微积分复习及解题技巧[1]

1、微积分复习及解题技巧第一章函数一、据定义用代入法求函数值：典型例题：综合练习第二大题之2二、求函数的定义域：（答案只要求写成不等式的形式，可不用区间 表示）对于用数学式子来表示的函数，它的定义域就是使这个式子有意 义的自变量x的取值范围（集合）主要根据： 分式函数：分母工0 偶次根式函数：被开方式0 对数函数式：真数式0 反正（余）弦函数式：自变量 < 1在上述的函数解析式中，上述情况有几种就列出几个不等式组成 不等式组解之。典型例题：综合练习第二大题之1f A补充：求y= .； 2；的定义域。（答案：一2 -2）三、判断函数的奇偶性：典型例题：综合练习第一大题之3、4第二章极限与连续求

2、极限主要根据:1、常见的极限：1lim 丁 =°（：0）XX2、利用连续函数：ixm-xelim f （x） = f （X。）J.xo初等函数在其定义域上都连续。例:1呵厂13、求极限f（x） 1的思路：limf（zC130 常数）Xjotlxm0 g（x） = <C2（C2 式 0常数）可考虑以下9种可能:0型不定式（用罗彼塔法则）=0C2卫=00c2C1亠0COoO=OOC2二型不定oO式（用罗彼塔法则）特别注意：对于f (X)、g (x)都是多项式的分式求极限时，解法见 教材P70下总结的“规律”。以上解法都必须贯穿极限四则运算的法则!典型例题：综合练习第二大题之3、4;

3、第三大题之1、3、5、7、8补充1：前加“)!，则a= - 2,b= 1x-1 2x补充2：2二 e2补充3：-1 .inm辰+式1=2limn )：:1 -2n 12；1 C 1 1 1+ j = I i m 1 + +(2n-1)(2n+1)啤 2 I 3 35亠丄2n -1 2n 1补充4:in xlim1X r 1(此题用了“罗彼塔法则”)第三章导数和微分一、根据导数定义验证函数可导性的问题：典型例题：综合练习第一大题之12二、求给定函数的导数或微分：求导主要方法复习：1、求导的基本公式：教材 P1232、求导的四则运算法则：教材 P110-1113、复合函数求导法则（最重要的求导依据

4、）4、隐函数求导法（包括对数函数求导法）6、求高阶导数（最高为二阶）7、求微分：dy=y/ dx即可典型例题：综合练习第四大题之1、2、7、9I补充：设 y= I x21 （arctgx）2，求 dy.解：T 八丄2x+2arctgx 亠2 vW1+x2 右+x21+x2/ X 亠 2arctgx、二妒丫 dX 珂 1 “2 km第四章 中值定理，导数的应用一、关于罗尔定理及一些概念关系的识别问题： 典型例题：综合练习第一大题之 16、19二、利用导数的几何意义，求曲线的切、法线方程 ： 典型例题：综合练习第二大题之 5 二、函数的单调性（增减性）及极值问题： 典型例题：综合练习第一大题之 1

5、8，第二大题之 6，第六大题之 2第五章不定积分第六章 定积分I理论内容复习：1、原函数:F(X)二 f (x)则称F(X)为f (X)的一个原函数。2、不定积分：概念：f ( X )的所有的原函数称f ( X )的不定积分。f(x)dx 二 F(x) C注意以下几个基本事实：Ff (x)dx = f(x)f (x)dx = f(x) Cd f (x)dx 二 f (x)dxdf (x) - f (x) C性质： a f (x)dx = a f (x)dx(注意a = 0)! f (x)二 g(x) dx = f (x)dx 二 g(x)dx基本的积分公式：教材P2063、定积分：定义几何意义

6、性质：教材 P234 235性质1 3求定积分方法：牛顿一莱布尼兹公式H习题复习：一、关于积分的概念题：典型例题：综合练习第一大题之22、24、25、第二大题之11、14二、求不定积分或定积分:可供选用的方法有直接积分法：直接使用积分基本公式换兀积分法：包括第一类换元法（凑微分法）、第二类换元法分部积分法典型例题：综合练习第五大题之2、3、5、6关于“换元积分法”的补充题一：dx2x112x 1d(2x 1)=丄1 n2x + 1 +C2关于“换元积分法”的补充题二:解：设 x 3=t2, 即 卩X-3 二t,则 dx=2tdt.2.xdx = (t 3) 2=2 .丄t21 6t C、x-3

7、t2 1= 2t3 6t C = 2(、x - 3)3 6、x - 3 C33关于“换元积分法”的补充题三：8 dx013 x解：设 x=t3，即 3x = t，则 dx=3t2dt当 x=0 时，t=0；当 x=8 时，t=2.所以8 dx 2 3t 2dt01 + Vx = 0 1 +1f2 |3(t _1) + 2 I01 + t一dt = 3(t 1)2+ In 1 +=3ln3，即变量（此题为定积分的第二类换元积分法，注意“换元必换限” x换成变量t后，其上、下限也从0、8变为0、2） 关于“分部积分法”的补充题一：xexdx 二 xdex 二 xex - exdx = （x - 1

8、）ex C关于“分部积分法”的补充题二:arctgxdx = xarctgx - x11 x2dx = arctgx -关于“分部积分法”的补充题三:exln xdx1e2J In xdx21/2x In xee 2订 x2dlnx_ 1f2x Inxee订xdxf1=21211丿2 L122-x22 1丿1/2 1 2ee x221>1(e1e22 2（此题为定积分的分部积分法）三、定积分的应用（求曲线围成的平面图形面积）：典型例题：综合练习第六大题之4注意：此题若加多一条直线 y=3x，即求三线所围平面图形的面积, 则解法为一一（草图略）132132S= o(3x -x)dx 亠 I (3x - x )dx= °2xdx 亠 i (3x - x )dx=21x2=1i 3 9 -1 27 ->23丿23丿_13=3（平方单位）使用指南本 复习参考资料 应当与人手一册的综合练习题 配套使用并服从于 综合练习题 。另外， 请注意如下几点：本 复习参考资料 中的蓝色字体的“补 充”题是以往年级的部分应试复习题，对今年 9 月份考试的同志来说，仅仅作为参考补充。 综合练习题是我们复习重点中的重点 ，请 对照答案将 所有题目完整地做一遍（使题目与 答案相结合而不要相分离，以便需要时加快查 找的速度和准确度） 。 请将上述做好的综合练习题 随身