全国周培源大学生力学竞赛辅导往届竞赛题研讨

1、从从20072007年起竞赛风格与往届相比有年起竞赛风格与往届相比有考察学生面对复杂问题时能否考察学生面对复杂问题时能否、的能力；的能力；考查学生的考查学生的能力；能力；在解题时考察学生能否灵活运用在解题时考察学生能否灵活运用，简，简单而巧妙地解题。单而巧妙地解题。考察学生考察学生的能力，分工协作、相的能力，分工协作、相互配合、动手制作的能力。互配合、动手制作的能力。1题量少，内涵多；题量少，内涵多；2趣味新颖；趣味新颖；3灵活；灵活；4强调发散思维。强调发散思维。射击的最高境界，不仅是指哪打哪，还要知道往哪儿指。射击的最高境界，不仅是指哪打哪，还要知道往哪儿指。欢迎来到这个与众不同的射击场。

2、在这里，共有欢迎来到这个与众不同的射击场。在这里，共有10个小球个小球Pi( (号码从号码从0到到9) )，你需要把某个小球放在圆弧的适当位置上，你需要把某个小球放在圆弧的适当位置上，然后静止释放小球即可。然后静止释放小球即可。假设系统在同一竖直平面内假设系统在同一竖直平面内( (如图所示如图所示) )，不考虑摩擦。圆弧，不考虑摩擦。圆弧AB的半径为的半径为R，B点与地面的高度点与地面的高度为为H。均质细杆。均质细杆CD的质量为的质量为M，长为长为LH，悬挂点，悬挂点C与与B 处于处于同一水平位置，同一水平位置，BC距离为距离为S。小。小球球Pi 质量均为质量均为m，不计半径，小球，不计半径，

3、小球Pi 与与CD杆或地面碰撞的恢复杆或地面碰撞的恢复因数均为因数均为ei，且满足，且满足 ( (i=0,1,2,9) )。9/ ieiP1 击中杆上击中杆上D点，试确定静止释放时的点，试确定静止释放时的q q，距离，距离S 有何限制？有何限制？ CD杆上的杆上的E点点，为使为使E点尽可能远离点尽可能远离D点，试确定该小球的号点，试确定该小球的号码及静止释放时的码及静止释放时的q q，此时，此时CE 的距离的距离是多少？是多少？CD杆上杆上的的E点，为使悬挂点点，为使悬挂点C处的冲量处的冲量尽可能小，试确定该小球的号尽可能小，试确定该小球的号码及静止释放时的码及静止释放时的q q，此时，此时C

4、E的距离是多少？冲量有多大？的距离是多少？冲量有多大？设小球设小球P1 到达到达B处时速度为处时速度为vB)cos1 (2qgRvB)cos1 (0212qmgRmvB小球小球P1离开离开B 处后作处后作0 xm mgym 0 x gy P1 击中杆上击中杆上D点，试确定静止释放时的点，试确定静止释放时的q q，距离，距离S 有何限制？有何限制？3/19/11e0 x gy Bvx tvxBgty221gtHy小球小球P1 杆上的杆上的D点？点？与地面碰撞，与地面碰撞，回跳时撞击杆？回跳时撞击杆？撞击杆？撞击杆？链接链接P1与杆上与杆上D点碰撞点碰撞小球小球P1直接击中直接击中D点时点时1tv

5、SB21212gtHH小球小球P1 在在 x 方向作方向作运动，在运动，在 y 方向作方向作运动。运动。mgHmvvvmByx22221)(21小球小球P1与地面碰撞前的速度与地面碰撞前的速度)(001yyvve小球小球P1与地面碰撞后的速度与地面碰撞后的速度HHeh9121gHvy2yyvev1h回跳高度回跳高度mghvvmmvyxB)(2121222P1回跳时回跳时碰到碰到D点点P1与杆上与杆上D点碰撞点碰撞HCDH21小球小球P1 先与地面碰撞先与地面碰撞返回返回)21arccos(2HRSq90, 0(q021cos2HRSqHRS2CD杆上的杆上的E点点，为使为使E点尽可能远离点尽可

6、能远离D点，试确定该小球的号点，试确定该小球的号码及静止释放时的码及静止释放时的q q，此时，此时CE 的距离的距离是多少？是多少？9/ iei19e当当 时反弹最高，可击中时反弹最高，可击中C点。点。此时点此时点E（与点（与点C重合）离重合）离D点最远，点最远，CE = = 0。设小球设小球P9从离开从离开B处到与地面处到与地面碰撞所需的时间为碰撞所需的时间为t202122gtHygHt221e当当 时，球落下的轨迹与时，球落下的轨迹与回跳的轨迹回跳的轨迹。设小球与地面碰撞设小球与地面碰撞n次击中次击中E22tvnSB)161arccos(22HRnSqCD杆上的杆上的E点，为使悬挂点点，为

7、使悬挂点C处的冲量尽可能小，试确定该处的冲量尽可能小，试确定该小球的号码及静止释放时的小球的号码及静止释放时的q q，此时此时CE的距离是多少？冲量有的距离是多少？冲量有多大？多大？当碰撞冲量当碰撞冲量 IE CE ，且，且作用于撞击中心，作用于撞击中心，1CCMJCECHMHM41)21(312H31即即时，时，C 处的处的 IC = 0。小球回跳至小球回跳至时碰撞，碰撞点距地面时碰撞，碰撞点距地面 。H32mgHmvvvmByx22221)(21设小球离开设小球离开B与地面碰撞前的与地面碰撞前的速度为速度为 vx 、vy vx = vBgHvy2)(00yyivvegHeviy2小球与地面

8、碰撞后的速度小球与地面碰撞后的速度Hgvy32)(2022小球回跳至小球回跳至时时3/2ie69/6e设小球从离开设小球从离开B处到与地面碰处到与地面碰撞所需的时间为撞所需的时间为t3设碰撞结束小球回跳至最高点设碰撞结束小球回跳至最高点所需的时间为所需的时间为t402123gtHygHt2340gtvygHet26443tvtvSBBHReS262)1 (41arccosq 一个好的试题应该有一个好的试题应该有解决，而采用不同的解决，而采用不同的途径可以反映出学生对问题的理解程度、对力学概念的掌途径可以反映出学生对问题的理解程度、对力学概念的掌握程度。握程度。解题时，可能的处理方式有：解题时，

9、可能的处理方式有： 如果说趣味性是为了吸引学生对力学的兴趣，灵活性如果说趣味性是为了吸引学生对力学的兴趣，灵活性则是为了考查学生力学素养的高低。则是为了考查学生力学素养的高低。 力学素养好的学生，应该是力学概念清楚，能够领悟力学素养好的学生，应该是力学概念清楚，能够领悟问题的实质，了解处理问题的方法和思路，有时可以不经问题的实质，了解处理问题的方法和思路，有时可以不经过复杂分析就能过复杂分析就能或或一部分答案。一部分答案。 第第2 2问求碰撞点与杆上问求碰撞点与杆上D点距离的极大值。点距离的极大值。这一问的这一问的在于可以在于可以部分答案：采用完全弹部分答案：采用完全弹性小球有可能得到最优解，

10、因为其它小球都不能反弹到平抛性小球有可能得到最优解，因为其它小球都不能反弹到平抛时的初始高度。时的初始高度。第第3 3问求悬挂点冲量的极小值。问求悬挂点冲量的极小值。 如果学生如果学生最小值是否可以为零？这样自然会引出碰最小值是否可以为零？这样自然会引出碰撞中心的概念，从而顺利求解。撞中心的概念，从而顺利求解。 但绝大部分学生会按正常顺序做，即小球从某位置释放但绝大部分学生会按正常顺序做，即小球从某位置释放落下落下反弹反弹与杆碰撞与杆碰撞求极值。如果这样做，要联立大求极值。如果这样做，要联立大量复杂的公式，还要对两个变量求极值（其中一个是连续的量复杂的公式，还要对两个变量求极值（其中一个是连续

11、的角度变量，一个是离散的号码变量）！角度变量，一个是离散的号码变量）！魔术正式开始，仍用上一题中的道具魔术正式开始，仍用上一题中的道具( (板和球的具体参板和球的具体参数见第三题数见第三题) )。 魔术师首先撤去了滚轴魔术师首先撤去了滚轴D，观众看到两个水晶球在板上，观众看到两个水晶球在板上任意位置静止释放，都会从板的任意位置静止释放，都会从板的B端掉下去。但是细心的观端掉下去。但是细心的观众发现，即使两水晶球放在板的相同位置，掉下去所需时间众发现，即使两水晶球放在板的相同位置，掉下去所需时间却明显不同。却明显不同。 魔术师解释说，虽然两魔术师解释说，虽然两水晶球的尺寸和重量完全相水晶球的尺寸

12、和重量完全相同，但有一个水晶球的表面同，但有一个水晶球的表面涂了透明的新型材料，很光涂了透明的新型材料，很光滑。说完在后落下的水晶球滑。说完在后落下的水晶球O1表面贴上了小纸片以示区别表面贴上了小纸片以示区别( (假设小纸片的尺寸和重量相假设小纸片的尺寸和重量相对水晶球均是小量对水晶球均是小量) )。只见魔术师对两个水晶球吹了吹只见魔术师对两个水晶球吹了吹，声称已经把魔力注入声称已经把魔力注入其中，然后小心地把贴有纸片的其中，然后小心地把贴有纸片的O1 球静止放在板上球静止放在板上( (接触点接触点为为B点点) )，同时让纸片远离接触位置同时让纸片远离接触位置，松手后水晶球松手后水晶球O1竟然

13、真竟然真的可以一直稳稳地停留在板上的可以一直稳稳地停留在板上B点。点。在观众的掌声中，魔术师撤走了在观众的掌声中，魔术师撤走了O1 球，把球，把O2 球拿了起来。球拿了起来。“这个水晶球不太听话，这个水晶球不太听话，我的魔力只能管我的魔力只能管1分钟分钟” 魔魔术师说完把术师说完把O2 球转了转，球转了转，然后更加小心地把然后更加小心地把O2 球也球也放在板上放在板上( (接触点为接触点为B点点) )。观众发现观众发现，O2球在球在B点停留点停留了大约了大约1分钟，然后在没有外界干扰的情况下突然从板上分钟，然后在没有外界干扰的情况下突然从板上B端端掉了下来掉了下来根据题目叙述，试判断哪个水晶球

14、涂了新型材料？根据题目叙述，试判断哪个水晶球涂了新型材料？水晶球水晶球O1 可在可在 B点一直稳稳地停留，简要叙述其原点一直稳稳地停留，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。要条件或关系。水晶球水晶球O2 只能在只能在 B点停留很短的时间，简要叙述其点停留很短的时间，简要叙述其原理，分析其中所涉及的原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。满足的必要条件或关系。 根据题目叙述，试判断哪个水晶球涂了新型材料？根据题目叙述，试判断哪个水晶球涂了新型材料？ 水晶球水晶

15、球O1可在可在B点一直点一直稳稳地停留，简要叙述其原理，稳稳地停留，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件以及各参数应满足的必要条件或关系。或关系。涂了新型材料涂了新型材料光滑，先落下。光滑，先落下。在板自重、球重力作用下，在板自重、球重力作用下，板发生弯曲变形。板发生弯曲变形。EIlqlEIqlB2623qEIql323lABq qBOBE0PPWB只要只要 （）fqB即即EIqlfBs32tantantan3fq水晶球水晶球O1就静止于板上的就静止于板上的B点点000PPrPPEOBrqsinBBPPqqsin1sin0BPq只要小纸

16、片与水晶球的重心落在过只要小纸片与水晶球的重心落在过B点的铅垂线上，点的铅垂线上，水晶球水晶球O1就能静止于板上的就能静止于板上的B点。点。取大于号时，小纸取大于号时，小纸片与球心的连线非水平，但重心都要落在过片与球心的连线非水平，但重心都要落在过B点的铅垂线上。点的铅垂线上。要使小纸片与水晶球的重心落在过要使小纸片与水晶球的重心落在过B点点的铅垂线上，必须的铅垂线上，必须q qBOBE000PPPPEOBrqsinBBrPrPqqsinsin0设小纸片离设小纸片离O点的水平距离为点的水平距离为 BrEOrqsinBBrrPrPqqsinsin0BBPqqsin1sin取等号时，小纸片与球心的

17、连线水平；取等号时，小纸片与球心的连线水平； 水晶球水晶球O2 只能在只能在 B点停留很短的时间，简要叙述其原点停留很短的时间，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。各参数应满足的必要条件或关系。没贴纸片的水晶球没贴纸片的水晶球O2 是是问题问题球在板上打滑，在一段时间内球心速度为零，从而实现球在板上打滑，在一段时间内球心速度为零，从而实现动平衡。动平衡。q qBOBa aw w 在一段时间后，球心速度不为零，球从板上掉下。在一段时间后，球心速度不为零，球从板上掉下。FmgxmBqsin BmgFmqcos0NrFmra2

18、52NFfF)cos(sinBBfgxqq rfgB2cos5qatfgxBB)cos(sinqqrfgtB2cos50qww2)cos(sin21tfgxBBqq00 x 00 xrfgttB4cos520qw00w00水晶球水晶球O2可以可以在板上在板上当当EIqlfB32tantan3q时时0 x 0 x 0 x但是，随着时间但是，随着时间t 增大，增大，角速度角速度w w 减小。减小。rfgtB2cos50qww水晶球水晶球O2会从板上会从板上当当即角速度即角速度w w 时，时，摩擦力摩擦力F 也也。0 x 0 x 当当t =1 min =60 s 时，时，w w = 0。rfgBqw

19、cos1500rgBqsin150q qBOBa aw w BfqtanrEIgql3100EIqlB323q 试题以人物为主体，有简单的情节，有看似冲突的结试题以人物为主体，有简单的情节，有看似冲突的结果。果。学生面对的是奇怪的现象或结果，需要的条件或参数学生面对的是奇怪的现象或结果，需要的条件或参数在叙述中给出。某些条件可能是没有用的。在叙述中给出。某些条件可能是没有用的。同一问题，可以有不同的提问方式。同一问题，可以有不同的提问方式。比较容易，偏重集中性思维。比较容易，偏重集中性思维。比较困难，偏重发散性思维。比较困难，偏重发散性思维。魔术师的问题是典型的逆问题，令人回味。魔术师的问题是

20、典型的逆问题，令人回味。真正的魔术表演，往往令观众百思不得其解，可是一真正的魔术表演，往往令观众百思不得其解，可是一旦解密，又很简单。旦解密，又很简单。 平时的作业绝大部分是平时的作业绝大部分是，很容易有思路，很容易有思路，剩下的只是补充细节。但剩下的只是补充细节。但的问题往往让学生不的问题往往让学生不容易找到思路，需要在各种可能的方法中试探比较。容易找到思路，需要在各种可能的方法中试探比较。 发散性思维问题可以激发学生思考的积极性，同时让发散性思维问题可以激发学生思考的积极性，同时让学生在思考过程中把学过的知识进行分类、组合、过滤，学生在思考过程中把学过的知识进行分类、组合、过滤，提高学生处

21、理问题的能力。提高学生处理问题的能力。 一个设计得很好的发散性思维问题应该是开始时让学一个设计得很好的发散性思维问题应该是开始时让学生百思不得其解，想到点子上立刻豁然开朗。生百思不得其解，想到点子上立刻豁然开朗。 试题中最明显的试题中最明显的是所谓的魔术师的问是所谓的魔术师的问题：水晶球为什么能停留在明显倾斜的水晶板上，需要题：水晶球为什么能停留在明显倾斜的水晶板上，需要学生从各种角度去解释这看似不可能的现象。学生从各种角度去解释这看似不可能的现象。第第2 2问中魔术师看似不经意贴的小纸片对水晶球的平问中魔术师看似不经意贴的小纸片对水晶球的平衡有重要影响。这是衡有重要影响。这是问题。问题。第第

22、3 3问的要点是问的要点是。如果知道本问可以用刚。如果知道本问可以用刚体平面运动微分方程来解释，相信很多学生可能会惊讶体平面运动微分方程来解释，相信很多学生可能会惊讶为什么当时想不到这一点。为什么当时想不到这一点。一半球形高脚玻璃杯，半径一半球形高脚玻璃杯，半径r=5 cm，其质量，其质量m1=0.3 kg，杯底座半径杯底座半径R=5 cm，厚度不计，杯脚高度，厚度不计，杯脚高度h=10 cm。如果有。如果有一个质量一个质量m2=0.1 kg 的光滑小球自杯子的边缘由静止释放后的光滑小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯的内侧滑下，小球的半径忽沿杯的内侧滑下，小球的半径忽略不计。已知杯子底座与水平面

23、略不计。已知杯子底座与水平面之间的静摩擦因数之间的静摩擦因数 fs。试分。试分析小球在运动过程中：析小球在运动过程中：高脚玻高脚玻璃杯会不会滑动；璃杯会不会滑动；高脚玻璃杯高脚玻璃杯会不会侧倾（即一侧会不会侧倾（即一侧翘起）。翘起）。O杯子杯子小球小球小球在杯子未运小球在杯子未运动前不脱离杯子动前不脱离杯子动能定理动能定理cos021222grmvm牛顿第二定理牛顿第二定理cos2122gmFrvmcos321gmF 方程方程、杯子杯子Ox0ixF0sin1FF2sin5 . 12gmF 0iyF0cos11NFgmF221Ncos3gmgmF最大静滑动摩擦力最大静滑动摩擦力NSmaxFfFm

24、axFF 213mm )cos1 (5 . 122gm因因杯子杯子所以假设成立所以假设成立当杯子处于侧倾的当杯子处于侧倾的平衡状态时平衡状态时x = 0Ox0CiMC0)(sin)cos(111hrFRFgm0cossin3cos12综上，当小球自杯子的边缘由静止释放后综上，当小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯子的内侧滑下到与铅垂方向夹角沿杯子的内侧滑下到与铅垂方向夹角 O时，高脚玻璃杯时，高脚玻璃杯（一侧翘起）。（一侧翘起）。解解 454 .63或或即即4 .63时，杯子侧倾。时，杯子侧倾。小球小球经过经过的位置的位置 4 .63返回返回0cossin3cos120cos2cossin3sin

25、220)cos2)(sincos(sin1tan2tan或或 45或或4 .631cossin221.1.杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出，起始圆环杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出，起始圆环一跳一跳地向前滚动，随后不离开地面向前滚动，为什么？一跳一跳地向前滚动，随后不离开地面向前滚动，为什么？2.2.杂技演员拿出一个匀质圆环，沿粗糙的水平地面向前杂技演员拿出一个匀质圆环，沿粗糙的水平地面向前抛出，不久圆环又自动返回到演员跟前。设圆环与地面接触抛出，不久圆环又自动返回到演员跟前。设圆环与地面接触瞬时圆环中心瞬时圆环中心O 的速度大小为的速度大小为v0，圆环的角速度为，圆环的角速度为w w

26、0，圆环，圆环半径为半径为r，质量为，质量为m，圆环与地面间的静摩擦因数为圆环与地面间的静摩擦因数为 fs，不计，不计滚动摩阻，试问：滚动摩阻，试问：圆环能自己滚回来的条件是什么？圆环能自己滚回来的条件是什么？圆环开始向回滚动直到无滑动地滚动，圆环开始向回滚动直到无滑动地滚动，在此运动过程中，圆环所走过的距离是多少？在此运动过程中，圆环所走过的距离是多少？当圆环在水平地面上无滑动地滚动时当圆环在水平地面上无滑动地滚动时，其中心的速度其中心的速度大小为大小为v1，圆环平面保持在铅垂平面内。试分析圆环碰到高，圆环平面保持在铅垂平面内。试分析圆环碰到高为为h( (hr/2) )的无弹性台阶后，能不脱

27、离接触地爬上该台阶所的无弹性台阶后，能不脱离接触地爬上该台阶所应满足的条件。应满足的条件。，假设圆环保持在铅垂平面内滚动假设圆环保持在铅垂平面内滚动，如图所示如图所示。又知铁棍与又知铁棍与圆环之间的静摩擦因数为圆环之间的静摩擦因数为 ft ，圆环与地面间的滚动摩阻系数为圆环与地面间的滚动摩阻系数为d d。试。试求为使铁棍的推力求为使铁棍的推力( (铁棍对圆环的作用铁棍对圆环的作用力力) )最小，圆环上与铁棍的接触点的位最小，圆环上与铁棍的接触点的位置。置。1.1.杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出，起始圆环杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出，起始圆环一跳一跳地向前滚动，随后不离开地面向前滚

28、动，为什么？一跳一跳地向前滚动，随后不离开地面向前滚动，为什么？，质心不在圆环的中心。，质心不在圆环的中心。开始滚动角速度大，圆环一跳一跳地向前滚动；开始滚动角速度大，圆环一跳一跳地向前滚动；随后角速度减小，所以圆环不离开地面向前滚动。随后角速度减小，所以圆环不离开地面向前滚动。CDwrvvD圆环与地面接触点圆环与地面接触点D刚开始刚开始0Dv圆环与地面有圆环与地面有NssFfF mgF NsFmagfas匀减速运动匀减速运动gtfvvs0rFmrs2aCDmgfFssrgf/sa圆环匀减速转动圆环匀减速转动rgtf/s0ww由于摩擦力存在由于摩擦力存在v 和和w w 都随时间而减小都随时间而减小gtfrvrvvDs002ww随时间减小随时间减小0Dv时刻开始时刻开始gfrvts0012w即即此时质心速度大小为此时质心速度大小为要使圆环能够返回，必须要使圆环能够返回，必须1s01gtfvv)(2100rvw01v即即rv00wCD质心速度质心速度0vgfvts02此时此时所需时间为所需时间为gfrvts0012w00vrvDw00Dv所需时间为所需时间为圆环从开始向回滚动直到纯滚动的过程中：圆环从开始向回滚动直到纯滚动的过程中：所求距离所求距离221)(21ttaSgfs质心作初速度为零、加速度为质心作初速度为零、加速度为 的加速运