一阶微分方程的.ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 一阶微分方程的 习题课 (一)解法及应用 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键关键: 辨别方程类型辨别方程类型 , 掌握求解步骤掌握求解步骤2. 一阶非标准类型方程求解 变量代换法代换因变量代换某组合式三个标准类型可分离变量方程 齐次方程 线性方程 代换自变量目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求下列方程的通解求下列方程的通解; 0e1) 1 (32xyyy提示提示: (1),eee33xyxy因故为分离变量方程:通解;)3(22yyxyx.21)4(2yxy;23)2(22xyyxy

2、xyyxydede32Cxyee313(2) 这是一个齐次方程 ， 令 y = u x ,化为分离变量方程:xxuuud3d22目录 上页 下页 返回 结束 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , ,0时xyyxyx22)3(时，0 x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令 y = u x ,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位 ,221)4(yxy,2dd2yxyx用线性方程通解公式求解 .化为目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求下列方程的通解求下列方程的通解:)lnln() 1(yxyyyx提示提示: (1)令 u = x y , 得(2) 将方程改写为0d)1ln(

3、dln2)2(2xxyyyxxyyxxyxy22363)3(22uxuxulndd)(ln)(yxyyxxyyxxxy2ln21dd3(伯努利方程) 2 yz令(分离变量方程)原方程化为目录 上页 下页 返回 结束 令 y = u tyyxxyxy22363)3(22) 1(2) 1(3dd22xyyxxy(齐次方程)ytytty23dd22令 t = x 1 , 那么tyxttyxydddddddd可分离变量方程求解化方程为目录 上页 下页 返回 结束 例例3.设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f (x), g(x) 在(,+)内满足以下条件:, 0)0(),()(),()(fxf

4、xgxgxf且(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;(2019考研) (2) 求出F(x) 的表达式 .解解: (1) )()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)e2(2xFx所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:.e2)()(xxgxf目录 上页 下页 返回 结束 (2) 由一阶线性微分方程解的公式得CxxFxxxdee4e)(d22d2Cxxxde4e42代入上式，将0)0()0()0(gfF1C得于是 xxxF22ee)(xxFxF2e4)(2)(xxC22ee目录 上页 下页 返回 结束 练习题练习题:(题3只考

5、虑方法及步骤)P353 题2 求以1)(22yCx为通解的微分方程.提示提示:1)(22yCx02)(2yyCx消去 C 得1) 1(22 yyP353 题3 求下列微分方程的通解:xyyyx2) 1 (提示提示: 令令 u = x y , 化成可分离变量方程化成可分离变量方程 :uu2) 1ln(ln)2(xxayxyx提示提示: 这是一阶线性方程这是一阶线性方程 , 其中其中,ln1)(xxxP)ln11()(xaxQP353 题1，2，3 (1), (2), (3), (4), (6), (9), (10)目录 上页 下页 返回 结束 )ln(2dd)3(xyyxy提示提示: 可化为关于

6、可化为关于 x 的一阶线性方程的一阶线性方程yyxyyxln22dd0dd)4(33yxyxxy提示提示: 为伯努利方程为伯努利方程 , 令令2 yz2(6)10y yy 0d)3()9(24xyxyxyd提示提示: 可化为伯努利方程可化为伯努利方程xyxyxy43dd令2xz 公式 提示提示: 为可降阶方程为可降阶方程 , 令令)(yppyp目录 上页 下页 返回 结束 原方程化为 yxxy2)10(xyxu2, 即,22uuxy那么xydduxuuxudd)(22故原方程通解Cyxxyx23)(33222ddxuuxuuxd2eCuuude2d2Cuuud21222232uCu u2xux

7、dd2xuudd2提示提示: 令令目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设河边点设河边点 O 的正对岸为点的正对岸为点 A , 河宽河宽 OA = h, 一鸭子从点 A 游向点二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件.为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O ,h提示提示: 如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系. 设时刻t 鸭子位于点P (x, y) ,设鸭子(在静水中)的游速大小为bP求鸭子游动的轨迹方程 . O ,水流速度大小为 a ,两岸 ),(ab )0,(aa abyxAO那么关键问题是正确建立数学模型, 要点:则鸭子游速 b 为目录

8、 上页 下页 返回 结束 hPabAyxO定解条件 a由此得微分方程yxvvyxddyxybyxa22即v鸭子的实际运动速度为( 自己求解 )0hyxyxddyxyxba12( 齐次方程 )bb,dd,ddtytxv bav2222,yxybyxxb2222,yxyyxx),(yxPO目录 上页 下页 返回 结束 考虑考虑: 能否根据草图列方程能否根据草图列方程?Oyx练习题练习题:P354 题 5 , 6P354 题题5 . 已知某曲线经过点已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 .提示提示: 设曲线上的动点为设曲线上的动点为 M (x,y),)(xX

9、yyY令 X = 0, 得截距, xyyY由题意知微分方程为xxyy即11yxy定解条件为.11xyyxxtanx此点处切线方程为它的切线在纵11),(yxMY目录 上页 下页 返回 结束 P354 题题6. 已知某车间的容积为已知某车间的容积为,m630303,CO%12. 02的其中含的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空2CO气中的含量不超过 0.06 % ?提示提示: 设每分钟应输入设每分钟应输入,m3k t 时刻车间空气中含2CO,m3x为则在,ttt内车间内2CO x两端除以 ,t并令0t25005400ddkxktx与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 )得微分方程tk10004. 0txk54005400( 假定输入的新鲜空气 2CO%04. 0现以含输入 , 的改变量为 目录 上页 下页 返回 结束 t = 30 时5406. 0540010006. 0 x2504ln180k25005400ddkxktx5412. 0