中南大学研究生入学考试数学分析试题

1、中南大学2002-2011年研究生考试数学分析试题2002年一、求下列极限（1）；（2）；（3）。二、（共16分，每小题8分）设函数，（1）证明连续；（2）是否一致连续？（请说明理由）。三、（共16分，每小题8分）（1）设，求阶全微分；（2）设，变换以下方程。四、（共20分，每小题10分）（1）求积分；（2）求曲面 ，和所围成的体积。五、（共12分，每小题6分）设，（1）求的条件收敛域；（2）求的绝对收敛域。六、证明：积分是参数的连续函数。七、（8分）设定义于上的函数存在三阶的导函数，且，证明：。2003年一、（共27分，每小题9分）求下列极限（1）；（2）；（3）设在上可积，且，求。二、（共

2、24分，每小题12分）设函数在上连续，（1）证明：若存在，则在上一致连续；（2）上述逆命题是否成立？（请给出证明或举出反例）。三、（共27分，每小题9分）设（1）求偏导数和；（2）讨论函数和在原点的连续性；（3）讨论在原点的可微性。四、（共30分，每小题15分）（1）求在处的幂级数展开式及其收敛半径；（2）计算三重积分，其中是由曲面与平面所围的区域。五、（12分）计算下列曲面积分，其中，积分是沿曲面的外侧。六、（共15分，每题5分）设（1） 求关于的收敛性；（2）在上述收敛域中是否一致收敛？（3）讨论的条件收敛性和绝对收敛性。七、（共8分，每题4分）设，发散，记，证明：（1）发散； （2）收敛

3、。八、（8分）设定义于的实值函数在右连续，且对任何实数，都满足证明： （为常数）2004年1证明：若数列收敛，则它有且只有一个极限。 （20分）2证明下列结论：（a）； （10分）（b）序列收敛。 （20分）3设在上连续，且，证明：在上，恒有。（20分）4在区间和上，分别讨论级数的一致收敛性。 （20分）5考察函数在原点处的可微性。 （20分）6设是闭区间上的连续函数，且在开区间内没有极值点，则是的严格单调函数。 （20分）7设和满足及 又设可微，非增，则 （20分）2005年一、（共30分，每小题10分）（1）求极限（2）求极限（3）设证明其中，二、（共20分，每小题10分）分别讨论函数在下

4、列区间中是否一致连续：（1），这里为随便多大的正数；（2）在区间上。三、（20分）证明下列拉格朗日定理并叙述其几何意义：“若函数在上连续，在上可导；则在内至少存在一点，使。”四、（20分）求半径为的球内嵌入有最大体积的圆柱体的体积。五、（共36分，每小题12分）（1）求积分；（2）求第一类曲面积分其中为体积的边界；（3）分别研究函数项级数在下列区间上的一致收敛性：（a）在上，其中（b）在上。六、（12分）设是上的非负可积函数序列，且存在。若，有；证明对任何一个上的连续函数都有。七、（12分）设，都是周期函数，且；证明。2006年一、 判断题：（每题5分，共25分）（1） 若级数收敛，则 （）；

5、（2） 收敛的数列一定有界. （）；（3） 开区间内可导的函数一定在闭区间上连续. （）；（4） 若函数在点附近具有二阶连续导数，且，则在处达到极小值. （）；（5） 若函数在上有定义且是连续的，而且极限存在且有限，则在此区间上一致连续. （）.二、 求下面数列的极限值：（每小题10分，共30分）（1）其中为常数；（2）；（3）三、 求下列函数的极值：（每小题10分，共20分）（1）；（2）四、 （20分）设收敛，收敛，试证明级数收敛.五、 （15分）若非负函数在上连续，且则六、 （20分）设在上连续，证明其中七、（20分）若函数（1）在区间上有二阶导函数，（2）则在区间内至少存在一点使得20

6、07年一、 判断题：（正确的打，错误的打×，每题5分，共25分）（1） 任何定义在上的函数都可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和。 （）（2） 设连续且，则 （）（3） 若序列收敛，则和必有一序列收敛。 （）（4） 若对任意，函数在上连续，则在内连续。 （）（5） 若函数在内连续且有极大值点，则。 （）二、 求下列极限值：（每小题10分，共20分）（1）；（2）其中三、 （20分）求曲线在点处的切线方程和法线方程。四、 （15分）试证明时五、 （20分）试求六、 （25分）设为的连续函数，证明七、 （25分）设函数在上可导且非常数函数，试证明，在中至少存在一点，使得2008年一、判断

7、题（5分，共25分）（1） 若函数在闭区间上一致连续，则在开区间内可导（2） 设在闭区间上连续，在内每一点存在有限的左导数，且，则至少存在一点使得在处的左导数等于0（3） 若序列和序列都收敛，则序列和序列必收敛（4） 若函数是在区间上的连续递增函数，则在内可导且（5） 若序列收敛，则它一定有界一、 计算题（10分，共20分）（1）求级数（2）求积分三、（20分）在什么条件下三次抛物线与轴相切？并求出其切点四、（15分）设函数在区间内有有界的导函数，证明在内一致连续五、（20分）若在区间内可导，且，证明六、（25分）设：（i）在闭区间上有二阶连续导数；（ii）在区间内有三阶导函数；（iii）且下

8、面等式成立：及证明在内存在一点使得七、（25分）设0且，定义函数证明（i）是内的下凸函数（ii）在内有根的充要条件是02009年一、 计算题（10分，共60分）1、 计算极限2、 已知，求3、 已知条件收敛，计算极限4、 求空间曲线在处的法平面方程5、 计算曲面被柱面所截下那一部分的面积6、 计算，其中是曲面上的部分，并取外侧二、（20分）证明在上一致连续，但不一致连续三、（15分）已知在处取得极小值。假设在邻域内有连续的二阶偏导数，证明四、（20分）求幂级数的收敛域；如果其和函数是，证明：时恒有五、（25分）设在内是可微函数，令如果，求六、设，证明函数列在上一致收敛2010年1. 计算题(每小题10分，共60分)1. 计算极限 2. 设f(x)具有二阶导数，在x=0的某个去心邻域内f(x)0，且 求 3. 求曲面 上平行于平面 的切平面方程，并求切点处的法线方程.4. 设 当 时，求 .5. 计算曲面积分 ， 其中S为球面 .6. 计算 其中是边长为a的正立方体的表面，并取外侧.2. 设 在上连续，且 证明 (20分).3. 设是由所围成的闭区域，求函