不等式的性质与一元二次不等式

1、不等式的性质与一元二次不等式1、两个实数比较大小的方法(1)作差法 (a，bR)；(2)作商法 (aR，b>0)2、不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a>bb<a传递性a>b，b>ca>c可加性a>bac>bc可乘性ac>bc注意c的符号ac<bc同向可加性ac>bd同向同正可乘性ac>bd可乘方性a>b>0an>bn(nN)可开方性a>b>0>(nN)a，b同为正数3、不等式的一些常用性质(1)倒数的性质：a>b，ab>0<；a<0<b<；a

2、>b>0,0<c<d>.；0<a<x<b或a<x<b<0<<(2)有关分数的性质：若a>b>0，m>0，则，<；>(bm>0)；>；<(bm>0)4、“三个二次”的关系判别式b24ac>00<0yax2bxc(a>0)的图像ax2bxc0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc>0(a>0)的解集x|x<x1或x>x2x|xx|xRax2bxc<0(a&

3、gt;0)的解集x|x1<x<x25、常用结论(xa)(xb)>0或(xa)(xb)<0型不等式的解法不等式解集a<baba>b(xa)·(xb)>0x|x<a或x>bx|xax|x<b或x>a(xa)·(xb)<0x|a<x<bx|b<x<a口诀：大于取两边，小于取中间选择题：设a<b<0，则下列不等式中不成立的是()A.> B.> C|a|>b D.>解析由题设得a<ab<0，有<成立，即>不成立若a，b，c，则()

4、Aa<b<c Bc<b<a Cc<a<b Db<a<c解析易知a，b，c都是正数，log8164<1，a>b；log6251024>1，b>c，即c<b<a若a，bR，若a|b|<0，则下列不等式中正确的是()Aab>0 Ba3b3>0 Ca2b2<0 Dab<0解析由a|b|<0知，a<0，且|a|>|b|，当b0时，ab<0成立，当b<0时，ab<0成立，ab<0成立下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是()Aa>

5、;b1 Ba>b1 Ca2>b2 Da3>b3解析由a>b1，得a>b1>b，即a>b，而由a>b不能得出a>b1，使a>b成立的充分而不必要的条件是a>b1.已知0<a<，且M，N，则M，N的大小关系是()AM>N BM<N CMN D不能确定解析0<a<，1a>0,1b>0,1ab>0，MN>0已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系是()Acb>a Ba>cb Cc>b>a Da>c>b解析

6、cb44aa2(a2)20，cb.又bc64a3a2，2b22a2，ba21，baa2a1(a)2>0，b>a，cb>a.设a>2，A，B，则A，B的大小关系是()AA>B BA<B CAB DAB解析A22a12，B22a，显然A2>B2已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AM<N BM>N CMN D不确定解析MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a11<0，a21<0，(a11)(a21)>

7、0，即MN>0，M>N.已知xR，m(x1)(x21)，n(x)(x2x1)，则m，n的大小关系为()Amn Bm>n Cmn Dm<n解析m(x1)(x21)(x1)(x2x1)(x1)(x2x1)(x1)，n(x)(x2x1)(x1)(x2x1)(x1)(x2x1)(x2x1)，mn(x1)(x21)(x)(x2x1)(x2x1)x(x1)>0.则有xR时，m>n恒成立已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是()Aab>ac Bc(ba)<0 Ccb2<ab2 Dac(ac)>0解析由

8、c<b<a且ac<0知c<0且a>0，由b>c得ab>ac一定成立设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：>；ac<bc；logb(ac)>loga(bc)其中所有的正确结论的序号是()A B C D解析由不等式性质及a>b>1知<，又c<0，>，正确；构造函数yxc，c<0，yxc在(0，)上是减函数，又a>b>1，ac<bc，知正确；a>b>1，c<0，ac>bc>1，logb(ac)>loga(ac)>loga(bc

9、)，知正确设a，bR，则“(ab)·a2<0”是“a<b”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析由(ab)·a2<0a0且a<b，充分性成立；由a<bab<0，当0a<b时/(ab)·a2<0，必要性不成立设(0，)，0，则2的取值范围是()A(0，) B(，) C(0，) D(，)解析由题设得0<2<，0，0，<2<.若集合Ax|32xx2>0，集合Bx|2x<2，则AB等于()A(1,3) B(，1) C(1,1) D(3,1)解析依

10、题意，可求得A(1,3)，B(，1)，AB(1,1)已知集合Px|x2x20，Qx|log2(x1)1，则(RP)Q等于()A2,3 B(，13，) C(2,3 D(，1(3，)解析依题意，得Px|1x2，Qx|1<x3，则(RP)Q(2,3已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa<0的解集是()A(2,3) B(，2)(3，) C. D.解析由题意知，是方程ax2bx10的根，所以由根与系数的关系得，×，解得a6，b5，不等式x2bxa<0即为x25x6<0，解集为(2,3)若一元二次不等式2kx2kx<0对一切实数x都成立，则k的取值范围

11、为()A(3,0 B3,0) C3,0 D(3,0)解析2kx2kx<0对一切实数x都成立，则必有解之得3<k<0.设a为常数，任意xR，ax2ax1>0，则a的取值范围是()A(0,4) B0,4) C(0，) D(，4)解析任意xR，ax2ax1>0，则必有或a0，0a<4.若f(x)3x2x1，g(x)2x2x1，则f(x)，g(x)的大小关系是()Af(x)g(x) Bf(x)g(x) Cf(x)g(x) D随x的值变化而变化解析f(x)g(x)x22x2(x1)210f(x)g(x)已知函数f(x)则不等式f(x)3的解集为_解析由题意知或解得x1

12、.故原不等式的解集为x|x1设函数f(x)则不等式f(x)>f(1)的解集是()A(3,1)(3，) B(3,1)(2，)C(1,1)(3，) D(，3)(1,3)解析由题意得或解得3<x<1或x>3.已知函数f(x)则不等式f(x)x2的解集为()A1,1 B2,2 C2,1 D1,2解析作出函数yf(x)和函数yx2的图像，如图，由图知f(x)x2的解集为1,1若集合Ax|ax2ax1<0，则实数a的取值范围是()Aa|0<a<4 Ba|0a<4 Ca|0<a4 Da|0a4解析由题意知a0时，满足条件，a0时，由得0<a4，0a

13、4已知不等式x22x3<0的解集为A，不等式x2x6<0的解集是B，不等式x2axb<0的解集是AB，那么ab等于()A3 B1 C1 D3解析由题意，得Ax|1<x<3，Bx|3<x<2，ABx|1<x<2，则不等式x2axb<0的解集为x|1<x<2由根与系数的关系可知，a1，b2，ab3若不等式2x22axa1有唯一解，则a的值为()A. B. C. D.解析若不等式2x22axa1有唯一解，则x22axa1有两个相等的实根，所以4a24(a1)0，解得a，所以选D.若不等式x22x5a23a对任意实数x恒成立，则实

14、数a的取值范围为()A1,4 B(，25，) C(，14，) D2,5解析x22x5(x1)24的最小值为4，所以x22x5a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4，解得1a4填空题：设a>0，且a1，Ploga(a31)，Qloga(a21)，则P与Q的大小关系是_解析由题意可知a>1.(a31)(a21)a2(a1)>0，a31>a21，loga(a31)>loga(a21)，即P>Q.设a>b>c>0，x，y，z，则x，y，z的大小关系是_解析令a3，b2，c1，则x，y，z，故z>y>x.设f(x)ax2bx，若1f(

15、1)2，2f(1)4，则f(2)的取值范围是_解析由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.若关于x的不等式m(x1)>x2x的解集为x|1<x<2，则实数m的值为_解析因为m(x1)>x2x的解集为x|1<x<21，2一定是m(x1)x2x的解，m2.若关于x的方程x2axa210有一正根和一负根，则a的取值范围为_解析由题意可知，>0且x1x2a21<0，故1<a<1对任意的k1,1，函数f(x)x2(k4)x42k的值恒大于零，则x的取值范围是_解析x2(k4

16、)x42k>0恒成立，即g(k)(x2)k(x24x4)>0，在k1,1时恒成立只需g(1)>0且g(1)>0，即解之得x<1或x>3.已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是_解析作出二次函数f(x)的草图，对于任意xm，m1，都有f(x)<0，则有即解得<m<0.已知函数f(x)，若对任意x1，)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是_解析x1，)时，f(x)>0恒成立，即x22xa>0恒成立即当x1时，a>(x22x)g(x)恒成立而g(x)(x22

17、x)(x1)21在1，)上单调递减，g(x)maxg(1)3，故a>3，实数a的取值范围是a|a>3若0<a<1，则不等式(ax)(x)>0的解集是_解析原不等式即(xa)(x)<0，由0<a<1得a<，a<x<.已知关于x的不等式<0的解集是，则实数a_.解析<0(x1)(ax1)<0，依题意，得a<0，且.a2.设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)，则实数a的取值范围是_解析f(x3)f(x)，f(2)f(13)f(1)f(1)<1.<1<0(3

18、a2)(a1)<0，1<a<.若不等式x2ax20在区间1,5上有解，则实数a的取值范围是_解析设f(x)x2ax2，由题知：a280，所以方程x2ax20恒有一正一负两根，于是不等式x2ax20在区间1,5上有解的充要条件是f(5)0，即a.若关于x的不等式axb的解集为，则关于x的不等式ax2bxa0的解集为_解析由已知axb的解集为，可知a0，且，将不等式ax2bxa0两边同除以a，得x2x0，即x2x0，解得1x，故不等式ax2bxa0的解集为.不等式a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立，则实数的取值范围为_解析因为a28b2b(ab)对于任意的a，bR恒成立

19、，所以a28b2b(ab)0对于任意的a，bR恒成立，即a2ba(8)b20恒成立，由二次不等式的性质可得，2b24(8)b2b2(2432)0，(8)(4)0，解得84.解答题：设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)<m5恒成立，求m的取值范围解x2x12>0，又m(x2x1)6<0，m<.函数y在1,3上的最小值为，只需m<即可，m的取值范围是.设二次函数f(x)ax2bxc，函数F(x)f(x)x的两个零点为m，n(m<n)(1)若m1，n2，求不等式F(x)>0的解集；(2)若a>0，且0<x<m<n<

20、;，比较f(x)与m的大小解(1)由题意知，F(x)f(x)xa(xm)(xn)当m1，n2时，不等式F(x)>0，即a(x1)(x2)>0.当a>0时，不等式F(x)>0的解集为x|x<1或x>2；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为x|1<x<2(2)f(x)mF(x)xma(xm)(xn)xm(xm)(axan1)，a>0，且0<x<m<n<，xm<0,1anax>0，f(x)m<0，即f(x)<m.已知f(x)3x2a(6a)x6.(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)

21、若不等式f(x)b的解集为(1,3)，求实数a，b的值解(1)由题意知f(1)3a(6a)6a26a30，即a26a30，解得32a32，不等式的解集为a|32a32(2)f(x)b的解集为(1,3)，方程3x2a(6a)x6b0的两根为1,3，解得，即a的值为3±，b的值为3.专项能力提升若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是()Aa>b B.> Ca>b D.>解析取a2，b1，排除B与D；另外，函数f(x)x是(0，)上的增函数，但函数g(x)x在(0,1上递减，在1，)上递增，当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，

22、即a>ba>b，但g(a)>g(b)未必成立，故选A.设a>0，不等式c<axb<c的解集是x|2<x<1，则abc等于()A123 B213 C312 D321解析c<axb<c，又a>0，<x<.不等式的解集为x|2<x<1，abca213.已知a，b，c满足c<b<a且ac<0，则下列选项中不一定成立的是()A.< B.>0 C.< D.<0解析c<b<a且ac<0，c<0，a>0，<，>0，<0，但b2与a2

23、的关系不确定，故<不一定成立已知函数f(x)ax2bxc(a0)，若不等式f(x)<0的解集为，则f(ex)>0(e是自然对数的底数)的解集是()Ax|x<ln 2或x>ln 3 Bx|ln 2<x<ln 3 Cx|x<ln 3 Dx|ln 2<x<ln 3解析法一依题意可得f(x)a(x3)(a<0)，则f(ex)a(ex3)(a<0)，由f(ex)a(ex3)>0，可得<ex<3，解得ln 2<x<ln 3，故选D.已知函数f(x)(ax1)(xb)，如果不等式f(x)>0的解集是(1,3)，则不等式f(2x)<0的解集是()