北京东城区2018-2019届高三第二次统练数学试卷及答案

1、北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分（选择题共40分）、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合A 2, 1,0,1,2,B x x2x 2 0,则 AI 6rB(A) 2(B)01(C)2,1,2(D) 1,0,1, 2开始(2)执行如图所示的程序框图，输入2,b5,那么输出的a,b的值分别为(3)(A) 7,3(C) 5,3(B)(D)uur已知向量a与b不共线，且A

2、B则实数m, n满足的条件为(A) m n 1(B)3,5, 2mb (m1)uurAC na入口, & /a=a+b b-u-b a=a-bb.若A, B,C三点共线,输出(C) mn 1(D)mnMJ(4)秋时代鲁国工匠鲁班所作.右图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片， 下图是其中一个构件的三视图 （单位:mm ),(5)则此构件的体积为3(A) 34000mm已知&是等差数列an（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件硬（左）/图3(B) 33000mm的前n项和，则“ Sn(B)(D)33(C) 32000mm(D) 30000mmnan对n 2恒成立”是“ a3必要而不充分条件

3、既不充分也不必要条件a4”的鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的棒卯结构，相传由春(6)教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名着，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为(A)84(B)42(C)41(D)35(7)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,P是底面ABCD上的动点，PAPC1，则满足条件的点P构成的图形的面积等于(A)(B)-(C)4 (D)(8)在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q(辆/小时)：单位时间内通过某一道路横断面的车辆数；车流速度V(千米/小时)：单位时间内车流平均行驶的距离；车流密度K(辆/千米)：单位长度道路上某一

4、瞬间所存在的车辆数K、一般的，V和K满足一个线性关系：V=vo(1)(其中vo,ko是正数)，则以下说法正确的是ko(A)随着车流密度的增大，车流速度在逐渐增大(B)随着车流密度的增大，交通流量在逐渐增大(C)随着车流速度的增大，交通流量先减小、后增大(D)随着车流速度的增大，交通流量先增大、后减小第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。1 i(?9?)已知复数z在复平面内对应的点为Z,则Z关于虚轴对称的点位于第象限.2i(?10?)已知alog26,blog515,若alog3mb,mN,则满足条件的m可以为.2 2(?11)椭圆Ci：yr1与曲线C2关于直线

5、yx对称，C1与C2分别在第一、二、三、四象限交于点P,E,R,P4.4b若四边形PP2F3P4的面积为4,则点P的坐标为,C1的离心率为(?12)将函数ysin2xJ3cos2x的图象向左平移至个单位长度，得到函数yg(x)的图象，则g(t)=.x0,(13)设关于x,y的不等式组2xy0,表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则m的取值范围是.mxy10(14)已知函数f(x),对于任意实数xa,b,当axb时，记|f(x)f(x0)|的最大值为Da,b(x0).若 f(x) (x 1)2,则Do,3 (2)若f(x)22x,1,0,则Da,a 2( 1)的取值范围是 0,三、解答题共6小题

6、,(15)(本小题13分)80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。如图,在四边形ABCD 中 AC 77, CD 2AD , ADC ，3(I)求CAD的正弦值;()若BAC 2 CAD ,且 ABC的面积是 ACD面积的4倍，求AB的长.H(16)(本小题13分)某工厂的机器上有一种易损元件A,这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修.工厂规定当日损坏的元件A在次日早上8:30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作.每个工人独立维修A元件需要时间相同.维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：日期1日2日3日4日5日6日7

7、日8日9日10日元件A个数191512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A个数112241515151215151524从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数(I)求X的分布列与数学期望；(n)若a,bN,且ba6,求P(aXb)最大值；(出)目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人(只需写出结论)(17)(本小题14分)/ CD , AB BC , DAB 600,ABAD4 , AE DE , AE DE ,平面ABE与平面CD

8、E交于(I)求证:CD P EF ;(D)若EFCD ,求二面角 A-BC-F余弦值;(出)在线段BC上是否存在点 M使得AM EM若存在，求BM的长;四边形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直，AB若不存在，说明理由.(18)(本小题13分)已知点P1,2到抛物线C：y22Pxp0准线的距离为2.(I)求C的方程及焦点F的坐标;C交于两点A,B ,直线PA, PB分别(n)设点P关于原点O的对称点为点Q,过点Q作不经过点O的直线与交x轴于M,N两点.求MFNF的值.(19)(本小题14分)已知函数f(x)xsinx.(I)求曲线y(n)若不等式(20)(本小题13分)a11若n行n列的数表

9、a21Man1ai2a22Man2a1a2Mann(n 2)满足：01 (i, j 1,2,Ln)，kaikm (i1,2,L , n,0 m n),1aik ajkT(n,m)(I)已知0(i, j1,2,L ,n,iaik ajk1A3(2)j)n , i, j个数表为An(m).对于 An(m),记集合N . T(n,m)表示集合T(n,m)中元素的个数.01，写出1j(1 ij 3, i, j N )的值;f(x)在点(，f()处的切线方程;22f(x)axcosx在区间0,j上恒成立，求实数a的取值范围.(n)是否存在数表4(2)满足T(4,2)1?若存在，求出人(2),若不存在，说

10、明理由;(ID)对于数表An(m)(0mn,mT(n,m)：.北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习(二)、选择题(共8小题，每小题(1)A(5)C(6)B二、填空题(共6小题，每小题数学(理科)5分，共40分)(3)C(7)A5分，共30分)参考答案及评分标准(4)C(8)D(9)四(10)9(答案不唯一)(11)1,11(14) 3 1,4(13)2,0U(1,)三、解答题（共6小题，共80分）(15)(共13分)解：（I）在ACD中，设ADx（x0)，2一2由余弦定理得7=x4x2x2x2cos-,3r2-整理得7x7,解得所以AD1,CD2.sinDACACsin3c

11、.21sinDAC7（H）由已知得SABC4sACD,1所以2ABACsinBAC41八ADACsin2CAD化简得ABsinBAC4ADsinCAD.AB所以2sinCADcosCAD4ADsinCAD,是ABcosCAD2AD.因为sinCAD21，且CAD7为锐角,所以cosCAD,1sin2CAD2.77因此ab7.13(16)(共13分)解：（I）由题意可知,X的所有可能取值为9,12,15,18,24,且P(X9)35；P(X12)；P(X15)2020720P(X18)一；P(X24)一2020所以X的分布列为:X912151824P357232020202020237一+18+

12、24=1520故X的数学期望E(X)9三+122020+152020(n)当P(aXb)取到最大值时,a,b的只可能为:经计算P(9X所以P(aX(m)至少增加2人分(17)(共14分)解：(I)在四边形因为AB所以CD因为CD所以CD15)9,或15,1520b)的最大值为ABCD中,平面ABE/平面ABE12,或18,P(12X1532018,24.18)145P(18X24)，20201013AB/CD.,CD平面平面CDE,且平面ABEI平面CDEEF,/EF.(n)如图，取AD的中点N,连接BN,EN.在等月ADE中，ENAN.因为平面ADE平面ABCD,交线为AD又ENAD,所以E

13、N平面ABCD.所以ENBN.由题意易得ANBN.如图建立空间直角坐标系则N(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2%,0),C(3,73,0),D(2,0,0)，E(0,0,2).因为EFCD,所以F(1-3,2).设uurn(x,y,z),BF(uurBFuurBC1,-3,2)BCFuuir,BC(3,3,0),2z0,0,即0,3x0.令y百，则x1,z1.于是n(1j3,1).uuur又平面ABCD的法向量为NE(0,0,2),uur 所以 cos n, NEuiur n NE um- n NE由题知二面角A-BC-F为锐角,所以二面角A-BC-F的余弦值为叵5(m)不存在满足条

14、件的点 M ,使AM EM,理由如下:uuuuuuuu若AMEM,则EMAM0.因为点M为线段BC上的动点，设uuuu CMuurtCB(0 t 1), M(u,v,0).则(u3,vV3,0)t(3,百,0),解得M(3t3,73+/3t,0).AM(18)解:1,0.uuuu所以EM(3tuuuiuuuuu所以EMAM整理得2t23tEM.(共13分)(I)由已知得3,遥73t,2),(3t3,、3.3t,uuuuAM2)30,此方程无实根.BC141-2,所以p2抛物线C2.(3t5,73V3t,o).(3t5,百V3t,0)=0.4x焦点F的坐标为(II)设点A(x,y)B(x2,y2

15、),由已知得Q(1,2),由题意直线AB斜率存在且不为0.设直线AB的方程为ykx12(k0).y24x,2由得ky4y4k80,ykx122.(19)解:w4,8则y1y20yly24因为点A,B在抛物线kPA因为所以Y12x1Yi2y14PFMFyy2(共14分)(I)因为所以x轴,NFf(x)xf(x)11.C上,所以y；y224x2,kPBX24y22PFkPAPFkPB|y1y2sinx,cosx,(n)因为x0,-,所以sinx当a。时，f(x)所以不等式f(x)/884kk413f(2)f(x)2.MFNFf(-)一221,占八、0,cosx0xsinx0恒成立,(-,f(-)处

16、22axcosx0恒成立,axcosx在区间0,上恒成立.2当a0时，设g(x)f(x)axcosxxsinxaxcosx,g(x)1cosxacosxaxsinx1(1a)cosxaxsinx,a1,(1a)cosx0,axsinx0,所以g(x)0在区间0,2上恒成立;a0,1(1a)cosx0,axsinx0,所以g(x)0在区间0,-上恒成立;2所以g(x)在区间0,I上单调递增，g(x)ming(0)0,所以当a2时，不等式f(x)axcosx在区间0,5上恒成立；当a2时，令h(x)g(x)1(1a)cosxaxsinx,h(x)(2a1)sinxaxcosx,h(x)0在区间0,

17、上恒成立，a所以g(x)在区间。，万上单倜递增，g(x)ming(0)2a0,g(x)maXg(-)1y0,所以存在x00,-,使得g(x)0.当0xx0时，g(x)0,g(x)单调递减；当xx2时，g(x)0,g(x)单调递增；当x%时，g(x)0,g(x)取得极小值；而g(0)0,所以g(x0)0,所以不等式g(x)0在区间0,5上不能恒成立，所以不等式f(x)axcosx在区间0,q上恒成立时实数a的取值范围是(，2.14分(20)解分13分）1213231.3(n)不存在数表a(2),使得T(4,2)1.理由如下：1100a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44假设存在4(2),使得|T(4,2)1.不妨设A4ij的可能值为01.当产(1 ia21j 4）时，有a31a41当广0(1ij4)时，经验证这样的儿(2)不存在.a22=1a32=1,这说明此方程组至少有两个方程的解相同,a42=1110001a23a24=1a23a24,所以有a33a34=101a33a3410a43a44=1a43a44不妨设A4(2)这也说明此方程组至少有两个方