上海市闸北区2016届高三数学4月期中练习(二模)试题

1、闸北区 2015 学年度第二学期高三数学（理、文合卷）期中练习卷考生注意：1.1. 本次测试有试题纸和答题纸，解答必须在答题纸上，写在试题纸上的解答无效.2.2. 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号，以及试卷类型等填写清楚,并在规定区域内贴上条形码.3.3. 本试卷共有 1818 道试题，满分 150150 分.考试时间 120120 分钟.、填空题（6060 分）本大题共有 1010 题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得 6 6 分，否则一律得零分.设函数f(x) =ax a(a 0且a=1),且f 0 3，则f0 F 2)的值是已知集合A二x|x -2卜

2、：a,B =x|x2-2x -3：0，若B A，则实数a的取值范围是如果复数z满足| z | = 1且z2= a bi，其中a, b R，则a b的最大值是 _ .（理 ）在直角坐标系xoy中，已知三点A（a,1）, B（2, b）,C（3,4），若向量OA,OB在向量OC方向上的投影相同，则3a-4b的值是+x - y 5 _ 0（文）已知x、y满足x y亠0, ,若使得z = ax y取最大值的点（x,y）有无数个，则ax兰3的值等于（理）某科技创新大赛设有一、二、三等奖（参与活动的都有奖）且相应奖项获奖的概率是2 2.3 3.4 4.5 5.2以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分

3、别是以7000元、5600元、4200元,则参加此次大赛获得奖金的期望是元.（文）在直角坐标系xoy中，已知三点A（a,1）,B（2,b）,C（3,4），若向量OA,OB在向量OC方向上的投影相同，则3a-4b的值是2 26 6 .已知F1、F2是椭圆C:务占=1（a b 0）的两个焦点,a bPR _PF2，若PF1F2的面积为9，则b =_ .P为椭圆上一点，且7 7.ABC中，a,b,c分别是A,. B,. C的对边且ac c b2-a2，若ABC最大边长是7且si nC =2si nA，则ABC最小边的边长为8 8 .（理）在 极坐标 系中，曲线T二si2与sin二-2的公共点 到极点

4、 的距离为（文）设等差数列an的公差为d,若6砂月3月4月5凤月7的方差为1,则d=_39.（理）如右图，A、B是直线|上的两点，且AB=2, 两个半径相等的动圆分别与I相切于A、B两点，C是这两个圆的公共点， 则圆弧AC，圆弧CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是 _.ixcos_ | x | w 1（文）已知函数f（x）2一 ，则关于X的方程f2（x）-3f（x） -2 = 0的实根2lx -1,|x1的个数是_ 个.1010.（理）设函数f（x） = x2-1,对任意x壬，：,f ix-4m2f（x）三f（x-1） 4f （m） IL2m恒成立，则实数m的取值范围是_1（文）设函数f（

5、x）=x, ,对任意1：）,f （mx） mf （x） 0)的内部或圆周上，求k的取值范围.717.17.（本题满分 1616 分，第（1 1）小题 8 8 分，第（2 2）小题 8 8 分）若动点M到定点A（0,1）与定直线丨：y = 3的距离之和为4.（1 1）求点M的轨迹方程，并在答题卡所示位置画出方程的曲线草图；（2 2）（理）记（1 1）得到的轨迹为曲线C,问曲线C上关于点B（0, t）（t R）对称的不同点有 几对？请说明理由.（文）记（1）得到的轨迹为曲线C,若曲线C上恰有三对不同的点关于点B （0,t） （tR）对称，求t的取值范围.18.18.（本题满分 1818 分，第（1

6、 1）小题 4 4 分，第（2 2）小题 6 6 分，第（2 2）小题 8 8 分）已知数列a*,Sn为其前n项的和，满足Sn= nn 3.2（1 1）求数列an的通项公式；（2 2）设数列的前n项和为Tn，数列Tn的前n项和为R*，求证：当n_2,nN*时anRn二n（Tn-1）；（3 3）（理）已知当nN*，且n6时有（1-旦）n（1）m，其中m=1,2,川，n，求满足n +323n4n川（n 2）n二3）an的所有n的值.（文）若函数p q 1.f (x)二1(p-1) 3qx1的定义域为R，并且lim f (an)二0(nN*)，求证n_?C8高三数学（理文合卷）期中练习卷参考答案一、

7、填空题1 1、122 2、a_33 3、-、24 4 、（理）2； （文）-15 5、（理）5000;（文）2 216 6、37 7、18 8 、（理）1.3；（文）9 9、（理）（0,2;（文）5 522J3J31010、（理）m或m；（文）m：-122二、1111、B1212、（理）A；（文）B1313、C三、 1414、（理）（本题满分 1212 分，第（1 1）小题 5 5 分，第（2 2）小题 7 7 分）解：（1 1）法一：长方体ABCD -AC1D1中，因为点E在棱AB上移动，所以EA_平面AAQQ，从而.ED1A为直线D1E与平面AAQQ所成的平面角,RLED1A中，ED1A=

8、45：_AE-ADr-iQ. . . 5 5 分法二：以D为坐标原点，射线DA, DC, DD1依次为x,y,z轴轴，建立空间直角坐标系，则点D1（ 0, 0, 1）平面AADQ的法向量为DC =（0,2,0）,设E（1,y ,0,）得D1E = （1, y1）由DE7DC = sin =，得y =，故AE=J?DDC4（2）以D为坐标原点，射线DA, DC, DD1依次为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则点E(1,1,0),A(1,0,1),G(0,2,1),从而DA= (1,0,1),DC/(0,2,1),DE =(1,1,0)设平面DAQ的法向量为n=（x,y,z），由J兰D = 01

9、414、（文）（本题满分 1212 分，第（1 1）小题 5 5 分，第（2 2）小题 7 7 分） 解：（1 1）画出其主视图（如下图），可知其面积S为三角形与正方形面积之和 在正四棱锥P-AB1GD1中，棱锥的高h八2,x z = 02y z二01令n =（-1,1），所以点E到平面2n-FDEnAD的距离为d二=1.=1.9S=丄2.24 f；24. . . 5 5 分2（2）取B1C1中点E1，联结A, E1，丫A1E1_ AE10则N PE1为异面直线AE与PA1所成角在心PA1E1中，A1E1=45,PA1=2 ,又在正四棱锥PABGDi中，斜高为卩巳一、3,4 +5 _3 3 l

10、由余弦定理可得cos三PAjEr =- = J5.6 6 分2 2 45 1033所以/PA1Earccos一5，异面直线AE与PAi所成的角为arccos一-/5 .1分10101515、（本题满分 1414 分，第（1 1）小题 6 6 分，第（2 2）小题 8 8 分）201解：（1 1）由题意知，y=（4 ）p-x-6（p）PPx + 2243将P代入化简得：y=19x（0_x_a） . 6 6 分4x+2 2（2 2）y=22-3（卫x 2）乞22 -3一16（x 2） =102 x+2YX+2上式当且仅当=x=x2, ,即x=2时，取等号。. 4 4 分x +2.当a_2时，促销费

11、用投入2万元时，厂家的利润最大；当a : 2时，易证y在xl0,a 1上单调递增，所以x二a时，函数有最大值。综上：当a_2时，促销费用投入 2 2 万元，厂家的利润最大；当0：a：2时促销费用投入a万元，厂家的利润最大. 4 4 分1616、（本题满分 1515 分，第（1 1）小题 7 7 分，第（2 2）小题 8 8 分） 解：（1 1）、由函数f （x）二sinCx）的周期为二， 0 0，得.=2，T又曲线y = f（x）的一个对称中心为n，0 L（0“）,U丿故fn二sin 2 - =0，得=n，所以f（x）二cos2x .4 4 分14丿I 4丿2将函数f （x）图象上所有点的横坐

12、标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y =cosx的nIn1图象，再将y二cosx的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）=cos x-的图112I2丿象，所以g（x）二sin x所以sinx cos2x sin x cos2x、（理）当时,1 . sin x :20 cos2x：丄,212问题转化为方程2cos2x =sinx sin x cos2x在n, -内是否有解.W 4丿n nx，一6 4.一1兀72虫八厂0，G(iT0，jyk(文)函数y=F(x)当n (nZ)时取得最大值或最小值，当x = nk,即与k22原点距离最近的的最大值和最小值点分别是点(k八3)和,2 2、(理)当

13、t空0或t一4显然不存在符合题意的对称点当0：t：4时，注意到曲线C关于y轴对称，至少存在一对(关于y轴对称的)对称点下面研究曲线C上关于B(0,t)对称但不关于y轴对称的对称点2 2设G(x)二sin x sin x cos2x2cos 2x,且函数G(x)的图象连续不断，故可知函数G(x)在雳内存在零点Xo于是有(2)2d，所以k的取值范围是k _ 21717、(本题满分 1616 分，第(1 1)小题 8 8 分，第(2 2)小题 8 8 分)解：(1)、设M (x, y)，由题意x2(y -1)2| y -3| = 41：当y乞3时，有x2(y -1)2-y 1，化简得:x2=4y2：

14、当y 3时，有.x2(y -1)2= 7 -y,化简得：x2-12( y- 4)(二次函数)综上所述：点M的轨迹方程为4y,y乞3-12(y-4),y 3(如图)-+-3-2-1 0123+ X13设P(X0,y)是轨迹x =4y(y3)上任意一点，贝V x=4y0(y乞3)，它关于B(0,t)2的对称点为Q(-X0,2t-y。)，由于点Q在轨迹x =12(y-4)上，14所以12(，联立方程组g I；一4)( * *)得y0+64 y0= -12(2t -y04)，化简得t 3(0 -y0-3)1当Yo (0,3)时，r (2,3)，此时方程组(*)(*)有两解，即 增加有两组对称点。2当y

15、。=0时，t = 2，此时方程组(*)(*)只有一组解，即增加一组对称点。(注：对称点为P(0,0)，Q(0, 4)*当y0=3=3 时，t = 3，此时方程组(*)(*)有两解为P(2.3,3), Q(-2、3,3)，没有增加新的对称点。0,4,不存在W (0,2), i：1 对综上所述：t =2,2 对 .8 8 分t = (2,3),3 对t 3,4),1 对、(文)若(x0, y0) C，则(-心y0) C，所以曲线C关于y轴对称,所以一对存在关于y轴对称的对称点F面研究曲线C上关于B(0,t)对称但不关于y轴对称的对称点设P(x0,y。)是轨迹x2=4y(y辽3)上任意一点，则2X。

16、=4y(y03)，它关于B(0,t)的对称点为Q(-x,2t-y0),2由于点Q在轨迹x =-12( y-4)上，(* )得2所以(-x)12(2t - y-4),联立方程组 =4yx212(2t-y0-4)4y = 12(2t -y-4)，化简得t二y63当y (0,3)时，t (2,3)，此时方程组(*)(*)有两解，即增加有两组对称点。所以t的取值范围是2 : t : 3151818、（本题满分 1818 分，第（1 1）小题 4 4 分，第（2 2）小题 6 6 分，第（2 2）小题 8 8 分）n（- 1）（n-1）n1 1nV；(2)(2)n:(一) )2 22+（2）2+（2）3

17、+iii+（1）n7c2）n中（2）2+（1）3+（2）nu（t）n制-（扩心,-3n 4n11( (n 2)n: (n - 3)n-n -6时，.3n 4H (n 2)n= (n 3)n无解解：（1 1 ）当n _2时,又、又、ai= Si= 1,所以an= n1(2)(2)、 : :an11-，Tn=1- Jl|n21111 Rn=1 (1一)(1MH (1 22 321 1 1=(n -1)1(n2)?(n3)3 11 j1-_1111111小1=n(11) =n (1；2 3n1n2 3 n1-1)= n -1)(n _ 2)6 6 分n1111n=2时，R订1，2(T2-1)=2(1)=1aaa?2假设n二k(k_2,kN*)时有Rk=1当-二k 1时，Rk二RkTk二k(Tk-1)Tk=(k1)Tk-k =(k1)(Tk1-)-kak -11=(k1)(Tk 1-1 1 )-k = (k 1)(Tk 1-1). n = k 1是原式成立k、（理）T （1m m =1=1 时，m m =3=3 时，n n +2+2n n 3)3)n n 1 1 ) )nn n3 3) )nn n 3 3IIIn1 1 鳥-（汁川（16又当n=1时；3：4,n=2时，3242=52；n=