheet,检查单(Check List 是函数 的唯一极小值点，从而也是最小值点，所以当 质量管理成熟度的5.5不稳定阶段(Uncertainty在区间 上连续，在 内可导，且 ，设 ，内.证明： （其中），由项目管理PMP培训笔记8-人力资源和沟通管理所以在区间内证明. （方法2因为 ，所以 小由，有函数单调减少，而，于是，得计划阶段，所以在区间2.项目团队组建（方法）设 (执行阶段于是函数在区间上单调减少，组织的人力资源职能6若函数

13、可导，且2.培训，求极限.组织的形式职能型，矩阵型，项目型和复合型其中矩阵型又分为了弱矩阵，平衡矩阵和强矩阵项目经理的作用1.制定计划，安排进度和进行估算2.绩效，成本和趋势分析3.，证明方程在开区间/顾问间的关系5.后勤管理设，根据已知，函数在闭区间连续，又，由于连续函数，则决策人5.氛围缔造者项目经理的资格在开区间至少有一个实根.而3.领导力和团队建设能力4.沟通协调能力项目冲突至多有一个实根 . 冲突主要又直接面对解决，折中，强制，强制，缓和和撤退等几种方式。团队建设PMI认为，在项目一开始就应该进行项目团队建设。项目团队建设的基本原则若函数求函数在3.解：当时，5.项目经理应该以身作则

14、，树立榜样6.不要试图强制或操纵团队成员7.定期评估团队的努力六个特别重要的动机理论1.马斯洛的需求层次理论(生理-安全-社会-尊重-自我实现判断下列叙述是否正确？并说明理由：（1）在定积分的换元积分法中，要求被积函数3.大内的环境理论(把Y理论人放在较好环境会增加动力4.光环理论或上可积（2）对定积分进行换元时，需要注意的是换元的同时要换积分限，这时还要特别注意换元后积分的下限要小于上限；（3）定积分也有与不定积分类似的凑微分法与三角代换法等换元法，具体采取哪种换元法，其依据与不定积分是相同的；（4）在利用奇、偶函数的积分性质时，不仅要注意被积函数的奇偶性，而且还要注意积分区间关于坐标原点必

15、须是对称的.答：（1）正确此时在或上是连续的，因此它可积1.预测报告(提供项目在将来会发生什么信息2.进度报告(提供项目最近已经完成了什么信息3.状态报告. （4.偏差报告(（4）正确但是还需注意函数是可积的2计算下列定积分：（75%-95%的时间花在获取信息和信息沟通上面。1.项目经理必须认识到团队沟通网络的重要性，并鼓励他们进行非正式沟通（2.项目经理必须认识到沟通是一个双向过程，不能简单的发布命令，必须鼓励反馈和达成共识。；（3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8）； （11）； （12）（15）； （16）.解：（1）令是项目识别风险源的一个重要工具专家法，面谈，风险库，风

16、险检查单，头脑风暴都是风险识别好工具定性风险分析通过分析风险发生的概率，以及风险发生后对项目的影响程度，对已经识别的项目风险进行优先级排序和评估。定性风险分析技术有:敏感性分析，概率分析，决策树分析PMI认为敏感性分析是最简单的风险分析方法。风险暴露度 = 风险概率(P*风险影响(I使用一套结构化的工具来帮助决定哪些风险事件应该保证用哪种应对策略。 :将风险转移给第三方，如保险，保证书3.减轻：降低风险发生概率或减轻其发生的影响后果。4.接受(主动接受和被动接受:（13）； （14）； （3）令，则，于是（大中小（6）令，则，于是 （7）令，则，于是 （8） （9） （10）（11） （12）

17、 （13） （14） （15） （16）3计算下列定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）. 解：（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7）因为，有，所以 （8）对积分，令，则，于是，所以，4试选择简便的方法计算下列定积分：(1 ； (2 ；(3 ； （4）.解：（1）因为是奇函数，所以 （2）设，于是是奇函数，所以 （3）因为是偶函数，所以 （4）因为是为周期的奇函数，所以5若函数连续，证明下列定积分等式：（1）； （2）.（3）；（4） .证明：（1）令，则 （2）令，则 （3）令，则 （4）令，则习题53(B1计算下列定积分：（1）； （2

18、）； （3）， 其中（4）， 其中.解：（1）令，则，于是.（2）令，则，于是 或：令，则，于是（3）令，则 （4）对积分，令，则，所以2设，证明并计算.证明：.3证明，并由此计算该积分值.证明：记，令，则.4若函数连续，设，求.解：（方法1）令，则，所以（方法2）设的原函数为（连续函数一定有原函数），则，所以，5若函数连续，证明下列定积分等式：（1）；（2）；（3）.证明：（1）令，则 ，于是，所以， （2）令，则 （3），在右式第二个积分中，令，则，所以6设函数在区间上连续，且满足，求.解：记，则，此等式两边同时乘，然后再区间上求积分，有，即，所以，习题54(A1下列叙述是否正确？并按照你

19、的判断说明理由：(1无论是无穷（限）积分还是无界函数的积分（瑕积分），它们的收敛性都是利用“定积分”与“极限”这两个基本概念作“已知”来定义的；（2）积分收敛，是指与都收敛，若发散，则与都发散；(3 无论是无穷（限）积分还是无界函数的积分（瑕积分），在它们收敛时，要计算其值，一般可以利用推广的牛顿莱布尼兹公式，而不必再利用定义转化为求定积分的极限.答：（1）正确参见定义4.1及定义4.2.（2）前者正确参见教材第8至12行，（注意积分限中的“0”可以是某一个实数）；后者不正确若发散，则两个积分与中可能只有一个发散，如；也可以两个都发散如（3）正确参见教材第13至17行及第1至7行2先判断下列广

20、反常积分是否收敛，然后对于收敛的积分再计算其值：（1）； （2）；（3）（）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）； （9）； （10）；（11）； （12）.解：（1），所以，此无穷积分收敛，且积分值为 （2），所以，此无穷积分发散 （3），所以，此无穷积分收敛，且积分值为 （4），所以，此无穷积分发散（5）因为，以上两个积分都收敛，所以收敛，且 （6），所以，此无穷积分收敛，且积分值为（7），所以，此无穷积分收敛，且积分值为 （8）因为，所以下限是瑕点，所以，此瑕积分发散（9）因为，所以上限是瑕点， 所以，此瑕积分收敛，且积分值为 （10）因为，所以上限是瑕点，所以，此瑕积分收敛，

21、且积分值为 （11）因为，所以是瑕点此积分分为与讨论，因为，所以，瑕积分发散，从而瑕积分也发散（12）因为，所以下限是瑕点，所以，此瑕积分收敛，且积分值为 习题54(B1有一个长为的细杆均匀带电，总电量为，若在杆的延长线上距点为处有一个单位正电荷，现将单位正电荷从处沿杆的延长线方向移动到无穷远处，试求克服电场引力所做的功.解：如图取坐标，点为原点，设单位正电荷位于处时，受细杆产生的电场力为，则（其中是引力系数） 2下列反常积分是否收敛？（1）； （2）（）. 解：（1） （2）因为，所以下限是瑕点（方法1）令，则，于是（方法2）令，则，于是（方法3）令，则，于是3建立的递推公式，并由此计算.解

22、：.4已知反常积分 求反常积分.解：由于，所以不是瑕点.，令，则5当为何值时，反常积分收敛？当为何值时，这个反常积分发散？又问当为何值时，这个反常积分取得最小值？解：当时，反常积分发散；当时，反常积分发散；当时，反常积分收敛所以，当时，该反常积分收敛于，当时，该反常积分发散在时，记，则，由，得唯一驻点，当时，当时，所以是函数的极大值点，也是最大值点，从而是的最小值点，所以当反常积分取最小值习题55(A1下面的叙述是否正确？并说明理由：利用微元法时首先要确定所求的量可以看作是定义在哪个区间上的非均匀变化的连续量，在该区间上任取一个微小区间，在上 “以匀（常）代变”，即：将区间上对应的量的局部量看

23、作从起是连续均匀变化的，从而用 初等方法求出的近似值，即的微元.答：正确这就是建立“微元”的方法，核心是在区间上“以匀（常）代变”，但是要注意微元必须满足：（1）函数连续，（2）（在实际应用中，这一点往往是凭经验）2求由下列各平面图形的面积A：（1） 由抛物线与直线及围成；（2） 由曲线，与直线围成；（3） 由抛物线，与直线围成；（4） 由双曲线及三条直线围成；（5） 椭圆周所围的内部；（6） 星形线所围的内部；（7） 位于圆周外部及圆周内部；（8） 由阿基米德螺线上对应于从到一段与极轴围成.解：（1）由 得（舍去），于是. （2）由 得，又由图形的对称性，于是. （3）按型区域计算，由 得，

24、于是. （4）由 得，于是. （5）由对称性. （6）由对称性. （7）两圆的极坐标方程分别为，由 得，由对称性，. （8） 3求下列各平面图形绕指定坐标轴旋转一周所产生的旋转体的体积： （1）由，与围成，绕轴旋转；（2）由，及轴围成，绕轴旋转；（3）由，及轴围成，分别绕轴、轴旋转；（4）由摆线的第一拱与轴围成，绕轴旋转.解：（1）.（2） . （3）由 得，于是；. （4）4一个垂直于轴的正三角形沿轴移动，而在移动过程中底边的两个端点分别在曲线、（）上，求由移动到它所生成的立体体积.解：在区间上任取一点，该点对应的正三角面积为，所以 5由半径为球体上截取一个高为（）球缺，求该球缺的体积.解：

25、如图取坐标，球缺的体积可以看作阴影部分图形绕轴旋转的旋转体体积，于是 6计算下列平面曲线的弧长：（1）上，从到的一段；（2）悬链线上从到的一段；（3）星形线的全长；（4）心脏线的全长.解：（1），所以 （2），所以 （3），由对称性，（4），由对称性，7一物体在力的作用下，从处移动到处，求力所做的功.解： 8由物理实验知道：弹簧在拉伸过程中，需要的力（单位：）与伸长量（单位：cm）成正比，即（为比例系数），如果把弹簧由原长拉伸6 cm，计算力所做的功.解：（J）9一个半径为1m，高为4m的圆柱形储水罐，其内盛满了水，现将水全部从上口吸出，求克服重力所做的功.解：铅直向上取为轴，原点在罐底（如图

26、），则积分区间为， 在上任取一个小区间，将该层水吸出克服重力 所做的功的微元为：，所以（kJ）10一个容器的侧面是由介于之间的一段抛物线绕轴旋转而成的旋转抛物面，其内盛满了密度为的液体，现将液体全部从上口吸出，求克服重力所做的功. 解：如图，积分区间为，在上任取一个小区间，将该层水吸出克服重力所做的功的微元为： ，所以11有一长为3 m，宽为2 m的长方形薄板铅直沉入水中，顶部距水面2 m，且短边与水面平行，求薄板所受的水压力.解：如图取坐标，轴铅直向下，原点在水面，则积分区间为，在上任取一个小区间，则该小条薄板所受侧压力的微元为：，所以(kN 12有一条横截面边缘为抛物线（）（单位：m）的水

27、渠，渠内有一个铅直的闸门，就下列两种情形分别计算闸门一侧受到的水的压力（1）渠内水深2 m时；（2）渠内水满时.解：（1）积分区间为，在上任取一个小区间，则该小条薄板所受侧压力的微元为：，所以(kN （2）积分区间为，在上任取一个小区间，则该小条薄板所受侧压力的微元为：，所以(kN 习题55(B1若曲线（）与两坐标轴围成区域面积被抛物线平分，求值.解：由 得，则，而 ，由，有，所以，即，得 2求抛物线及其在点和点处的切线所围成的图形的面积.解：，在点切线斜率，切线方程为，即，在点切线斜率，切线方程为，即.所以.3过点求一条开口向下的抛物线，使它与轴围成区域面积最小.解：根据抛物线过原点，设所求

28、抛物线方程为，又抛物线过点，有，得，所以，令，得，抛物线与轴围成区域面积为：.由，得驻点，在两侧附近不变号，不是极值点；在左侧附近，在右侧附近，所以函数只有唯一极小值点，因此也是最小值点，所以当抛物线与轴围成区域面积最小，所求抛物线方程是4求双扭线位于圆外的面积及位于圆内的面积.解：由 在内得，于是 ，5求圆盘绕直线（）旋转一周所得的旋转体体积.解：6求由曲线与直线及围成的区域绕直线旋转一轴所形成的立体体积.解：按平行截面面积已知立体体积计算.在区间上任取一点，过这点用垂直于轴的平面截立体，则截面是一个圆，其面积为，所以 7将半径为的球体沿一条直径打一个直径为圆孔，求剩余部分的体积.解：如图取

29、坐标，则剩余部分的体积是阴影部分区域绕轴旋转的旋转体体积.由得，所以，剩余部分的体积为 8设直线与抛物线围成图形面积记作；由直线、抛物线及直线围成图形面积记作.（1）求值，使最小；（2）求取最小值时对应的图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积.解：由 得.（1）.记（），由，在内得唯一驻点，又，于是是唯一极小值点，也是最小值点，所以当时，最小（2） 当，得9两个半径为的圆柱体的中心线垂直相交，求这两个圆柱体公共部分的体积.解：如图，取为积分变量，积分区间为，在 上任取一点，用垂直于轴的平面截立体，截得一个边长为正方形，其面积为，由对称性， 10求由在区间定义的两条曲线及轴所围成的图形分别绕轴、轴旋转

30、一周所得的旋转体体积. 解：； 11一个密度为的瓷质容器，其内壁和外壁分别是抛物线和绕轴旋转而成的旋转面，外高为10 cm，将它铅直放入密度为1的水中，再注入密度为3的液体，为使容器不沉没，问注入液体的最大深度为多少？解：设注入液体最大深度为，当容器上端与水面相齐时，排水量为：此时容器与注入液体的总重量为：由，有，得，（舍去），所以，注入液体的最大深度为5 12求曲线上，从到的一段弧的弧长解：，于是13一颗人造地球卫星的质量为173kg，在高于地面630km处进入轨道问把这颗卫星从地面送到630km的高空处，克服地球引力要做多少功？解：将轴取为铅直向上，原点位于地心，则卫星位于处时，所受地球引

31、力为（其中是卫星质量，是地球质量，是引力系数）, 地球半径为，把这颗卫星从地面送到630km的高空处，克服地球引力做功为（J）(kJ14用铁锤将一铁钉垂直击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉被击入木板的深度成正比.在击第一次时，将铁钉击入木板1cm 如果铁锤每次打击铁钉所做的功都相等，问第二次打击时，铁钉又被击入多少？第三次呢？ 解：设铁钉入木(cm时，木板对铁钉的阻力为，则，设第次击打铁钉，铁钉又入木(cm，克服阻力所做的功为（，由，有，即，得(cm，（舍去）；，由，有，即，得(cm，（舍去），所以，第二次打击，铁钉被击入(cm；第三次打击，铁钉被击入(cm 15设有一长度为，线密度为的均匀细

32、棒，另有一质量为的质点，若（1）质点在棒的延长线上，距离棒的近端为个单位处；（2）质点在与棒的一端垂直距离为个单位处在这两种情况下求细棒对质点的引力 解：（1）如图1取坐标，在区间上任取一个小区间，该小段细棒对质点的引力微元为，所以，细棒对质点的引力为（其中为引力系数）（2） 如图2取坐标，在区间上任取一个小区间 ，该小段细棒对质点的引力的微元为，于是；所以，细棒对质点的引力为总习题五1填空题：（1）定积分 ；（2）定积分 ；（3）若函数连续，设，则 ；（4）当正数满足 时，反常积分收敛；（5）用定积分表示由曲线围成第一象限区域的面积为 解：（1），填： （2），填： （3）令，则，于是，填：

33、（4）因为，所以上限是瑕点当时，反常积分发散；当时，反常积分收敛；当时，反常积分发散综上，只有在时反常积分收敛，填： （5）由得；由得；由得；由得，填：2单项选择题：（1）在下列式子中，不正确的是（ ）；（A） （B）（C） （D）（2）设、，则、的大小关系是（ ）；（A） （B） （C） （D）（3）设是区间上连续单调减少的凹曲线，设、，则、的大小关系是（ ）；（A） （B）（C） （D）（4）双扭线所围成图形的面积可表示为（ ）；（A） （B）（） （）（5）设函数在区间上连续，且（为常数）则由曲线及直线和所围成的图形绕直线旋转一周所得的旋转体体积（ ） （A）（B）（C）（D）解：（1）

34、选B，事实上：因为定积分的结果是与积分限有关的数值（是的函数，而与积分变量无关，所以，都是正确的，只有B不正确 （2）选A，事实上：根据定积分的保号性，及奇函数在对称区间上的积分性质，有、，所以 （3）选D，事实上：由是区间上连续单调减少的凹曲线，有，在区间上求定积分得，而，所以 （注：本题可以根据定积分的几何意义：长方形面积，曲边梯形面积，梯形面积，如图则）（4）选A， （5）选B， 3估计定积分的值（）.解：设函数，则在区间上单调增加，于是在区间上的最小值，最大值，而区间长度，由，得4设函数在区间上连续，试证： .证明：由，得，根据定积分的保号性，有，再根据定积分的线性性，得.5当时，证明

35、.证明：在区间上，有，且等号不恒成立，又三个函数、都连续，所以，而，所以6求下列极限：（1）； （2）； （3）.解：（1）因为在区间上，所以，而，由“夹逼准则”，得.（注：如果用定积分中值定理，由有，使得，尽管，但是不能保证，） （2） （3）由于，不妨设，于是，当时，所以是“”型未定式极限，用洛必达法则，7求的值，使得，其中解：由存在且不为零，又分子极限，必定有分子极限是零，于是（介于0与之间），而，所以此时，左式存在，必须有，得于是，所以，8设函数由方程确定，求 解：将代入方程，有，得，方程两边同时对求导，有，用代入上式，有，得9计算下列定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）

36、； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）（ 为自然数）解：（1） （2）令，则 （3）令，则 （4）令，则，于是（5） （6） （7） （8） （9） （10）令，则，记根据教材第五章例3.14，当为偶数时，为奇数，则；当为奇数时，为偶数，则10判断下列反常积分的敛散性，对收敛的积分求其值：（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）令，则 所以，该反常积分收敛，且积分值为 （2） 所以，该反常积分收敛，且积分值为（3）因为，所以积分上限是瑕点所以，该反常积分收敛，且积分值为 （4）因为，所以积分下限是瑕点所以，该反常积分收敛，且积分值为11设函数，求积分.解：因为，所以积分下限为瑕点，12设函数在区间上连续，试根据下面的条件分别求（1）； （2）解：（1）设，则，该式两边同时在上求定积分，有，即，得，所以 （2），则，于是，该式两边同时在上求定积分，有，即，得，所以13设函数 , 证明证明：，对该积分作换元，则所以，14设函数连续，证明证明：对左式进行分部积分，得 15证明证明：（方法1），对作换元，所以（方法2）令 则16若函数在区间上连续，且，设证明：（1）；（2）方程在区间内有且仅有一个实根证明：（1）由，利用均值不等式，得 （2）由，知道单调增加，于是方程在区间内至多有一个实根；又因为在