2020年理科数学课时练习：直线、平面垂直的判定与性质

1、课时规范练 41 直线、平面垂直的判定与性质基础巩固组1.（2018 天津河西区质检三，5）设 m 是直线,a B是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A. 若 m/ am/ g则a/ 3B. 若 m /am 丄3贝U a丄3C. 若a丄3m/a,贝Um3D. 若a丄3m 丄a贝Um /32.（2018 江西南昌测试四，7）三棱锥 S-ABC 中,SA 丄 BC,SC 丄 AB 贝US 在底面 ABC 的投影一定在三角形ABC 的（）A.内心B.外心C.垂心D.重心3.（2018 浙江台州中模拟，9）已知正方体 ABCD-AiBiCiDi的边长为 1,E,F 为边 BQI上两动点，且|EF|

2、= _, 则下列结论中错误的是（）A. AC 丄 BEB. 三棱锥 A-BEF 的体积为定值C. 二面角 F-AB-E 的大小为定值D. 二面角 A-EF-B 的大小为定值3. （2018 全国 1,文 10）在长方体 ABCD-AiBiCiDi中,AB=BC= 2,ACi与平面 BBiCiC 所成的角为 30 ,则 该长方体的体积为（）A.8B.6 C.8 D.8 -4. （2018 吉林四平一模,14）ABCD 是正方形,P 为平面 ABCD 外一点 且 PA 丄平面 ABCD,则平面 PAB,平面 PBC,平面 PCD,平面 PAD,平面 ABCD 这五个平面中，互相垂直的平面有对.5.

3、（2018 江西南昌测试二,18） 如图 1,四边形 ABCD 为等腰梯形，AB= 4,AD=DC=CB= 2,AADC 沿 AC 折 起,使得平面 ADC 丄平面 ABC,E 为 AB 的中点，连接 DE,DB（如图 2）.（1）求证:BC 丄 AD;求直线 DE 与平面 BCD 所成的角的正弦值2?7.如图，四棱锥P-ABCD中,PA丄底面 ABCD,底面ABCD是直角梯形，/ ADC= 90 ,AD / BC,AB丄 AC,AB=AC=一,点 E 在 AD 上，且 AE=2ED.(1)已知点 F 在 BC 上，且 CF=2FB,求证:平面 PEF 丄平面 PAC;若 APBC 的面积是梯

4、形 ABCD 面积的-,求点 E 到平面 PBC 的距离.综合提升组,10)在正方体 ABCD-AiBiCiDi中,M,N 分别是 B6,CDi的中点，则()B.MN 丄 BCiD.MN 丄平面 ACCi,i6)已知正方体 ABCD-AiBiCiDi的棱长为 4,点 P 是AAA的中点，点 Q 是 ABDCi内的动点 若 PQ 丄 BCi,则点 Q 到平面 AiBiCiDi的距离的范围是 _.10. (20i8 江西南昌四模，i6)在三棱锥 A-BCD 中,RtABC 与 RtADC 共斜边 AC,且 AC 与平面 BCD 所成角正弦值为，AB=AD= 2,BD= 一,则 A 到平面 BCD

5、的距离为 _.11.如图，在 RtABC 中，/ACB= 90 ,BC= 2AC=4,D,E 分别是 AB,BC 边的中点，沿 DE 将 ABDE 折起至 FDE,且/ CEF= 60 .(1)求四棱锥 F-ADEC 的体积；求证:平面 ADF 丄平面 ACF.8.(20i8 云南昆明检测A.MN / CiDiC.MN 丄平面 ACDi6-动点(1)求四棱锥 P-ABCD 的体积如果 E 是 PA 的中点，求证:PC /平面 BDE.是否不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置，都有 BD 丄 CE?证明你的结论创新应用组13.(2018浙江余姚中学二模,19)如图，在四棱锥P-ABCD中,PD丄

6、平面ABCD,四边形ABCD是菱 形,AC=6,BD=6_,E 是 PB 上任意一点.12.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为1 的正方形 侧棱 PA 丄底面 ABCD 且 PA=2,E 是侧棱 PA 上的2?(1) 求证:AC 丄 DE;(2) 当AEC 面积的最小值是 9 时,在线段 BC 上是否存在点 G,使 EG 与平面 PAB 所成角的正切值为 若存在？求出 BG 的值若不存在，请说明理由.课时规范练 41 直线、平面垂直的判定与性质1.B 在 A 中,m/a,m/g则a与B相交或平行 故 A 错误;在 B 中,m/a,m 丄则由面面垂直的判定定 理得a丄3故 B 正确；在

7、C 中，algm/ a,则 m 与g相交,平行或 m?g故 C 错误；在 D 中,a gm 丄a,则 m /3或m?g故 D 错误，故选 B.2. C过 S 作 SO 丄平面 ABC,垂足为 0,连接 AO 并延长交 BC 于 H ,连接 CO.二SO 丄 BC,又 SA 丄 BC,SOQSA=S,二BC 丄平面 SAO,又 A0?平面 SAO,二BC 丄 A0,同理 AB 丄 C0,0 是三角形 ABC 的垂 心.故选 C.3.C 根据正方体得出 AC 丄面 BiDiDB,而 BE?面 BiDiDB,所以有 AC 丄 BE,故 A 正确 因为 VA- BEF=-dA-BEFSBEF=-_SZ

8、BEF= - - BBlEF 为定值，故 B 正确；二面角 A-EF-B 就是二面角 A- BiDi-B,所以其为定值，故 D 正确；因为 F 与 Bl重合,E 与 Di重合时二面角 F-AB-E 的大小不同，故 C 不 正确；故选C.4.- C 在长方体 ABCD-AiBiCiDi中,AB 丄平面 BCCiBi，连接 BCi,则/ACiB 为 ACi与平面 BBQiC 所 成的角，/ACiB= 30，所以在 RtABCi中,BCi=2 又BC=2,所以在 RtABCCi中,CC1=- - =2 一，所以该长方体体积 V=BCXCC1XAB=82 2 26.证明 由余弦定理可求得 / D= 1

9、20 .所以 AC=2 ,AC +BC =16=AB ,则 BC 丄 AC,又因为平面 ADC 丄平面 ABC 且平面 ADC 门平面 ABC=AC ,所以 BC 丄平面 ACD,从而 BC 丄 AD.解取 AC 中点 F,连接 EF、EC.DF=-=1,设 E 点到平面 BCD 的距离为 d,VE-BCD=VD- 一 一BCE,d=，又 DE= , -所以 DE 与平面 BCD 所成角为Q则 sin0= -6.(1)证明TAB 丄 AC,AB=AC ,/ ACB= 45 .5.5 因为 PA 丄平面 ABCD,所以平面PAB,所以平面 PAD 丄平面 PAB,同理可得平面 PBC 丄平面 P

10、AB,平面 PAD 丄平面 PCD,故互相垂直的 平面有 5 对故填 5.2?底面 ABCD 是直角梯形，/ ADC= 90 ,AD / BC,/ ACD= 45 ,AD=CD ,BC=_AC= 2AD./AE=2ED,CF= 2FB, AE=BF= -AD,四边形 ABFE 是平行四边形,AB/ EF.又 AB 丄 AC,. AC 丄 EF./ PA 丄底面 ABCD,. PA 丄 EF./PAAAC=A ,EF 丄平面 PAC./ EF?平面 PEF,平面 PEF 丄平面 PAC.解/ PA 丄底面 ABCD,且 AB=AC ,PB=PC,取 BC 的中点 G,连接 AG,则 AG 丄 B

11、C,AG=CD= 1.设 PA=x,连接 PG,则 PG=,/ APBC 的面积是梯形 ABCD 面积的一倍，-2XPG= - (1 + 2)X1,即 PG=2，求得 x= 一，/ AD / BC,AD?平面 PBC,BC?平面 PBC,.AD /平面 PBC,.点 E 到平面 PBC 的距离即是点 A 到平面 PBC 的距离，TVA-PBC=VP-ABC,SAPBC= 2SABC,点 E 到平面 PBC 的距离为-PA= 7.D 对于选项 A,因为 M,N 分别是 BCi,CDi的中点，所以点 N 平面 CDDiCi,点 M?平面 CDDiCi，所 以直线MN 是平面 CDDiCi的交线，又

12、因为直线 CiDi在平面 CDDiCi内,故直线 MN 与直线 CiDi不可能平行，故选项 A 错;对于选项 B,正方体中易知 NB 刑 Ci,因为点 M 是 BCi的中点，所以直线 MN 与直线 BCi不垂直.故选项 B 不对；对于选项 C,假设 MN丄平面 ACDi,可得 MN 丄 CDi.因为 N 是 CDi的中点，所以 MC=MDi.这与 MC 和 Di矛盾.故假设不成立.所以选项C 不对;对于选项 D,分别取 BiCi,CiDi的中点 P、Q,连接 PM、 QN、PQ.因为点 M 是 BCi的中点，所以 PM / CCi且 PM= -CCi.同理 QN / CCi且 QN=-CCi.

13、所以 PM / QN 且 PM=QN ,所以四边形 PQNM 为平行四边形.所以 PQ/ MN.在正方体中，CCi丄 PQ,PQ 丄 AC.因 为 ACnCCi=C,AC?平面 ACCi,CCi?平面 ACCi,所以 PQ 丄平面 ACCi.因为 PQ / MN ,所以 MN 丄平面 ACCi.故选 D.8.3,4 在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，点 P 是 AAi的中点，连接 AC 交 BD 于 0,则 O 为线段 BD 的中 点,所以P0 为AAiC 的中位线，又因为 AiC 丄平面 BDCi,所以 P0 丄平面 BDCi,过 0 作 0M 丄 BCi,且 0M 交线段 BCi于

14、M,则 BCi丄平面 P0M,则点 Q 在平面 BDCi内的轨迹是线段 0M;当点 Q 与点 0 重 合时，点 Q 到平面 AiBiCiDi距离取得最大值为 4,当点 Q 与点 M 重合时，点 Q 到平面 AiBiCiDi距离最 小,又因为 M 是 BCi的四等分点，所以点 Q到平面 AiBiCiDi的距离最小值为 3,所以点 Q 到平面 AiBiCiDi的距离的取值范围是3,4.10 -或 一 由 AB=AD= 2 知 RtAABC 与 RtADC 全等，所以 ABCD 是等腰三角形 且 A 在底面 BCD 的射影在中线 CE 上,如图A0丄底面BCD，设A0=x，则在RtAA0C中,AC与

15、平面BCD所成角正弦值 为一知 AC=X,OC2=-X2,在 RtAA0D 及 RtAADC 中,OD2=4-x2,CD2=-x2-4, 0D2+CD2=OC2,.OD 丄 CD,又 SOBCD=2SAODC, -BD0C=2 - ODCD 解得X= 一或一，故答案为 一或一 DE -AC,DE 丄 BC,DE= 1.依题意，DE 丄 EF,BE=EF= 2,/EF AEC=E ,DE 丄平面 CEF,TDE?平面 ACED,平面 ACED 丄平面 CEF.作 FM 丄 EC 于 M, 贝 U FM 丄平面 ACED,/CEF= 60 ,FM=_,梯形 ACED 的面积 S=-(AC+ED )

16、XEC=(1+2) X2= 3.四棱锥 F-ADEC 的体积 V=-Sh=- 3_证明(法一)如图 取线段 AF,CF 的中点 N,Q,连接 DN,NQ,EQ,则 NQ -AC,NQ DE,四边形 DEQN 是平行四边形，DN / EQ./EC=EF , / CEF= 60 ,CEF 是等边三角形,EQ 丄 FC,又 DE 丄平面 CEF ,DE 丄 EQ,AC 丄 EQ,TFCAAC=C ,EQ 丄平面 ACF,DN 丄平面 ACF,又 DN?平面 ADF,平面 ADF 丄平面 ACF.(法二)连接 BF,/ EC=EF , / CEF= 60 ,CEF 是边长为 2 等边三角形./ BE=

17、EF ,/ EBF=- CEF= 30 ,/ BFC= 90 ,BF 丄 FC./DE 丄平面 BCF,DE / AC,AC 丄平面 BCF./ BF?平面 BCF,. AC 丄 BF,又FCHAC=C,BF 丄平面 ACF,又 BF?平面 ADF,.平面 ADF 丄平面 ACF.11.(1)解TPA 丄底面 ABCD,PA 为此四棱锥底面上的高.V四棱锥P_ABCD= -S正方形ABCDXPA= 1X2=_证明连接 AC 交 BD 于点 0,连接 OE.四边形 ABCD 是正方形, AO=OC.又 AE=EP ,OE / PC.又 PC?平面 BDE,OE?平面 BDE,PC / 平面 BD

18、E.(3)解 不论点 E 在侧棱 PA 的任何位置，都有 BD 丄 CE.证明如下：四边形 ABCD 是正方形，.BD 丄 AC./PA 丄底面 ABCD,.PA 丄 BD.又 PAAAC=A ,BD 丄平面 PAC./CE?平面 PAC,.BD 丄 CE.12.(1)证明 连接 BD,设 AC 与 BD 相交于点 F.因为四边形 ABCD 是菱形 所以 AC 丄 BD. 又因为 PD丄平面 ABCD ,AC?平面 ABCD.AC 丄 PD,.AC 丄平面 PBD.E 为 PB 上任意一点，DE?平面 PBD,所以 AC 丄 DE.解连接 ED.由(1),知 AC 丄平面 PBD,EF?平面 PBD,所以 AC 丄 EF.SACE=-AC EF，在ACE 面积最小时,EF 最小，则 EF 丄 PB.SZ