同济高等数学第一章第一节ppt课件

1、一、集合二、映射 三、函数1.1 映射与函数上页下页铃终了前往首页上页下页铃结束返回首页1.集合集合 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识.元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M.一、集合一、集合下页上页下页铃结束返回首页v集合的表示v列举法 v 把集合的全体元素一一列举出来. v 例如Aa, b, c, d, e, f, g. v描画法 v 假设集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 那么

2、M可表示为v Mx | x具有性质P . v 例如M(x, y)| x, y为实数, x2y21. 下页上页下页铃结束返回首页v几个数集v 一切自然数构成的集合记为N, 称为自然数集.v 一切实数构成的集合记为R, 称为实数集.v 一切整数构成的集合记为Z, 称为整数集.v 一切有理数构成的集合记为Q, 称为有理集.v子集v 假设集合A的元素都是集合B的元素, 那么称A是B的子集, 记为AB(读作A包含于B).v AB假设xA, 那么xB.v 显然, NZ, ZQ, QR.下页上页下页铃结束返回首页2.集合的运算 设A、B是两个集合, 那么 ABx|xA或xB称为A与B的并集(简称并). AB

3、x|xA且xB称为A与B的交集(简称交). ABx|xA且xB称为A与B的差集(简称差). ACIAx|xA为称A的余集或补集, 其中I为选集.提示: 假设研讨某个问题限定在一个大的集合I中进展, 所研讨的其他集合A都是I的子集. 那么称集合I为选集或根本集. 下页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页 数集x|axb称为开区间,记为(a, b), 即 (a, b)=x|axb. a, b=x|axb闭区间. a, b)=x|axb半开区间, (a, b=x|axb半开区间.v有限区间 上述区间都是有限区间, 其中a和b称为区间的端点, b-a 称为区间的长度.下页

4、3.区间和邻域 上页下页铃结束返回首页 (-, b= x|xb, (-, +)= x| |x|+. a, +)= x|ax,v无限区间 (-, b)= x|xb, (a, +)= x|a0, 那么称v U(a, )=(a-, a+)=x| |x-a|v为点a的邻域, 其中点a称为邻域的中心, 称为邻域的半径.v去心邻域U(a, )=x|0|x-a|下页上页下页铃结束返回首页v单值函数与多值函数v 在函数的定义中,对每个xD, 对应的函数值y总是独一的, 这样定义的函数称为单值函数. v 假设给定一个对应法那么, 按这个法那么, 对每个xD, 总有确定的y值与之对应, 但这个y不总是独一的, 我

5、们称这种法那么确定了一个多值函数. 例如, 由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:下页 此多值函数附加条件“y0后可得到一个单值分支 221)(xrxyy. 22xry. 上页下页铃结束返回首页下页 表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法). 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 坐标平面上的点集 P(x, y)|yf(x), xD称为函数yf(x), xD的图形. v函数的表示法上页下页铃结束返回首页 此函数称为绝对值函数, 其定义域为D=(-, +),其值域为Rf =0, + ).例 6 函数0 0 |xxxxxy 例例6 例例5 函数函数 y=2. 这是一个常

6、值函数这是一个常值函数,其定义域为其定义域为D=(-, +),其值域为其值域为Rf =2.下页v函数举例 上页下页铃结束返回首页 此函数称为符号函数,其定义域为D=(-, +) ,其值域为Rf =-1, 0, 1. 例例8 函数函数y=x. 例例7 例 7 函数01000 1sgnxxxxy 下页注: 设x为任上实数, 不超越x的最大整数称为x的整数部分, 记作x. 此函数称为取整函数,其定义域为D(, +),其值域为Rf Z上页下页铃结束返回首页例 6 函数+1110 2xxxxy 例例9 此函数的定义域为D=0, 1(0, +)=0, +). 当 0 x1 时, xy2 当 x1 时, y

7、1+x 例如2212)21(f2 1 2) 1 (f f(3)1+342212)21(f 2 1 2) 1 (f v分段函数v 在自变量的不同变化范围中, 对应法那么用不同式子来表示的函数称为分段函数. 当 x1 时, y1+x 下页上页下页铃结束返回首页 设函数f(x)的定义域为D, 数集XD. 假设存在数K1, 使对任一xX, 有f(x)K1, 那么称函数f(x)在X上有上界. (1)函数的有界性 假设存在数K2, 使对任一xX, 有f(x)K2, 那么称函数f(x)在X上有下界. 假设存在正数M, 使对任一xX, 有|f(x)|M, 那么称函数f(x)在X上有界; 假设这样的M不存在,

8、那么称函数f(x)在X上无界. 下页2.函数的几种特性上页下页铃结束返回首页 f(x)=sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1. 函数xxf1)(在开区间(0, 1)内是无上界的 Mxxf111)(, 所以函数无上界. 函数xxf1)(在(1, 2)内是有界的 这是因为, 对于任一 M1, 总有1x 1101Mx, 使 下页函数的有界性举例 上页下页铃结束返回首页 设函数y=f(x)在区间I上有定义, x1及x2为区间I上恣意两点, 且x1x2. 假设恒有f(x1)f(x2), 那么称f(x)在I上是单调减少的. 单调添加和单调减少的函数统称为单调函数. 下页上页下页铃结束返回

9、首页 设函数f(x)的定义域D关于原点对称, 假设在D上有f(-x)=f(x), 那么称f(x)为偶函数. 假设在D上有f(-x)=-f(x), 那么称f(x)为奇函数.(3)函数的奇偶性奇偶函数举例 y=x2, y=cos x都是偶函数. y=x3, y=sin x 都是奇函数.下页上页下页铃结束返回首页奇函数的图形对称于原点偶函数的图形对称于y轴奇偶函数的图形特点下页 设函数f(x)的定义域D关于原点对称, 假设在D上有f(-x)=f(x), 那么称f(x)为偶函数. 假设在D上有f(-x)=-f(x), 那么称f(x)为奇函数.(3)函数的奇偶性上页下页铃结束返回首页(4)函数的周期性

10、设函数f(x)的定义域为D. 假设存在一个不为零的数l,使得对于任一xD有(xl)D, 且f(x+l)=f(x), 那么称f(x)为周期函数, l称为f(x)的周期.周期函数的图形特点下页上页下页铃结束返回首页下页3.反函数与复合函数 v反函数v 设函数 f : Df(D)是单射, 那么它存在逆映射v f 1: f(D)D, v称此映射f 1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D). 例如, 函数yx3, xR是单射, 所以它的反函数存在, 其反函数为 31xy, xR. 31yx, yR. 函数yx3, xR的反函数是提问: 以下结论能否正

11、确？上页下页铃结束返回首页3.反函数与复合函数 v反函数v 设函数 f : Df(D)是单射, 那么它存在逆映射v f 1: f(D)D, v称此映射f 1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D). 假设 f 是定义在D上的单调函数, 那么 f : Df(D)是单射, 于是 f 的反函数f 1必定存在, 而且容易证明f 1也是f(D)上的单调函数. 下页上页下页铃结束返回首页 相对于反函数yf 1(x)来说, 原来的函数yf(x)称为直接函数. 函数yf(x)和yf 1(x)的图形关于直线 yx 是对称的. 3.反函数与复合函数 v反函数v

12、设函数 f : Df(D)是单射, 那么它存在逆映射v f 1: f(D)D, v称此映射f 1为函数 f 的反函数. 按习惯, yf(x), xD的反函数记成yf 1(x), xf(D). 下页上页下页铃结束返回首页3.反函数与复合函数 设函数yf(u)的定义域为D1, 函数ug(x)在D上有定义且g(D)D1, 那么由 yfg(x), xD确定的函数称为由函数ug(x)和函数yf(u)构成的复合函数, 它的定义域为D, 变量u称为中间变量. v复合函数 函数 g与函数 f 构成的复合函数通常记为f o g, 即 (f o g)(x)fg(x). 阐明: g与f 构成的复合函数f o g的条

13、件是: 是函数g在D上的值域g(D)必需含在f 的定义域Df 内, 即g(D)Df . 否那么, 不能构成复合函数. 例如下页上页下页铃结束返回首页4.函数的运算 设 函 数 f ( x ) , g ( x ) 的 定 义 域 依 次 为 D 1 , D 2 , DD1D2, 那么可以定义这两个函数的以下运算: 和(差) f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 积 f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 商gf: )()()(xgxfxgf, xDx|g(x)0. 下页上页下页铃结束返回首页 例10 设函数f(x)的定义域为(l, l), 证明必存在(l, l)

14、上的偶函数g(x)及奇函数h(x), 使得f(x)g(x)h(x). 提示: 假设f(x)g(x)h(x), 那么f(x)g(x)h(x), 于是)()(21)(xfxfxg+, )()(21)(xfxfxh. 证 作)()(21)(xfxfxg+, )()(21)(xfxfxh, 证 那么 f(x)g(x)h(x), 且)()()(21)(xgxfxfxg+)()()(21)()(21)(xhxfxfxfxfxh)()()(21)(xgxfxfxg+)()()(21)(xgxfxfxg+, )()()(21)()(21)(xhxfxfxfxfxh)()()(21)()(21)(xhxfxfx

15、fxfxh)()()(21)()(21)(xhxfxfxfxfxh. 下页上页下页铃结束返回首页v根本初等函数v 幂函数: yx (R是常数); v 指数函数: ya x(a0且a1); v 对数函数: yloga x (a0且a1), v 特别当ae时, 记为yln x;v 三角函数: ysin x, ycos x, v ytan x, ycot x, v ysec x, ycsc x; 5.初等函数 下页 反三角函数: yarcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x . 上页下页铃结束返回首页5.初等函数 v初等函数 v 由常数和根本初等函数经过有限次

16、的四那么运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数, 称为初等函数. 都是初等函数. 例如, 函数21 xy, xy2sin, 2cotxy 下页上页下页铃结束返回首页非初等函数举例非初等函数举例:符号函数xysgn取整函数xy 上页下页铃结束返回首页双曲函数 运用上常遇到的双曲函数是: 双曲正弦:2sh xxeex双曲余弦:2ch xxeex+双曲正切:xxxxeeeexxx+chshth 下页v双曲函数与反双曲函数 上页下页铃结束返回首页v双曲函数与反双曲函数 双曲函数的性质比较 sin(xy)=sin x cos ycos x sin y. sh(xy)=sh x ch y

17、ch x sh y, ch2 x- sh2 x=1, ch(xy)=ch x ch ysh x sh y, sh 2x=2sh x ch x, ch 2x=ch2x+sh2x. 比较 cos(xy)=cos x cos y sin x sin y. 下页上页下页铃结束返回首页v双曲函数与反双曲函数 反双曲函数 双曲函数 y=sh x, y=ch x, y=th x的反函数依次记为 反双曲正弦: y=arsh x, 反双曲余弦: y=arch x, 反双曲正切: y=arth x.可以证明 )1ln(arsh 2+xxxy, )1ln(arch 2+xxxy, xxxy+11ln21arth 终了上