不动点原理及其应用

1、题目： 不动点原理及其应用 摘要本文主要讨论了压缩映射原理，Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面。在解决微分方程，积分方程，以及其他方程的解的存在唯一性时，将问题转换为求某一映射的不动点，利用不动点原理进行解决。关键词：压缩映射原理；Schauder不动点定理； 不动点原理应用AbstractIn this paper ,we talked about contraction mapping principle,Schauders fixed point theorem and the application of the fixed point theorem.As we de

2、al with the solutions about differential equation, integral equation and other kinds of equations, it is a useful way to transform the problem into fixed point theorem.We can use it to solve plenty of practice problems too.Keywords: contraction mapping principle; Schauders fixed point theorem;the ap

3、plication of fixed point theorem.目录引言11.压缩映射原理11.1压缩映射原理（距离空间）11.2压缩映射原理（巴拿赫空间）62.Schauder不动点定理83不动点定理的应用9总结11参考文献12引言在微分方程，积分方程以及其他各类方程的理论中，解的存在性,唯一性以及近似解的收敛性都是至关重要的课题，而不动点理论是研究这一问题的有力工具，在本文中我们将着重讨论压缩映射原理，Schauder不动点定理以及不动点的应用三个方面，对每一块内容，我们将给出定理，定理的证明以及具体的实例，通过对具体实例的分析来说明问题。1压缩映射原理1.1压缩映射原理（距离空间） 定

4、义1.1.1：设是度量空间，是到中的映射，若存在数，使得对所有，有，则称T是压缩映射。【1】：设是完备的距离空间，距离为，T是由到其自身的映射，且对任意的 ，不等式， （1.1.1）成立，其中是满足不等式的常数，那么T在X中存在唯一的不动点，既存在唯一的使得=，可用迭代法求得. 证明：在X中任意取定一点，并令，由可证明由于 ，所以，则是X中的基本点列，由X的完备性可知收敛于X中某一点，由（1.1.1）式可知，T是连续映射，在中，令，可得=，因此是T的一个不动点。下证唯一性：设另有使得，则因为，所以，即，唯一性成立。 定理1.1.2：设：是上的映射，若对于某个自然数，有唯一不动点，则以同一点作为

5、唯一不动点。【2】 证明：设是的唯一不动点，则，因此是的不动点，由唯一性可知，又因为的每一个不动点肯定是的不动点，因此的不动点是唯一的。设是矩形上的连续函数，对于每个有 （1.1.2），求证这个方程在中存在唯一解。 证明：考虑映射，则有 （1.1.3）对此进行归纳， （1.1.4）因此对任意的自然数n, （1.1.5）当n足够大时，使，则是上的压缩映射，由于完备，因此有唯一的不动点，根据定理1.1.2，有同一不动点，是方程的解。 例1.1.2设是压缩映射，求证也是压缩映射，并说明逆命题不一定成立. 证明：（1）因为是压缩映射，因此存在存在，使得，则，并且假设成立，那么有：，由数学归纳法可知对任

6、意自然数成立，由于，则，所以是压缩映射。（2） 该命题的逆命题不一定成立，如： ：； ：是压缩映射, ：；不是压缩映射。若 ：；是压缩映射，则有，存在使得，有，则差商是有界的。但若取，有，与差商有界矛盾，故证。 例1.1.3设 满足：（1） 在 上连续；（2） 在 上存在，对于任意的，方程 存在唯一的解 .证明： 是完备的距离空间，T是Ca,b到Ca,b上的连续映射，T不是压缩映射，添加一个参数M进行修正，根据条件，结合中值定理可得：.因此，T是压缩映射，存在唯一，使得.微分方程解的存在性和唯一性， (1.1.6)关于y满足利普希兹条件： ， ,. (1.1.7)其中K>0为常数，过定点

7、的积分曲线只有一条与方程（ 1.1.6）等价的积分方程为：， (1.1.8)取>0满足.在C中定义映射T：则有，. （1.1.9）根据压缩映射原理，存在唯一的连续函数 使得：，由此，就是微分方程过的积分曲线。设T是度量空间下的压缩映射，求证T是连续的。证明：只需证当时，有，根据假设，存在使得成立，因此当，成立因，此，.1.2压缩映射原理（巴拿赫空间）下面讨论压缩映射原理在巴拿赫空间下的情形。定理 1.2.1：设X是巴拿赫空间，设：非线性映射，并且有 ， ， （1.2.1） 其中满足不等式， 那么在中有唯一的不动点，且由（1.2.1）式可知是连续映射。【3】 证明：在X中任意取定一点，并令

8、，k=0,1,2 ， 因此， ，k=0,1, 于是有，如果,，因此， 是X中的柯西列，那么存在一点，在中点列，有，因此是的不动点，公式（1.2.1）保证了唯一性。由于巴拿赫空间是特殊的度量空间，其应用与定理1.1.1类似，在此不再详述，对于该部分的详细内容可参考张恭庆，林源渠，泛函分析讲义一书。 （1.2.2）这里，U是开的有界集，边界光滑，时间T>0是固定的，我们假定初始函数属于，设 是利普希兹连续 （1.2.3）这个假设表明： （1.2.4）对于成立。我们说函数，, （1.2.5）是（1.2.2）的一个弱解，并有 a.e. , (1.2.6)对于每一个 ，且有 （1.2.7）在（1.

9、2.6）式中，代表和的匹配，B是与相关的，代表着上的内积。2 Schauder不动点定理我们先讨论一个重要的不动点定理Brouwer不动点定理。 定理2.1：（Brouwer不动点定理）设是中的闭单位球，又假设是一个连续映射，那么必有一个不动点. 推论2.1：设是中的紧凸子集，是连续的，则必有一个在上的不动点。 证明：由于与中的一个单位球同胚，记此同胚为，考察映射，显然有，对应用Brouwer不动点定理，存在，使得成立，据此可知是的不动点。为了讨论无限维空间中的情形，我们引入Schauder不动点定理。 定理2.2：（Schauder不动点定理）设是凸的紧集，并且假定是连续的，那么在中有不动点

10、。【4】 证明：给定,选定有限个点，于是开球覆盖，即， （2.1.1）因为是紧的，所以（2.1.1）成立，让表示由点列组成的闭凸壳： （2.1.2）因为是紧的，则有，现在定义：， （） （2.1.3）由（2.1.1）式可知，分母不为零。现在证明是连续的：对于每个，有 ， （2.1.4）考虑下一个由 定义的算子，那么与单位球是同胚映射，定理（2.1）保证了 （2.1.5）的存在性。因为是紧集，存在点列和，使得在中，我们断言是的不动点，事实上，根据（2.1.2）有，又因为是连续的，可得。 例2.1设函数在上二元连续（有常数M是的成立），证明常微分方程初值问题的存在性定理。 证明：考虑中的球上的映射

11、：，下面证明对足够小的，映到自身，并且是紧的，因为：，所以连续，在下的像是紧的应用Schauder不动点定理，故证。3 不动点定理的应用下面通过对一个实际问题的研究，来探讨不动点理论的应用。问题背景：把椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，放不稳，但挪动几次就可以使四只脚同时着地。问题假设：1.椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触处能够看为一个点，椅子四个角连线成正方形；2.地面可以视为连续曲面；3.地面时相对平坦的，即椅子在任何地方都有四只脚着地。【5】问题分析：椅子脚连线成正方形，可以考虑以椅子中心为对称点，正方形绕中心的旋转代表椅子位置的改变，所以能够用旋转角度表示椅子的位置，椅子四脚

12、连线为正方形ABCD。AC连线与x轴重合，椅子绕中心旋转后，AC与x轴的夹角表示椅子的位置。设AC两脚与地面距离之和为，BD两脚与地面距离之和为，由假设可知，中至少有一个为零，假设在时，问题转化为这样的数学问题：已知，是的连续函数，对任意，并且有问题求解：将椅子旋转，对角线AC与BD互换，由可知，令，有根据定理2.1，可知必存在使得，又因为，所以。总结本文浅略分析了不动点原理的相关内容，主要从压缩映射原理，Schauder不动点定理以及压缩映射原理的应用三个方面出发，在讨论压缩映射原理时，是主要考虑到空间的不同，将内容分为两块，度量空间下的和巴拿赫空间下的，并且分别给出了在不同空间下的定义，定

13、理以及证明，在最后给出例题及详细证明。除了本文中介绍的不动点定理外，还有很多不动点定理，例如Brouwer不动点定理，Schaefer不动点定理等，Schaefer不动点定理在非线性偏微分方程的理论中有大量的应用，对该不动点定理的详解和证明可以参考Lawrence C.Evans. Partial differential equations 一书 。在完成本文时我参考了大量泛函分析和偏微分教程，重新学习了集合论，映射等原理相关的内容，对我自身数学素养的提高有相当帮助，同时也锻炼了我写作论文的能力，对格式的熟悉程度。参考文献：1 王声望 郑维行. 实变函数与泛函分析概要 北京：高等教育出版社 2010.72 Lawrence C.Evans. Partial differential equations . America Mathematical society 3 朱长江 邓引斌 . 偏微分方程教程 .科学出版社4欧阳光中 朱学炎 金福临 陈传章 . 数学分析. 高等教育出版社5 姜启源 谢金星 叶俊 . 数学模型（第三版）.