第六章定积分的几何应用1ppt课件

1、( ) ,),f xC a ,ab 取假假设设lim( )dbbaf xx 存在存在 , 则称此极限为则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分的无穷限反常积分, 记作记作( )dlim( )dbbaaf xxf xx 类似地类似地 , 假设假设( )(, ,f xCb则定义则定义( )dlim( )dbbaaf xxf xx 无穷限的反常积分无穷限的反常积分( )(,),f xC 若若则定义则定义( )df xx lim( )dcaaf xx lim( )dbbcf xx 类似地类似地 , 假设假设( ) , ),f xC a b 而在而在 b 的左邻域内无界的左邻域内无界,0( )dlim

2、( )dbbaaf xxf xx 则定义则定义( )( , ,f xC a b 而在点而在点 a 的右邻域内无界的右邻域内无界,0取存在存在 ,0( )dlim( )dbbaaf xxf xx 若极限若极限baxxfd)(lim0a , b 上的反常积分上的反常积分, 记作记作则称此极限为函数则称此极限为函数 f (x) 在在 无界函数的反常积分无界函数的反常积分无界点常称无界点常称 为瑕点为瑕点( )dbaf xx ( )dcaf xx ( )dbcf xx 101lim( )dcaf xx 202lim( )dbcf xx ( ) , (),f xa bc acb若若在在上上除除点点外外连

3、连续续而在点而在点 c 的的邻域内无界邻域内无界 , 则定义则定义说明说明: (1) 有时通过换元有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互相转化反常积分和常义积分可以互相转化 .例如例如 ,1201dxx (sinxt 令令）20dt 214011dxxx 11221021dxxtx 112102d()()xxxx 1()txx令令022dtt (2) 当一题同时含两类反常积分时当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分分别讨论每一区间上的反常积分. 0d (2)xx x 计计算算, . 这这是是无无穷穷积积分分与与瑕瑕积积分分混混合合在在一一起

4、起的的广广义义积积分分应应设设法法分分开开 , 0 , 2 , xx 易易知知为为被被积积函函数数的的瑕瑕点点故故 1 2 3 0 0 1 2 3dd( ) (2) (2)xxxxxx 1 2 3 0 1 2 3111( ) d 22 xxx 1 2 3 0 1 2 312222ln ln ln ln 2xxxxxxxx 不存在不存在例例解解 . 故故原原积积分分发发散散第六章第六章 定积分的应用定积分的应用第一节第一节 元素法元素法在第五章，我们学习了定积分的概念和定在第五章，我们学习了定积分的概念和定积分的计算，本章我们将研究如何利用定积分积分的计算，本章我们将研究如何利用定积分作为工具来

5、解决一些实际问题中有关的计算作为工具来解决一些实际问题中有关的计算:实际问题实际问题化为积分模型化为积分模型 计算定积分。计算定积分。1. 什么类型的问题可化为积分模型什么类型的问题可化为积分模型?2. 如何化成积分模型如何化成积分模型?回忆回忆 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(一、问题的提出一、问题的提出曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下（2）计计算算iA 的的近近似似值值iiixfA )(

6、 iix （3） 求和，得求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA ab xyo)(xfy （4） 求极限，得求极限，得A的精确值的精确值iinixfA )(lim10 badxxf)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面积元素面积元素当当所所求求量量U符符合合下下列列条条件件：（3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示为为iixf )( ；具体问题表示为定积分的一般步骤：具体问题表示为定积分的一般步骤：3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得 badxxfU)(，即即为为所所求

7、求量量U的的积积分分表表达达式式.这个方法通常叫做元素法这个方法通常叫做元素法应用方向：应用方向： 几何上几何上: 平面图形的面积；体积；平面图形的面积；体积； 平面曲线的弧长；平面曲线的弧长；物理上物理上: 功；水压力；引力等功；水压力；引力等小结小结元素法的实质是元素法的实质是:在小的范围内以常量在小的范围内以常量代替变量代替变量,求和取得近似值求和取得近似值,再取极限再取极限得到精确值得到精确值第六章第六章 定积分的应用定积分的应用第二节第二节 定积分在几何上的应定积分在几何上的应用用xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积( )baAf

8、x dx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积baAf xf x dx21( )( ) 一、平面图形的面积一、平面图形的面积xxxx x 1 直角坐标系情形直角坐标系情形 , , , () x xxab 任任取取则则微微分分元元素素 面面积积元元素素 为为xxxAd |( )( )|dAf xg xdx , 于于是是所所求求面面积积为为 |( )( )| dbaAf xg xx Oxy)(xfy )(xgy ax bx ab解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(面积元素面积元素dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.

9、31 2xy 2yx 2 , , 2 yxyxyx 求求曲曲线线直直线线所所围围平平面面图图形形的的面面积积Oxyxy2xy 2xy ( 1 ) :求求积积分分区区间间(2) 面面积积元元素素(3) 计计算算面面积积 联联立立方方程程组组2yx yx 2yx 2yx yx 2yx ( 1, 1 ), (2, 4), (0, 0) ABO求求得得交交点点为为AB12 0, 11, 20, 2 积积分分区区间间为为 0, 1 , d(2)dd Axxxxx 在在中中2 1, 2 , d(2)d .Axxx在在中中 1 22 0 17d(2)d . 6 Axxxxx 例例2 解解解解两曲线的交点两曲

10、线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 于是所求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 说明：注意各积分区间上被积函数的形式说明：注意各积分区间上被积函数的形式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗？吗？x解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 ydyyydA 242.18

11、42 dAAxy22 4 xy如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)()(21 ttdtttA 解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 设由曲线设由曲线)( r及射线及射线 、 围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)( 在在, 上连续，且上连续，且0)( xo d d 面积元素面积元素 ddA2)(21 曲边扇形的面积曲边扇

12、形的面积.)(212 dA 2、极坐标系情形、极坐标系情形)( r例例 5 5 求求双双纽纽线线 2cos22a 所所围围平平面面图图形形的的面面积积.解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A例例 6 6 求求心心形形线线)cos1( ar所所围围平平面面图图形形的的面面积积)0( a.解解 dadA22)cos1(21 利用对称性知利用对称性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0例例7 7 3cos 1co

13、s rr 求求圆圆与与心心形形线线所所围围成成的的. 平平面面图图形形的的面面积积Ox3cos3rcos1r11, , 2. AAA 由由对对称称性性求求出出上上半半部部分分的的面面积积则则( 1 ) 求求积积分分区区间间联联立立方方程程组组3cosr 1cosr 1cos 2 3 0 , 1cos , 3r 当当时时 曲曲边边为为 (2) 求求面面积积元元素素211d(1cos ) d . 2A , 3cos , 32r 当当时时 曲曲边边为为211d(3cos ) d . 2A 解解(3) 计计算算面面积积12AA 2232 0 3112(1 cos ) d(3cos )22d 3 01c

14、os2(12cos)2d 2 39(1cos2 ) 2d 5 4 求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）积分运算）小结小结 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1、旋转体的体积、旋转体的体积二二 体积体积取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上上任任取取小小区区间间,dxxx ，dxxfdV

15、2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy yr解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，, 0hx 在在, 0h上任取小区间上任取小区间,dxxx ，xo直线直线 方程为方程为OPdxxhrdV2 圆锥体的体积圆锥体的体积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxoa aoyx解解,323232xay 332322 xay,aax 旋旋转转体体的的体体积积dxxaVaa33232 .105323a 类似地，如果旋转体是由连续曲线类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx 、直线、直线cy 、dy 及及y轴所围轴所围成的曲边梯形绕成

16、的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，轴旋转一周而成的立体，体积为体积为xyo)(yx cddyy2)( dcVxyoa2例例3. 计算摆线计算摆线(sin )(1cos )xa ttyat (0)a 的一拱与的一拱与 y0所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕 x 轴轴 , y 轴旋转而成的立体体积轴旋转而成的立体体积 .解解: 绕绕 x 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为220daxVyx 利用对称性利用对称性2220(1cos )at (1cos )datt 3302(1cos ) datt 36016sind2tat 360232sindau u 332 a 56 4312 2 235a

17、 ay()2tu 令令xyoa2a绕绕 y 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为(sin )(1cos )xa ttyat )0( aa22220( )dayVxyy 22(sin )a tt sin dat t 22210( )daxyy )(2yxx 22(sin )a tt sin dat t 02320(sin ) sin dattt t 336a )(1yxx Oxy22xyxy 11Mx2 2 yxyxy 求求圆圆弧弧与与抛抛物物线线以以及及轴轴所所 , xy围围成成的的平平面面图图形形绕绕轴轴绕绕轴轴旋旋转转一一周周所所生生成成的的旋旋. 转转体体的的体体积积( 1 ) x绕绕轴

18、轴旋旋转转: 积积分分区区间间: 体体积积元元素素2222dd ( 2)() d Vyxxxx 112 0 07d (2)d. 6VVxxx : 计计算算体体积积.可可视视为为两两个个旋旋转转体体体体积积之之差差yx 22yx ( 1, 1 )M交交点点0, 1. x 例例4AOxy22xyxy 11M( 2 ) y绕绕轴轴旋旋转转: 积积分分区区间间: 体体积积元元素素22241dd() dd . Vxyyyyy 1 21212 0 1d d VVVVV : 计计算算体体积积0, 11, 2 . y 0, 1 , 在在区区间间上上222dd(2)d . Vxyyy 1, 2 , 在在区区间间上上 1 242 0 1 20 222 d(2)d.15yyyy ? 还还有有其其它它的的计计算算方方法法吗吗AOxy22yx yx 1M( 2 ) y绕绕轴轴旋旋转转, 0, 1, 0, xx 如如图图所所