对面积的曲面积分1ppt课件

1、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂第四节 重积分的应用一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、转动惯量四、转动惯量 五、引力五、引力 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂1. 能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具有可加性 从积分定义出发 建立积分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为Dy

2、xyxfVdd),(,),(Dyx 占有空间有界域 的立体的体积为zyxVddd山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂计算由曲面计算由曲面 2241yxz 解一解一用二重积分用二重积分与与 xoy 面所围成的立体的体积面所围成的立体的体积14:22 yxD DdxdyyxV)41(22由对称性得由对称性得例例1124102221022)41 (4)41 (4Dxdyyxdxdxdyyx1(1 4)cos33 24xdxtdt 解二解二 14dvdvV 21041041022244xyxdzdydx 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂所围成的立体的体积所围成的立

3、体的体积2222,2yxzyxz 求求解一解一 DDdyxdyxVVV )()2(222212 Ddyx )1(222（用极坐标）（用极坐标） 20102)1 (2rdrrd解二解二 是柱形区域，用柱坐标是柱形区域，用柱坐标 dvV 2010222rrrdzdrd 102)22(2 drrr例例2 2山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂MAdzdn二、曲面的面积二、曲面的面积xyzSo设光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:则面积 A 可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyx

4、fyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素)那么Mnd山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx则有zyD即xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程为 ,),( , ),(xzDxzxzhy则有山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂球面的面积A为上半球面面积的两倍 解 例3 求半径为R的球的表面积 222yxRxxz 222yxRxxz 222yxRyyz 所以 22)()(12222yzxzAR

5、yx dxdyyxRRRyx2222222 200222RRddR 球心在原点的上半球面的方程为222yxRz 而 20224 4RRRR 反常积分222002RrdrRdRr2204RR Rr山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例4. 计算双曲抛物面计算双曲抛物面yxz 被柱面222Ryx所截解解: 曲面在曲面在 xoy 面上投影为面上投影为,:222RyxD那么yxzzADyxdd122yxyxDdd122rrrRd1d0220 )1)1( 32232R出的面积 A .山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂计算圆柱面计算圆柱面 222azx 被圆柱面被圆柱面 所截的部分的面积所截的

6、部分的面积222ayx 解解由对称性可知由对称性可知A=8A1 A1 的方程的方程22xaz 22221xaazzyx 122002222Daxadyxaadxdxdyxaa2a 28aA 练习题练习题山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂三、物体的质心三、物体的质心 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的重重心心山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂,1 DxdAx .1 DydAy DdA 其中其中由元素法知由元素法知,),(),( DD

7、dyxdyxxx .),(),( DDdyxdyxyy 若薄片是均匀的，重心称为形心若薄片是均匀的，重心称为形心. 类似地 设一物体占有空间闭区域 其密度(x y z)是闭区域上的连续函数 则该物体的质心坐标为dvzyxdvzyxxx),(),( dvzyxdvzyxyy),(),( dvzyxdvzyxzz),(),( 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂4例例5. 求位于两圆求位于两圆sin2rsin4r和的质心. 2D解解: 利用对称性可知利用对称性可知0 x而DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之间均

8、匀薄片0dsin3143212oyxC山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂提示 取半球体的对称轴为z轴, 原点取在球心上 解解 例例6 求半径为求半径为a的均匀半球体的质心的均匀半球体的质心 显然 质心在 z 轴上 故0 yx 半球体所占空间闭区可表示为 (x y z)| x2y2z2a2 z0 因为 dvzdvdvdvzz83advzdvdvdvzz83advzdvdvdvzz83a adrrrdddvz022020sincos42214aadrrrdddvz022020sincos42214a 提示 0ra 20 02 adrrdddv022020sin323aadrrdddv0220

9、20sin323a 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 取半球体的对称轴为z轴, 原点取在球心上 解解 例例6 求半径为求半径为a的均匀半球体的质心的均匀半球体的质心 显然 质心在 z 轴上 故0 yx 半球体所占空间闭区可表示为 (x y z)| x2y2z2a2 z0 因为 dvzdvdvdvzz83advzdvdvdvzz83advzdvdvdvzz83a 所以质心为)83 , 0 , 0(a 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数. ),(zyx该物体位于(x , y , z) 处的微元 vzyxy

10、xd),()(22因此物体 对 z 轴 的转动惯量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdxyoz对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂类似可得:zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂如果物体是平面薄片,面密度为Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DoyxyxIdd),( 则转动

11、惯量的表达式是二重积分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂rraddsin0302例例7.求半径为求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径的均匀半圆薄片对其直径解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图, 0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM(半圆薄片的质量21)2Ma2212oxyDaa的转动惯量.山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂)sinsincossin(222222rr解解: 取球心为原点取球心为原点, z 轴为轴为 l 轴轴,:2222azyx那么zIzyxyxddd)(22552aMa

12、252dddsin2rr olzxy132220d球体的质量334aM dsin03rrad04例例8.求均匀球体对于过球心的一条轴求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标) 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂222zyxr G 为引力常数五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域 ,，连续),(zyx物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,vrxzyxGFxd),(d3vryzyxGFyd),(d3vrzzyxGFzd),(d3在上积分即得各引力分量:其密度函数rzxvdyFd引力元素在三坐标轴上的投影分别为),(zyxFFFF 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂vrxzyxGFxd),(3vryzyxGFyd),(3vrzzyxGFzd),(3对 xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点的引力分量为,d),(3DxxyxGFDyyyxGFd),(3)(22yx 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂Rxyzo例例9. 求半径求半径 R 的均匀球的均匀球2222Rzyx对位于)(), 0 , 0(0RaaM的单位质量质点的引力.解解: 利用对称性知引力分量利用对称性知引力分量0yxFFzFRRzazGd)(vazyxazGd)(23222RRzazGd)(200232