常见函数的导数1,2ppt课件

1、常见函数的导数常见函数的导数 解析几何中解析几何中,过曲线某点的切线的斜率的过曲线某点的切线的斜率的精确描述与求值精确描述与求值;物理学中物理学中,物体运动过程中物体运动过程中,在在某时刻的瞬时速度的精确描述与求值等某时刻的瞬时速度的精确描述与求值等,都是极都是极限思想限思想;将它们抽象归纳为一个统一的概念将它们抽象归纳为一个统一的概念导数导数,导数源于实践导数源于实践,又服务于实践又服务于实践.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是:(1)()( );yf xxf x 求函数的增量(2):()( );yf xxf xxx求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)( )lim.xyyfxx 求

2、极限，得导函数说明说明:上面的方法上面的方法中把中把x换换x0即为求即为求函数在点函数在点x0处的处的 导数导数. 一、复习一、复习)(0 xf )(xf 1.函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值处的函数值,即即 .这也是求函数在点这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。 )(| )(000 xfxfyxxxx2.函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义: 曲线曲线y= f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.一、复习一、复习说明说明1.1.某点的导数与导函数的

3、异同点某点的导数与导函数的异同点. .2.2.函数可导与曲线的切线问题函数可导与曲线的切线问题 导函数指导函数指f(x)在开区间在开区间(a,b)内每一点处都内每一点处都可导，而开区间可导，而开区间(a,b)内每一个确定的值内每一个确定的值x0都对都对应着一个确定的应着一个确定的 f(x0), 它们构成了一个新的它们构成了一个新的函数，就是导函数，简称导数。函数，就是导函数，简称导数。 函数的导数，是对某一区间内任意点而言函数的导数，是对某一区间内任意点而言的，也就是导函数。求函数在一点处的导数，的，也就是导函数。求函数在一点处的导数，一般是先求一般是先求 f(x),再求再求函数在某点处可导函

4、数在某点处可导函数在该点有切线函数在该点有切线？00 xxxfxf)()(充分不必要条件充分不必要条件二、新课二、新课几种常见函数的导数几种常见函数的导数 根据导数的定义可以得出一些常见函数的根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式导数公式.公式公式1: .0 ()CC 为常数1) 函数函数y=f(x)=c的导数的导数.二二.常见函数的导数常见函数的导数0CCxfxxfy)()( 解：解：0 xy 请同学们求下列函数的导数:1y 21 yx 2yx表示表示y=x图象上每一点图象上每一点处的切线斜率都为处的切线斜率都为1这又说明什么这又说明什么?.)(.;)(.;)(.xxfyxxfyxxf

5、y13212221xxy11xxy二二.常见函数的导数常见函数的导数公式公式2: .)()(1Qnnxxnn 请注意公式中的条件是请注意公式中的条件是 ,但根据我但根据我们所掌握的知识们所掌握的知识,只能就只能就 的情况加以证的情况加以证明明.这个公式称为幂函数的导数公式这个公式称为幂函数的导数公式.事实上事实上n可可以是任意实数以是任意实数. Qn *Nn 二二.常见函数的导数常见函数的导数公式公式3: .xxcos)(sin 要证明这个公式要证明这个公式, 必须用到一个常用极限必须用到一个常用极限. 1sinlim0 xxxxxxxfxxfyxxfysin)sin()()(,sin)(:

6、证证,2sin)2cos(2xxx ,22sin)2cos(2sin)2cos(2xxxxxxxxxy .coscossinlim)cos(limlim)(sin)(xxxxxxxyxxfxxx1222000 二二.常见函数的导数常见函数的导数公式公式4: xxsin)(cos 二二.常见函数的导数常见函数的导数指数函数的导数指数函数的导数:.)()(xxee5).,(ln)()(106aaaaaxx 由于以上两个公式的证明由于以上两个公式的证明,需要用到反函数需要用到反函数的求导法则的求导法则,这已经超出了目前我们的学习范围这已经超出了目前我们的学习范围,因此在这里我们不加以证明因此在这里我

7、们不加以证明,直接拿来使用直接拿来使用.对数函数的导数对数函数的导数:.)(ln)(xx17二二.常见函数的导数常见函数的导数.log)(log)(exxaa18例例1.求过点求过点(2，0)且与曲线且与曲线y= 相切的直线相切的直线方程。方程。x1应用应用解解 设所求切点为设所求切点为P(a, ),那么那么21ayax211()yxaaa 点点2,0)在切线上，代入整理，得在切线上，代入整理，得a=2-a 解得解得 a=1 所求直线方程为所求直线方程为 x+y-2=0所求切线方程为所求切线方程为:1a求求 ， ， 的导数的导数 xxxf 2)(2)(xxg xxh )(探究上述三个函数及导数

8、之间的关系探究上述三个函数及导数之间的关系 结论：结论： )()()(xxxx22猜想一般函数的结论：猜想一般函数的结论： ( )( )f xg x( )( )fxg x)()()(xhxgxf).()()(xhxgxf 考虑：考虑：( )( )f xg x( )( )fxg x一和、差的导数一和、差的导数法则法则1：两个函数的和或差的导数，：两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差），即：等于这两个函数的导数的和或差），即：vuvu )(二积的导数二积的导数法则二：两个函数的积的导数，等于第一法则二：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个个函数的导数乘第

9、二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即函数乘第二个函数的导数，即vuvuuv )(uCCu )(特特别别地地：(C是常数是常数)三商的导数三商的导数法则法则3：两个函数的商的导数，等于分：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即与分子的积，再除以分母的平方，即)0()(2vvvuvuvu练习练习2321. ( )sin ;32. ( )622f xxxg xxxx求下列函数的导数：3. ( )sin ;4.(1)(2)f xxxyxx2235.6.sin3xxyyxx例例:求下列函数的导数求下列函数的

10、导数:;sin1cos)4(;tan)3(;)1)(1 ()2(;21)1 (3222xxxxyxyxxxyxxy练习练习答案答案: :;41) 1 (32xxy ;)1 (1)2(222xxy ;cos1)3(2xy ;3sin2cossincos2)4(32322xxxxxxxxxy练习练习2532411131122211xxxxyxxyxxxxyxxxysin)()()cossin).（求下列函数的导数：求下列函数的导数：2.下列函数在点下列函数在点x=0处没有切线的是处没有切线的是( ) (A)y=x3+sinx (B)y=x2-cosx (C)y=xsinx (D)y= +cosxx

11、3.假设假设 则则f(x)可能是下式中的可能是下式中的( ),1)(2xxf 3321)(2)(1)(1)(xDxCxxBxA D练习练习B4.点点P在曲线在曲线y=x3-x+2/3上移动时上移动时,过点过点P的的曲线的切线的倾斜角的取值范围是曲线的切线的倾斜角的取值范围是( ),)(,(),)(),)(,)( 43204322043430DCBA练习练习D 1.曲线曲线y=x4的斜率等于的斜率等于4的切线方程为的切线方程为 . 2.过曲线过曲线y=cosx上的点上的点 且与过这点的切线垂且与过这点的切线垂直的直线方程为直的直线方程为 . 3.设设l1为曲线为曲线y=sinx在点在点0，0处的

12、切线，处的切线，l2为曲线为曲线y=cosx在点在点 处的切线，则处的切线，则l1与与l2的夹的夹角大小为角大小为 . 4.一物体的运动方程是一物体的运动方程是s=t2+3,则物体的初速度则物体的初速度是是 .时间段时间段3,3+t中，相应的平均中，相应的平均是是 .物体的加速度是物体的加速度是 . 在在t=3时的瞬时速度等于时的瞬时速度等于 . )21,3()0 ,2(4x-y-3=09006+t26)(333221 xy练习练习例例1 某运动物体自始点起经过某运动物体自始点起经过t秒后的距离秒后的距离s满满 足足 s = - 4t3 +16t2. (1)此物体什么时刻在始点此物体什么时刻在

13、始点? (2)什么时刻它的速度为零什么时刻它的速度为零?441t解解:(1)令令s=0,即即1/4t4-4t3+16t2=0,所以所以t2(t-8)2=0, 解得解得:t1=0,t2=8. 故在故在t=0或或t=8秒末的时刻运动物体在始点秒末的时刻运动物体在始点.32(2)( )1232 ,( )0,s tttts t令故在故在t=0,t=4和和t=8秒时物体运动的速度为零秒时物体运动的速度为零. 即即t3-12t2+32t=0, 解得解得:t1=0,t2=4,t3=8,例例2 已知曲线已知曲线S1:y=x2与与S2:y= -(x-2)2,若直若直线线l与与S1,S2 均相切均相切,求求l的方

14、程的方程.解解:设设l与与S1相切于相切于P(x1,x12),l与与S2相切于相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于对于 则与则与S1相切于相切于P点的切线方程为点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即即y=2x1x-x12.,2,1xyS 对于对于 与与S2相切于相切于Q点的切线方程为点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即即y=-2(x2-2)x+x22-4.),2( 2,2 xyS因为两切线重合因为两切线重合,.02204) 2( 222121222121 xxxxxxxx或或若若x1=0,x2=2,则则l为为y=0;若若x1=2,x2=0,则则l为为

15、y=4x-4.所以所求所以所求l的方程为的方程为:y=0或或y=4x-4.例例5:在曲线在曲线y=x3-6x2-x+6上上,求斜率最小的切线所对应求斜率最小的切线所对应 的切点的切点,并证明曲线关于此点对称并证明曲线关于此点对称.解解:由于由于 ,故当故当x=2时时, 有最小值有最小值.13) 2( 3112322 xxxyy 而当而当x=2时时,y=-12,故斜率最小的切线所对应的切点故斜率最小的切线所对应的切点为为A(2,-12).记曲线为记曲线为S,设设P(x,y)S,则有则有y=x3-6x2-x+6.又点又点P关于点关于点A的对称点为的对称点为Q(4-x,-24-y),下证下证QS.将

16、将4-x代入解析式代入解析式:(4-x)3-6(4-x)2-(4-x)+6=64-48x+12x2-x3-96+48x-6x2-4+x+6=-x3+6x2+x-30=-(x3-6x2-x+6)-24=-24-y.即即Q(4-x,-24-y)的坐标是的坐标是S的方程的解的方程的解,于是于是QS.这就证明了曲线这就证明了曲线S关于点关于点A中心对称中心对称.练习练习1:已知曲线已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4;(1)求曲线求曲线C上横上横坐坐标为标为1的点的切线方程的点的切线方程;(2)第第(1)小题中切线与曲线小题中切线与曲线C是是否还有其它公共点否还有其它公共点?如果有如果有,求出这

17、些点的坐标求出这些点的坐标. 解解:(1)把把x=1代入曲线代入曲线C的方程得切点的方程得切点(1,-4). ,所以切线的斜率所以切线的斜率k=12-6-18=-12.故切线方程为故切线方程为y+4=-12(x-1),即即y=-12x+8.xxxy1861223 .32, 2, 1, 0)23)(2() 1(, 04129238124923)2(2234234 xxxxxxxxxyxxxy即即由由).0 ,32(),32, 2( ,)4, 1(:03244923234 切点切点即公共点为即公共点为，求得求得代入代入yxxxy故除切点以外故除切点以外,还有两个交点还有两个交点(-2,32),(2

18、/3,0). 事实上事实上,在曲线在曲线y=x3+ax2+bx+c是只有横坐标为是只有横坐标为-a/3的唯一一点的唯一一点M,过该点的切线与曲线除切点外不再有过该点的切线与曲线除切点外不再有其它公共点其它公共点.而点而点M实际上就是这条三次曲线的对称中实际上就是这条三次曲线的对称中心心.练习练习2:设三次曲线设三次曲线y=x3-3x2/2-3x过原点的切线过原点的切线l1,平行平行 于于l1的另一条切线为的另一条切线为l2. (1)求求l1、l2的方程的方程; (2)当当l1、l2的斜率为的斜率为m时时,求斜率为求斜率为-m的两切线的两切线 l3、l4的方程的方程. (3)求求l1、l2 、l

19、3、l4所围成的平行四边形的面积所围成的平行四边形的面积.答案答案:(1).l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2.(2).l3:y=3x+7/2;l4:y=3x-10.(3).9/8.例例6:用求导的方法求和用求导的方法求和:).1() 1(3221) 2();1(321)() 1 (212 xnxnxSxnxxxxPnnnn对对(1)由求导公式由求导公式 可联想到它是另一个和式可联想到它是另一个和式x+x2+x3+xn的导数的导数.,)(1 nnnxx),1(1)1()1(32 xxxxxxxxnn解：解：.)1 () 1(1)1 ()1)()1 ()()1()()(21211132x

20、nxxnxxxxxxxxxxxxxxxPnnnnnnn .)1(2)1()1(2)1( )()2(3121xxnnxnxnnxPSnnnnn 例例7:已知抛物线已知抛物线C1:y=x2+2x和和C2:y=x2+a,如果直线如果直线l 同时是同时是C1和和C2的切线的切线,称称l是是C1和和C2的公切线的公切线,公切公切线线 上两个切点之间的线段上两个切点之间的线段,称为公切线段称为公切线段. ()a取什么值时取什么值时,C1和和C2有且仅有一条公切线有且仅有一条公切线?写写出出 此公切线的方程此公切线的方程; ()若若C1和和C2有两条公切线有两条公切线,证明相应的两条公切线证明相应的两条公切线 段互相平分段互相平分.(2019天津高考天津高考(文文)题题)()()解解: :函数函数y=x2+2xy=x2+2x的导数的导数y=2x+2,y=2x+2,曲线曲线C1C1在点在点P P (x1,x12+2x1) (x1,x12+2x1)的切线方程是的切线方程是y-y-(x12+2x1)=(2x1+2)(x12+2x1)=(2x1+2) (x-x1), (x-x