初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案有答案

1、1 .掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。2 .掌握正方形的性质定理1和性质定理2。3 .正确运用正方形的性质解题。4 .通过四边形的从属关系渗透集合思想。5 .通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质(由学生和老师一起总结)。正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角，四条边相等。正方形性质定理2:正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该

2、定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。小结：(1)正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图(2)正方形的性质：正方形对边平行。正方形四边相等。正方形四个角都是直角。正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。例1.如图，折叠正方形纸片ABCD,先折出折痕BD,再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG,使AD2,求AG.【解析】：作GMLBD,垂足为M.由题意可知/ADG=GDM则AAD®MDGDM=DA=2AC=GM又易知：GM=BM而BM=BD-DM=2/2-2=2(0-1),.AG=BM=2(721)例2 .如图，P为正方形ABCD内一点，

3、PA 方形ABCD的面积？PB 10 ,并且P点到CD边的距离也等于10,求正【解析】：过P作EFAB于F交DC于E.1设PFx,则EF10x,BF(10x).2由PB2PF2BF2.可得：102x21(10x)2.4故x6.Sabcd162256.例3.如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AMAMAB,则有EFBEDF,为什么？【解析】：要说明EF=BE+DF只需说明BE=EMDF=FM即可，而连结AE、AF,只要能说明ABHAMEAD叼AMF即可.理由：连结AE、AF.由AB=AMAB±BC,AMLEF,AE公用，.ABHAMEBE=ME同理可得，ADFAAM

4、F.DF=MF.EF=ME+MF=BE+DFEAF 45，试说明 EF BE DF例4.如下图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且【解析】：ADF旋转至!)ABC,贝IAD叼ABGAF=AG/ADF=ZBAGDF=BG ./EAF=450且四边形是正方形， /ADF+/BAE=45 /GAB+/BAE=45即/GAE=45 .AENAEG(SASEF=EG=ERBG=EBDF例5.如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使EAFAGEF于G.求证：AGAB【解析】：欲证AG=AB,就图形直观来看，应证RtAABE与RtAAGE等，但条件不够./EAF=45°怎

5、么用呢r?显然/1+/2=45°,若把它们拼在一起，问题就解决了【证明】：把AAFD绕A点旋转£0°至AHB.EAF=45°,./1+Z2=45°./2=/3,.,/1+/3=45°.又由旋转所得AH=AF,AE=AE.ME阵AAEH.例6.(1)如图1,在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,45°,CD上，AE,BF交于点O,AOF90求证：BECF.(2)如图2,在正方形ABCD中，点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,FOH90,EF4.求GH的长.1 .已知点E,H,F,G分别在矩

6、形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,FOH90,EF4.直接写出下列两题的答案:如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH的长；如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH的长(用n的代数式表示).图3【解析】证明：如图1,.四边形ABC师正方形，A&BC/ABG/BCB90°,ZEA&ZAEB=90°./EOB=/AOf90°/FBG/AEB=90°,ABMBCF,/EAB=ZFBCBE=CF.解：如图2,过点A作AM图6,点A在线段BG上，四边形ABCD与DEFG都是正方形，？其边长分别为3cm和

7、5cm,则CDE的面积为cm2.(6) (7)2 .你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形.？如果你所拼得的图形中正方形的面积为1,且正方形与正方形的面积相等，？那么正方形的面积为.3 .如图9,已知正方形ABCD的面积为35平方厘米，E、F分别为边图2AB、BC上的点.AF、CE相交于G,并且ABF的面积为14平方厘米,BCE的面积为5平方厘米,面积是4 .如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB2BC。分别以AB、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN,EC。求证：FNECo5 .如图，ABCD是正方形.G是BC上的一点，DEAG于E,BFAG于F.?那么四边形BEGF

8、的(1)求证：ABFzXDAE；13EFBC, EG CD(2)求证：DEEF【纵向应用】6 .在正方形ABCD中，_1一求证：OF-BE27 .在正方形ABCD中，一1一求证：OGCE28 .如图13,点E为正方形FB.12.12.AEDF,ABCD对角线BD上一点求证：AEFGFC9.已知：点E、F分别正方形ABCD中AB和BC的中点，连接AF和DE相交于点G,GHAD于点H.1、 求证：AFDE；2、 如果AB2,求GH的长；3、 求证：CGCD【练习题答案】1 .6cm2.2 .36.3 .420cm5（面积法）.274 .证明：FN=EC证明：在正方形ABEF和正方形BCMNKAB=

9、BE=EFBC=BN/FEN=ZEBC=90,AB=2BCEN=BC.FENEBCFN=EC5 .略6 .提示：注意到基本图形中的AE=AF.1 .两次应用内角平分线定理和CE=CF可证2 .过点O作OGIIDE和CO=CG,CF=CET证.、一一，一“一一1一3,过点。作OHIIBE,OF=OH=BE27 .提示：一条线段的一半或2倍这两者的位置关系有哪两种8 .提示：延长AE交GF于点M,DC,使CH=DG连接HF,证四边形又t角互补，法2:延长FE,AE证全等三角形9 .(1)略(2)4(3)作CMLDG,证DM=AG=5(1)定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形(

10、2)特征：边：两组对边分别平行；四条边都相等；内角：四个角都是90°对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角(3)主要识别方法：1: :对角线相等的菱形是正方形2: 对角线互相垂直的矩形是正方形3: 四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形4: 一组邻边相等的平行四边形是正方形可得pq=eg + FH25: 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。正方形的中点四边形是正方形。例1.已知：如图，P是正方形ABCD内点，PADPDA15求证：

11、PBC是正三角形.【证明】：如下图做DGC使与ADP全等，可得PDG为等边,从而可得DGC9匕APDCGP,得出PC=AD=DC,和/DCG=/PCG=150所以/DCP=300,从而得出PBC是正三角形例2.如图，分别以ABC的AC和BC为一边，在ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中占I八、求证：点P到边AB的距离等于AB的一半.【证明】：过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG,CI,FH。由EGAAAIC,可得EG=AI,由BFHCBI,可得FH=BI从而可得PQ=AI+BI2AB2从而得证。例4.如图，四边形ABCD为正方形，DE/AC,AEAC,AE与CD相交

12、于F.求证：CECF.【证明】：顺时针旋转ADE,到ABG,连接CG.由于/ABG=/ADE=900+450=1350从而可得B,G,D在一条直线上，可得AGBCGBo推出AE=AG=AC=GC,可得AGC为等边三角形。/AGB=30°,既得/EAC=300,从而可得/AEC=750。又/EFC=/DFA=450+300=750.可证：CE=CFo例6.设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PFAP,CF平分DCE.求证：PAPF.【证明】：作FG±CD,FE±BE,可以得出GFEC为正方形。令AB=Y,BP=X,CE=Z,可彳PPC=Y-X。XZ一ctan/B

13、AP=tan/EPF=一=,可得YZ=XY-X2+XZ,YY-X+Z即Z(Y-X)=X(Y-X),既得X=Z,得出ABPPEF,得到PA=PF,得证例7.已义：P是边长为1的止直“。之【嘲】：顺时.1/BpC600既得pa+pb+PC=ap+PE+ef要!要AP,PE,EF在一条直线上，即如下图：可得最小pa+pb+pc=af。既得AF1+(*+1)2=,42'一匚U+273*ABCD内的一点，求PAPBPC的最小aD可得PBE为等边三角形。，只|/1Be"C2+V3='2j2E=呼了=今晶1)厩+应=。2例8.P为正方形ABCD内的一点，并且PAa,PB2【证明】顺

14、时针旋转ABP900,可得如下图：既得正方形边长L=1(2-AF匕，PC3a,求正方形的边长.+乌)2+(1)2甲=)5+2/293oAD【双基训练】'、1.如图，四边形ABCD是正方形，对角线/BD相交于O,四边形BEFD是菱形，若B*C正方形的边长为6,则菱形的面积为2 .如图，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC?恰是一个菱形，？则EAB=.【纵向应用】3 .如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G,E分别是边AB,中点，AEF90,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.A'PAC',wMBCJ*bc的V(1)证明：BAEFEC；(2)证明：AGE

15、ECF；(3)求AEF的面积.【横向拓展】4.如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM.求证：AMBENB；当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由;当AMBMCM的最小值为J31时，求正方形的边长.【练习题答案】1 .362 .【解析】连结BD交AC于点O,彳EM±AC于点M.设正方形边长为a,贝IAC=BD=AE=2a又AC/BF,BCLAC,EMLAC,BC=EM=1BD=a.2 2在RtAAEM中，AE=V2a,EM=2-a./CA

16、E=30.则/EAB=15.3 .(1)证明：./AEF=90o,/FEG/AEE=90o.在RtAABE中，/AEE+ZBAE=90o,./BAE=ZFEC(2)证明：:G,E分别是正方形ABCD勺边ABBC的中点,AG=GB=BE=EC/AG=180°45°=135°.又CF是/DCH勺平分线，/ECF=90o+45o=135o.在AGEF口ECF中，.AGPECF(3)解：由4AG降ECF彳AAE=EF又AEF=90o,.AEF是等腰直角三角形.1.5由AB=aBE=-a,知AE=一a,Sae=a.84.【解析】：ABE是等边三角形， .BA=BE,/ABE=60°. /MBN=60°, ./MBN-/ABN=/ABE-/ABN.即/BMA=/NBE.又MB=NB,.AM整ENB(SAS).5分当M点落在BD的中点时，AM+CM勺值最小如图，连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小.理由如下：连接MN.由知，AM阴ENB .AM=EN. /MB