对勾函数绝对经典

1、对勾函数f(x)二ax+错误！未找到引用源。的图象与性质繁华分享对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的 函数，所以也要注意它和了解它。(一) 对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。(接下来写作 f(x)=ax+b/x)。当aMO, b和时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x 叠加"而成的函数。这 个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。当a,b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y= ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾

2、。故称 对 勾函数”，也称 勾勾函数”、海鸥函数”。如下图所示：当a, b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠 加”而成。(请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。)(ab异号)一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只 不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。接下来，为了研究方便，我们规定a>0 , b>0。之后当a<0, b<0时，根据对称就很容易得出结论了。(二) 对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。当x

3、<0时，错误！未找到引用源。 即对勾函数的定点坐标：（三）对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。定义域：* 0；值域：y|y > 或 y< -2'ab）（四）对勾函数的单调性对于函数f（x） = ax + -：I 厂单调増区间：（一业一罟” 囂+00）；单调减区间:（五）对勾函数的渐进线由图像我们不难得到:对于函数f（x） = ax+|,它的渐进线有两条:y = axs y二S（六）对勾函数的奇偶性对勾函数在定义域内是奇函数，利用对号函数以上性质，在解某些数学题时很简便，下面举例说明：2x + 2x +

4、 41、求函数y=_x2x_4_的最小值。lx2 +2x+3解：令 t 二 x2 2x 3，则 . （x 1）22-2t2 +11t - tt根据对号函数y =t - *在（1, +x）上是增函数及t的取值范围，当t = 2时y有最小值。此时 x=-1.222、 求函数y二sinx（x = k：，kZ）的单调区间，并求当 x，（0,二）时函数的最小值。sin x2解：令t=sinx,对号函数y = t 在(0,t以y =sin x 在(0,丄上是减函数。sin x 2、， 2数 y = sin xsin x是奇函数，所以函数.2 )上是减函数，故当 x (0,】时sinx是增函数，所2同理，

5、y=si nx 丄 在(二，二)上是增函数，由于函 sin x 2在(-一,0)上是减函数，在(-二，)上2 22y = si n xsin x是增函数，由周期性，函数 y二sinx 2在每一个区间(2k,2k二)(kZ)上是减函数,sin x22在每一个区间(2k二,2k)(k Z)上是减函数；函数y =si nx 在每一个区间2s i nx3 二(2k,2kn皿)(kZ)上是增函数，在每一个区间 (2k二2-,2k)(kZ)上是增函数。2JI当x (0,二)时r (0,1，当t=1时即x 时y有最小值3。22 .ax +120 (本小题12分)已知函数f(x)= 一.X(1) 在a>

6、0时求f(x)的单调区间(不必写过程);卄1(2) 右 a>0,x什X2>0,X2+X3>0,X3+X1>0,| 刈(i=1,2,3),7a求证：f(Xi)+f(X2)+f(x3)>2 , a.1 解：整理得：f(x)=ax+j当a即 时,f(x)的减区间为(-二,0)和(0,+：);、 1 1 1 .当a>0时，f(x)的减区间为(-,0)和(0,)，增区间为(-：,-)和(,+：) pa寸a寸a pa 证明：由条件知：X1,X2,X3中至多一个负数(i )若Xl,X2,X3都为正数，由(1)可知| Xi|>分,f(|Xi|)> f(击)=2韦(i=1,2,3).f(xi)+f(X2)+f(X3)>6 . a>2 . a(ii )若X1,X2,X3中有一负数，不妨设X3<0.1X2+X3>0 且 | X3|>,pa1X2>-X3>af(X2)>f(-X3)=-f(X3)( T f