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文档简介

1、 KMP的扩展 n n n 扩展KMP算法即利用已得到的信息来减少冗余的比较。 给定母串S，和子串T。 定义n=|S|, m=|T|，extendi=Si.n与T的最长公共 前缀长度。请在线性的时间复杂度内，求出所有的 extend1.n。例如S=aaaaaaaaaabaaa, T=aaaaaaaaaaa。 n n extend2=9。为了计算extend2，我们是不是也要进 行10次比较运算呢？不然。 因为通过计算extend1=10，我们可以得到这样的信息： S1.10=T1.10 S2.10=T2.10。 2015/8/6 6 n n n n 计算extend2的时候，实际上是S2开始匹

2、配T。因为 S2.10=T2.10，所以在匹配的开头阶段是“以T2.10 为母串，T为子串”的匹配 设辅助函数nexti表示Ti.m与T的最长公共前缀长度。 对上述例子，next2=10。也就是说：T2.11=T1.10； T2.10=T1.9；S2.10=T1.9。这就是说前9位的 比较是完全可以避免的！我们直接从S11T10开始 比较。这时候一比较就发现失配，因此extend2=9。 下面提出一般的算法。 设extend1.k已经算好，并且在以前的匹配过程中到达 的最远位置是p。最远位置严格的说就是i+extendi-1的 最大值，其中i=1,2,3,k；不妨设这个取最大值的i是a。 (下图黄色表示已经求出来了extend的位置 2015/8/6 7 2015/8/6 8 n n n n 整个算法描述结束。 上述算法是线性算法。原因如下： 容易看出，在计算的过程中，凡是访问过的点，都 不需要重新访问了。一旦比较，都是比较以前从不曾探 访过的点开始。因此总的时间复杂度是O(n+m,是线性 的。 还剩下一个问题：next这个辅助数组怎么计算？复杂 度是多少？我们发现计算next实际上以T为母串、T为 子串的一个特殊“扩展的KMP”。用next本身计算next， 具体可以参考标准KMP。

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