北京专用高考数学一轮复习第三章导数及其应用第四节导数与函数的综合问题夯基提能作业本文

1、北京专用高考数学一轮复习第三章与数及其应用第四节与数与函数的综合问题夯基提能作业本文A组基础题组1.若某商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y=-x3+27x+123(x>0),则获得最大年利润时的年产量为()A.1百万件B.2百万件C.3百万件D.4百万件2.(2014课标I,12,5分)已知函数f(x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()A.(2,+8)b.(1,+oo)C.(-°0,-2)D.(-°0,-1)3.(2016北京朝阳期中)已知函数f(x尸alnx+E-(a+1)x.(1)当a

2、>0时，求函数f(x)的单调区间(2)当a=-1时，证明f(x)4.(2018北京海淀期中)已知函数f(x尸x3-x,g(x)=2x-3.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)在0,2上的最大值；求证：存在唯一的Xo,使得f(x0)=g(x0).5.(2016北京海淀二模)已知f(x)=x3+ax2-a2x-1,a>0.当a=2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若关于x的不等式f(x)<0在1,+8)上有解，求实数a的取值范围；(3)若存在x0既是函数f(x)的零点，又是函数f(x)的极值点，请写出此时a的值.(只需写出结论)B组提升题

3、组16.(2017北京西城一模)已知函数f(x)=ex-5x2.设l为曲线y=f(x)在点P(x。,f(x0)处的切线，其中xoC-1,1.(1)求直线l的方程(用x0表示)；(2)求直线l在y轴上的截距的取值范围；设直线y=a分别与曲线y=f(x)和射线y=x-1(xC0,+8)交于M,N两点，求|MN|的最小值及此时a的值.7.(2018北京海淀期末)已知函数f(x)=(x-1)ex+ax2.求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(2)求证：“a<0”是“函数f(x)有且只有一个零点”的充分不必要条件168.(2016北京东城二模)设函数f(x)二4x,aCR.若a=-1

4、,求f(x)在区间>可上的最大值；(2)设bw。,求证：当a=-l时，过点P(b,-b)有且只有一条直线与曲线y=f(x)相切;1/2若对任意的xCJ,均有f(x)|x-1|<1成立，求a的取值范围.9.(2017北京朝阳一模)已知函数f(x尸x3-3ax+e,g(x)=1-lnx,其中e为自然对数的底数.若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线l:x+2y=0垂直，求实数a的值；一屋G'百(2)设函数F(x)=-x-，若F(x)在区间(m,m+1)(mCZ)内存在唯一的极值点，求m的值；用maxm,n表示m,n中的较大者，记函数h(x)=maxf(x),g(x)

5、(x>0).若函数h(x)在(0,+8)上恰有2个零点，求实数a的取值范围.答案精解精析A组基础题组1 .Cy'=-3x2+27=-3(x+3)(x-3),当0<x<3时,y'>0;当x>3时,y'<0.故当x=3时，该商品的年利润最大.2 .C当a=0时,不符合题意.2当aw。时，f'(x)=3ax2-6x,令f'(x)=0,得xi=0,x2=a.若a>0,则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意.向号白则a<0,由图象结合f(0)=1>0知，此时必有口40,即ax5-3X&|+1>0

6、,化简得a2>4,又a<0,所以a<-2,故选C.3 .解析函数的定义域为x|x>0.ax-(a+1)s+af'(x)=K+x-(a+1)=x(武-D(x-二.当0<a<l时，令f'(x)>0,得x>1或0<x<a,令f'(x)<0,得a<x<1.所以函数f(x)的单调递增区间是(0,a)和(1,+8),单调递减区间是(a,1).当a=1时，因为x>0,所以f'(x)>0恒成立.函数f(x)的单调递增区间是(0,+8).当a>1时，令f'(x)>0,得x

7、>a或0<x<1,令f'(x)<0,得1<x<a.所以函数f(x)的单调递增区间是(0,1)和(a,+8),单调递减区间是(1,a).V"(2)证明：当 a=-1 时，f(x)=-ln x+2(x+J)(x1)f'(x)=令f'(x)=0,得x=1或x=-1(舍).当x变化时，f(x),f'(x)的变化情况如下表：(0,1)(1,+8f'(x)f(x)极小值所以当x=1时，函数f(x)4.。解析(1)由f(x)=x取得极小值，此时极小值也是最小值3-x,故f(x)min£=f(1)=2.所以得f&#

8、39;(x)=3x2-1,所以f'(1)=2,又f(1)=0,即 2x-y-2=0.所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-0=2(x-1),(2)令f'(x)=0,解得x=±3.f(x)与 f '(x)在区间0,2上随x的变化情况如下：f'(x)f(x)极小值因为 f(0)=0, f(2)=6,所以函数f(x)在区间0,2上的最大值为6.(3)证明：设 h(x)=f(x)-g(x)=x3-3x+3,贝U h'(x)=3x 2-3=3(x-1)(x+1),令 h'(x)=0,得 x=± 1.h(x)与 h

9、9;(x)x(-°0, -1)-1(-1,1)1h'(x)+0-0h(x)/极大值极小值随x的变化情况如下°°),减区间为(-1,1).则h(x)的增区间为(-8,-1),(1,+(1,+ 8又 h(1)=1>0,h(-1)>h(1)>0,所以函数h(x)在(-1,+ 8)上没有零点又 h(-3)=-15<0,所以函数h(x)在(- 8, -1)上有唯一零点x0.综上，在(- 8,+ OO)上存在唯一的x0,使得 f(x 0)=g(X 0).5 .女解析当a=2时,f(x)=x 3+2x2-4x-1,所以 f '(x)=3x

10、2+4x-4=(3x-2)(x+2).12令 f '(x)=0, 得 x1=、x2=-2,随着x的变化,f '(x) 及f(x)的变化情况如下表(-2)-2(-4：f,(X)f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间为,-2),单调递减区间为(2)要使f(x) <0在1,+ 8)上有解，只需f(x)在1,+ 8)上的最小值小于或等于0.因为 f '(x)=3x2+2ax-a 2=(3x-a)(x+a),a>0,令f'(x)=0,得xi=3>0,x2=-a<0.当代1,，故f(x)在1,+ 8)上的最小值为f(i).即aw3时，f(

11、x)在区间1,+8)上单调递增所以有f(1)W0,即l+a-a2-iwo,解得a>l或aw。,所以iwaw3.上单调递增，当：>1,即a>3时，f(x)在区间,上单调递减，在所以f(x)在1,+8)上的最小值为所以有fd。,即加+5-N-1W0.匣解得a>-“5,所以a>3.综上,a>1.(3)a=1.B组提升题组6.解析(1)对f(x)求导,得f'(x)=ex-x,所以切线l的斜率为f'(xc)=|e_-xo,由此得切线l的方程为y-1域鼠)(x-xo),12即y二(e-xo)x+(1-xo)e+上"(2)由得，直线l在y轴上的截

12、距为(1-xo1设g(x)=(1-x)ex+2x2,xC-1,1.所以g'(x)=x(1-ex),令g'(x)=o,得x=o.所以g'(x),g(x)随x的变化情况如下表o(o,1)o-1x-1(-1,o)g'(x)-21g(x)“、所以函数g(x)在-1,1上单调递减，21所以g(x)ma尸g(-1)=已+2,g(x)min=g(1)=,rl2li所以直线l在y轴上的截距的取值范围是卜“2.过M作x轴的垂线，与射线y=x-1(xCo,+oo)交于点q,所以4MNQ是等腰直角三角形，所以 |MN|=|MQ|=I令h(x)=ex-2x2-x+1,x£0,

13、+8).所以h'(x)=ex-x-1(x>0).令k(x)=ex-x-1(x>0),则k'(x)=ex-1>0(x>0),所以k(x)=h'(x)在0,+8)上单调递增,所以h'(x)>h'(0)=0,从而h(x)在0,+8)上单调递增,所以h(x)min=h(0)=2,此时M(0,1),N(2,1).所以|MN|的最小值为2,此时a=1.7. 解析(1)依题意，f'(x)=xex+2ax,xCR,所以切线的斜率k=f'(0)=0.又因为f(0)=-1,所以切线方程为y=-1.(2)证明：先证不必要性.当a=

14、0时，f(x)=(x-1)ex,令f(x)=0,解得x=1.此时,f(x)有且只有一个零点，故"f(x)有且只有一个零点，则a<0”不成立.再证充分性.当a<0时，f'(x)=x(ex+2a).令f'(x)=0,解得xi=0,x2=ln(-2a).(i)当ln(-2a)=0,1即a=-2时，f'(x)=x(ex-1)>0,所以f(x)在R上单调递增.又因为f(0)=-1<0,f(2)=e2-2>0,所以f(x)有且只有一个零点.1(ii)当ln(-2a)<0,即=<a<0时，f(x),f'(x)随x的变化

15、情况如下：(-°°,ln(-2a)ln(-2a)(ln(-2a),0)(0,+00f,(x)f(x)极大值极小值当 xwo 时,(x-1)ex<0,ax 2<0,所以 f(x)<0.又 f(2)=e 2+4a>e2-2>0,所以 f(x)有且只有一个零点.(iii)当 ln(-2a)>0,1即 a<-,时,f(x), f ,(x)随x的变化情况如下：x(-8,0)0f '(x)+0f(x)/极大值因为f(0)=-1<0,所以(0,ln(-2a)ln(-2a)极小值(ln(-2a),+ oxC(-oo,in( -2a)时

16、，f(x)<0,令xc=1-a,则xc>1.卜面证明当x>1时,ex>x?设 g(x)= p'(x>1),贝U g,(x)=当 xC(1,2)时,g'(x)>0,g(x)在(1,2)上单调递增；当xC(2,+8)时，g'(x)<0,g(x)在(2,+8)上单调递减.所以当x=2时,g(x)取得极大值g(2)=/<1.所以当x>1时,g(x)<1,即x2<ex.所以 f(x c)=-a+a =a(二J)>0.由零点存在定理，知f(x)有且只有一个零点.综上，“a<0”是“函数f(x)有且只有一个

17、零点”的充分不必要条件令f'(x)=0,得x=-1或x=1.当xCU时，f'(x)>0,所以f(x)在区间上，上是增函数当xC(1,3时，f'(x)<0,所以f(x)在区间(1,3上是减函数r1所以f(x)在区间MI上的最大值为f(1)=-2.(2)证明：设过点P(b,-b)的直线与曲线y=f(x)相切于点Q(x0,y0),甘则yoK-x。,|-一与+书日所以=(1-因)(x0-b),解得xo=.卢2即存在唯一的切点.所以过点P(b,-b)有且只有一条直线与曲线y=f(x)相切.(3)当x=1时,显然对任意的aCR,不等式成立当xwi时，不等式等价于awx2

18、+，-1.1I当xC区时,不等式等价于awX2+1-X恒成立.当xC时,g'(x)>0,Ihl所以g(x)在区间21上单调递增,Iplj肥所以g(x)在区间121上有最小值gl2/=4.5所以aw.当xC(1,2时，不等式等价于aWx2L-口恒成立.2令h(x)=x+x_-_1,x6(1,2,X1当xC(1,2时，h(x)=x2毯1=x2+1谯-l>x2+1>2.5K所以，当aw*时，不等式aWx2M1对任意的xC(1,2恒成立.综上，实数a的取值范围是.9.*解析(1)f'(x)=3x2-3a,所以f'(1)=3-3a,II1依题意，得咽(3-3a)

19、=-1,解得a=r1g(x)+-x-2(2)因为F(x)=-xK上T1(1-nx)+-x-2=-xl!1=xlnx-x2+x(x>0),贝UF'(x)=lnx+1-x+1=lnx-x+2.令t(x)=lnx-x+2,则t'(x)=A-1=:令t'(x)=0,得x=1.则由t'(x)>0,得0<x<1,故F'(x)在(0,1)上为增函数；由t'(x)<0,得x>1,故F'(x)在(1,+8)上为减函数.(Ij1I而F'=-2-同+2=-卜晨0,F'(1)=1>0,则F'(x)在(0,1)上有且只有一个零点xi,且在(0,xi)上F'(x)<0,F(x)为减函数；在(xi,1)上F'(x)>0,F(x)为增函数.所以xi为F(x)的极值点，此时m=0.又F'(3)=ln3-1>0,F'(4)=2ln2-2<0,则F'(x)在(