浙江省温州市瑞安中学2015-2016学年高二数学下学期期中试卷(含解析)

1、 2015-2016 学年浙江省温州市瑞安中学高二（下）期中数学试卷 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求. 1.设集合 A=x| - 2W x 0，则集合 AQB 等于（ ） A. 2. A. 3. x| - 2W xw- 1B. x| - 2W xv- 1C . x| - 1 x 3D. x|1 v x 3 下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（ 0, +R）上单调递增的是（ y=B. y= - x2+1C. y=2xD. y=lg|x+1| i 已知某三棱锥的三视图（单位： cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于

2、（ 正（主视图 侧（左观區 A. 3cm D. 9cm 1 4. A. C. 5. A. B. C. D. 3 俯视團 cm3B. 2cm3C. 2 已知 a, b 为实数，则a+bw2”是awl 且 bw 1的（ 充分不必要条件 B.必要不充分条件 充要条件 D.既不充分也不必要条件 下列命题中错误的是（ 如果平面 如果平面 如果平面 如果平面 6. ） a丄平面3 ,过a内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于 a丄平面3，那么平面a内一定存在直线平行于平面 3 a不垂直于平面 3，那么平面 a内一定不存在直线垂直于平面 3 a丄平面 丫，平面3丄平面 Y , a A 3 =l，那么 I

3、丄丫 为得到函数.：L. 丫，平面3丄平面丫 , 的图象，只需将函数 y=sin2x的图象（ A. 向左平移个长度单位 0 B.向右平移二-个长度单位 6 C. 向左平移丄个长度单位 D.向右平移个长度单位 2 2 _ 7已知双曲线 |一 与圆：.-|厂一-.交于 a bz A B、_C_D 四点，若四边形 ABCD 是正方形，则双曲线的离心率是（ ） A.亠、.汀 B .匸込C . 1 - D . -J &设 a0, y0, x+2y=1，则工；丄的最小值为 1 y Cj 14. “斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列 an中，a1=1, a2=1, an+2=an+

4、1+an (n N)贝 9 a8= ；若 a2018=m+1，则数列an的前 2016 项和 是 _ .(用 m 表示). 15. _ 已知函数 f (x) =x2+bx+2 , g (x) =f (f (x),若 f (x)与 g (x)有相同的值域，则 实数 b 的取值范围是 . 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 16.如图所示，在四边形 ABCD 中, (1 )求厶 ACD 的面积； 护 -I 17. 已知数列 a n 是公差不为零的等差数列, a1=1，且 a2, a4, 成等比数列. (I)求数列an的通项公式; (H)设数列bn

5、满足: a1b+a2b2+a3b3+anbn=2n+1, N* ,令 Cn=- 2 n+1 ,n N,求数列c nCn+1 (2)若 BC=2 一，求 AB 的长. 3 / D=2Z B,且 AD=1, CD=3 cos / B= P 3 的前n项和S. 18. 如图，已知平面 QBC 与直线 PA 均垂直于 Rt ABC 所在平面，且 PA=AB=AC (I)求证：PA/平面 QBC (H) PQL 平面 QBC 求二面角 Q- PB- A 的余弦值.4 19. 已知抛物线 C: y2=2px ( p 0),其焦点为 F (1, 0),过 F 作斜率为 k 的直线交抛物线 C 于 A B 两

6、点，交其准线于 P 点. (I)求 P 的值； (H)设|PA|+|PB|=入|PA|?|PB|?|PF| ，若 k , 1，求实数 入的取值范围. 4 20. 已知函数 f (x) =x2- 1. (1) 对于任意的 Kxw 2,不等式 4吊氏(x) |+4f (m)w|f ( x - 1) |恒成立，求实数 m 的取值范围； (2) 若对任意实数 X1 1 , 2.存在实数 X2 1 , 2，使得 f (xj =|2f (X2)- ax?|成立, 求实数 a 的取值范围.5 2015-2016 学年浙江省温州市瑞安中学高二（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小

7、题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求. 1. 设集合 A=x| - 2 x 0，则集合 AQB 等于（ ） A. x| - 2x- 1B. x| - 2xv- 1C . x| - 1vx 3D. x|1 vx 0=x|x - 1, 又集合 A=x| - 2 xw 3，贝U An B=x| - 1 v x 3, 故选：C. c丿 2. 下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（ 0, +R）上单调递增的是（ ） A. y=2B. y= x2+1C. y=2xD. y=lg|x+1| 1 【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；函数的图象. 【

8、分析】根据题意，结合常见的基本初等函数的图象与性质， 对选项中的函数进行判断即可. 【解答】 解：对于 A 函数 y=的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，不满足题意； 对于 B,函数 y= - x2+1 的图象是轴对称图形，在区间（0, +8）上是单调减函数，不满足 题意； 对于 C,函数 y=2x的图象不是轴对称图形，.不满足题意； 对于 D,函数 y=lg|x+1|的图象是关于直线 x= - 1 对称的图形，且在区间（0, +8）上是单 调增函数，满足题意. 故选：D. * 3. 已知某三棱锥的三视图（单位： cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（ ） 八 d 3 小 3 小 3 小

9、3 A. p cm B. 2cmC. 3cm D. 9cm 2 【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】该三棱锥高为 3,底面为直角三角形. 6 【解答】 解：由三视图可知，该三棱锥的底面为直角三角形，两个侧面和底面两两垂直,7 v= x _x 3x 1 x 3=三. 3 2 2 故选 A. 4. 已知 a, b 为实数，则a+bw2”是awl 且 b 1”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【解答】 解：若 a=- 4, b=1，满足 a+b

10、w2,但 a1且 b0 在（a, b） 上恒成立，贝U 3x +a0, 2x+b0 或 3x +a 0, 2x+b0,结合一次函数和二次函数的图象和性质，可得 a, b 的范围，进而得到答案. 解得，x2=c2 由于四边形 则有 x2=y2, ABCD 是 正 方形, K4 K4 即为 c2-= 2 b4 y= 一， c c2 0 2 /、 -0在（a, b）上恒成立， 2 2 3x +a0, 2x+b0 或 3x +a 0, 2x+b0 在（a, b）上恒成立，则 2a+b0, 即卩 b 2a0, 此时当 x=0 时，3x +a=a0不成立， 若 2x+b0在（a, b）上恒成立，则 2b+

11、b 0, 即卩 b 0, 若 3x2+aW0 在(a, b)上恒成立，则 3a2+a 0,即-a 0, 解得入1 或入V-, 06 _ 6 3 + 1 0, 12 综上所述 入的范围为入|入1 或入 V- 3 故答案为： (0,- 6), 入 | 入 1 或入 V - * O1 11. 已知过点(1, 1)的直线 I与圆 C: x2+y2- 4y+2=0 相切，则圆 C 的半径为 】，直 线 I的方程为 x - y=0 . 【考点】 直线与圆的位置关系. 由题意可得对两式平方相减即可得出答案. 解：为 AC 的中点，：=2| -I, 亦厂f4屮=36, I、. f、 % 1 .2 丄* r +

12、 ： * -得： 0, H5. 故答案为：5. 13. 已知 x 0, y0, x+2y=1，则-的最小值为 4 . K y 【考点】基本不等式. 【分析】 把圆 C 的方程化为标准方程， 写出圆心与半径， 验证点 直线 CP 的斜率， 【解答】解：圆 化为标准方程是： 所以圆心坐标为 (1, 1)在圆 C 上，求出 从而求出直线 I的斜率和方程. 2 2 C: x +y - 4y+2=0, 2 9 x+ (y - 2 ) =2, C (0, 2),半径 r=; 又点 P ( 1, 1 )满足方程 x2+y2 - 4y+2=0, 所以点 P 在圆 C 上, 1-2 又直线 CP 的斜率为心=

13、=-1, 1-0 所以直线 I的斜率为 k=1, 直线 I方程为 y - 1=x - 1,即 x - y=0. 故答案为：.，x- y=0. 12.在 ABC 中，AC=4 M 为 AC 的中点，BM=3 则瓦?环= 【考点】 平面向量数量积的运算. 【分【解、5 13 【分析】x 0, y 0, x+2y=1，则一-；=亠+ = + +2,再根据基本不等式即可求出. x y K y x y 【解答】 解：x0, y0, x+2y=1，则厶丄=二+丄二=+_1+22 ； . +2=4,当且仅当 x y x y x y y x X=y= 丁时取等号， 故则三丿的最小值为 4, x y 故答案为：

14、4. 14. “斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列 an中，ai=1, a2=1, an+2=an+i+an (n N*)贝 9 a8= 21 ;若 a20i8=m2+1，则数列a n的前 2016 项和是 ml .(用 m 表示). 【考点】数列的求和. 【分析】 由 ai=1, a2=1, an+2=an+i +an (n N), a3=1+仁 2,冋理可得：a4, a5, a6, a7, a8 * 由于 ai=1, a2=1, an+an+i=an+2(n N),可得 ai+a2=a3, a2+a3=a4, as+a4=a5,，a20i6+a20i7=a20i8.以 上

15、累加求和即可得出 【解答】 解：Ta i=1, a2=1, an+2=an+i+an (n N) , a 3=1+ 仁 2, 同理可得：a4=3, a5=5, a6=8,贝U a7=13, a8, =21. * a i=1 , a2=1, an+an+i=an+2 (n N), a i+a2=a3 , a2+a3=a4 , a3+a4=a5 , , a2015+a2016=a2017 a2016+a2017=a2018. 以上累加得， ai+&+a2+a3+a3+a4+2a20i6+a20i7=a3+a4+a20i8 , 2 2 a i+a2+a3+a4+a20i6=a20i8 - a

16、2=m+1 1=m , 故答案分别为：21 ; m2 15. 已知函数 f (x) =x2+bx+2 , g (x) =f (f (x),若 f (x)与 g (x)有相同的值域，贝 U 实数 b 的取值范围是 b4或 bw- 2 . 【考点】二次函数的性质. 【分析】 首先这个函数 f (x)的图象是一个开口向上的抛物线，也就是说它的值域就是大 于等于它的最小值.F (x) =f (f (x)它的图象只能是函数 f (x)上的一段，而要这两个 函数的值域相同，则函数 F (x)必须要能够取到最小值，这样问题就简单了，就只需要 f (x)的最小值小于-4. 2 【解答】解：由于 f (x) =

17、x2+bx+2, x R.则当 x=-f 时，f (x) min=2-, 2 4 又由函数 F(x) =ff (x)与 f ( x)在 x R 时有相同的值域， 14 则函数 F (x)必须要能够取到最小值，即 2-w-,一， 4 得到 b4或 bw- 2 所以 b 的取值范围为 b4或 bw- 2.15 故答案为：b4 或 bw- 2. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (1 )求厶 ACD 的面积； (2)若 BC=2，求 AB 的长. 【分析】(1)利用已知条件求出 D 角的正弦函数值，然后求厶 ACD 的面积; (2)利用余弦定理求

18、出 AC,通过 BC=2 _ 【解答】 解：(1)因为/ D=2Z B, cos / B= 2 1 所以 cosD=cos2B=2cos B-仁-. 3 因为/ D( 0, n ), 所以 sinD=. 3 因为 AD=1, CD=3 XAJx _ 所以 ACD 的面积 S=_：,. ；.|.= =- 乙 01 (2)在厶 ACD 中，AC=AD+DC-2AD?DC?cosD=12 所以 AC=2/ 因为 BC=2 , -， 缶 AR 魅 所以-： . - / !=匚 所以 AB=4 17. 已知数列an是公差不为零的等差数列， a1=1,且 a2, a4, a8成等比数列. (I)求数列an

19、的通项公式； 的前 n项和 Sn. 16如图所示，在四边形 ABCD 中，/ D=2Z B,且 AD=1, CD=3 cos/ B= V ，利用正弦定理求解 AB 的长. 4 * A (H)设数列bn满足: a1b+a2b2+a3b3+anbn=2n+1, n N,令 Cn= ,n N ,求数列c nCn+1 16 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的性质. 【分析】(I )禾 9 用等差数列与等比数列的通项公式即可得出； (II )禾U用递推式可得气一二(n2),再利用“裂项求和”即可得出. n n 【解答】 解：(I)设等差数列an的公差为 d, a 1=1,且 a2, a4

20、, a8成等比数列. 一)厂二，即 I .-I： i I !, 解得 d=0 (舍)或 d=1, 数列an的通项公式为 an=ai+ (n- 1) d=n,即 an=n. (11 )由：一卜- 、： J，；.、, I r, ： ：； - (n2), 两式相减得 !i ，即 r 二二(n2), n n n . i i - m -:. ！ ii- 1 - ；,. n 2 3 3 4 n+1 n+2 2 n+2 2 (n+2) 18. 如图，已知平面 QBC 与直线 PA 均垂直于 Rt ABC 所在平面，且 PA=AB=AC (I)求证：PA/平面 QBC (H) PQL 平面 QBC 求二面角

21、Q- PB- A 的余弦值. 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定. 【分析】(I)利用线面垂直的性质定理及线面平行的判定定理即可证明； (H)方法一：利用三角形的中位线定理及二面角的平面角的定义即可求出. 方法二：通过建立空间直角坐标系，利用平面的法向量所成的夹角来求两平面的二面角的平 面角. 【解答】 解：(I )证明：过点 Q 作 QDL BC 于点 D, 平面 QBC_平面 ABC - QDL平面 ABC 17 又TPAL 平面 ABC18 QD/ PA 又T QD?平面 QBC PA?平面 QBC PA/平面 QBC (n)方法一： PQL 平面 QBC / PQBM

22、PQC=90，又 T PB=PC PQ=PQ PQB2A PQC. BQ=CQ 点 D 是 BC 的中点，连接 AD 贝 U ADL BC, ADL 平面 QBC - PQ/ AD ADLQD 四边形 PADC 是矩形. 设 PA=2a, l. ，PB=2F “.a , 1! 过 Q 作 QRL PB 于点 R, QR点口_ 一 QR= 一 = , 2V2a 2 取 PB 中点 M 连接 AM 取 PA 的中点 N 连接 RN T PRPI ,；二匸,F 二 1 F 上, MA/ RN T PA=AB AML PB RNL PB. / QRN 为二面角 Q- PB- A 的平面角. 连接 QN

23、 则 QN=1：.一.宀=.又 l 7 3 2 1 2 _ o 2 cos / QRN=八 yy、/， 即二面角 Q- PB- A 的余弦值为 二 3 (n)方法二：T PQL 平面 QBC / PQBM PQC=90 ,又 T PB=PC PQ=PQ PQB2A PQC BQ=CQ 点 D 是 BC 的中点，连 AD,贝 U ADL BC ADL 平面 QBC - PQ/ AD ADLQD 四边形 PADQ 是矩形. 分别以 AG AB AP 为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 不妨设 PA=2 则 Q (1 , 1 , 2), B (0 , 2 , 0) , P (0 , 设平面 QPB

24、 的法向量为/.二. VI 3 0 xyz . 0 , 2), 19 T = ( 1, 1 , 0), - ( 0, 2, - 2).x+y=0 2y - 2z-0 令 x=1 ,贝 H y=z= - 1. 又T平面 PAB 的法向量为.丄 U： x 7 20 又二面角 Q- PB- A 是钝角 19. 已知抛物线 C: y2=2px ( p 0),其焦点为 F (1, 0),过 F 作斜率为 k 的直线交抛物线 C 于 A B 两点，交其准线于 P 点. (I)求 P 的值； (H)设 |PA|+|PB|=入 |PA|?|PB|?|PF| ，若 k , , 1，求实数 入的取值范围. 设二面

25、角 Q- PB- A 为 0，则 |cos 0 |= i：:On；7. 21 x 7 22 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】(I)运用抛物线的焦点坐标，计算即可得到所求方程； (H)由题可知：直线 AB 的方程为 y=k( x - 1) (kz 0)，准线 I的方程为 x= - 1，设 A (Xi, yi), B( X2, y2),联立抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，运用不等式的 性质，即可得到所求范围. 解得 .， 2(1+k2) 因为 k , 1,所以 入 , . 4 4 17 20. 已知函数 f (x) =x2- 1. (1) 对于任意的 Kxw 2,不等式 4吊氏(x) |+4f (m)w|f ( x - 1) |恒成立，求实数 m 的取值范围； (2) 若对任意实数 X1 1 , 2.存在实数 X2 1 , 2,使得 f (xj =|2f (X2)- ax?|成立， 求实数 a 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质. _ 2 【分析】(1)由题意可得 4 卅(|x 2- 1|+1| w 4+|x 2 - 2x| ,由 1w x I , 由 1w