初中数学几何图形综合题

1、精品初中数学几何图形综合题必胜中学2018-0学3015:15:15题型专项几何图形综合题，计题型概述【题型特征】以几何知识为主体的综合题，简称几何综合题，主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系，以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心，以圆为重点，常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用.【解题策略】解答几何综合题应注意：(1)注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等.【小结】几何

2、计算型综合问题，是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决.【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是，在近年各地的中考试题中，几何论证型综合题的难度普遍下降，出现了一大批探索性试题，根据新课标的要求，减少几何中推理论证的难度，加强探索性训练，将成为几何论证型综合题命题的新趋势.为了复习

3、方便，我们将几何综合题分为：以三角形为背景的综合题；以四边形为背景的综合题；以圆为背景的综合题.加真题精讲类型1操作探究题1.在RtMBC中，/C=90°,RtMBC绕点A顺时针旋转到RtAADE的位置,点E在斜边AB上，连接BD,过点D作DFXAC于点F.如图1,若点F与点A重合，求证：AC=BC;若/DAF=/DBA.如图2,当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；当点F在线段CA上时，设BE=x,请用含x的代数式表示线段AF.解：（1）证明：由旋转得，/BAC=/BAD,VDFXAC, .zCAD=90 .zBAC=/BAD=45°

4、.&CB=90°, .&BC=45°.AC=BC.(2)AF=BE.理由：由旋转得AD=AB,.BD=/ADB.RAF=ZABD,.zDAF=/ADB.AF/BD.zBAC=/ABD.zABD=/FAD,由旋转得/BAC=/BAD.zFAD=/BAC=/BAD=1/3X180°=60°.由旋转得，AB=AD.ABD是等边三角形.AD=BD.在AFD和9ED中：1./F=./BED=90°2.AD=BD;3./FAD=/EBD,AFDBED(AAS),.AF=BE.如图由旋转得/BAC=/BAD.v&BD=/FAD=/BA

5、C+/BAD=2/BAD,由旋转得AD=AB,&BD=/ADB=2/BAD.v/BAD+/ABD+ZADB=180°,丁./BAD+2/BAD+2/BAD=180./BAD=36°.设BD=a,作BG平分/ABD,丁./BAD=/GBD=36.AG=BG=BD=a.DG=ADAG=ADBG=ADBD.zBDG=/ADB,.ZBDGszADB.BD/AD=DG/DB.BD/AD=（ADBD）/BD.AD/BD=（1+根号5）/2。/FAD=/EBD,/AFD=/BED,.zAFDs/BED.BD/AD=BE/AF.AF=BD/ADBE=（1+根号5）/2*x.2.如图

6、1,点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG,OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.卸£图二(1)求证：DEXAG;(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转a角(0°<a<360)得到正方形OEFG',如图2.在旋转过程中，当/OAG是直角时，求a的度数；若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中，求AF长的最大值和此时a的度数，直接写出结果不必说明理由.解：(1)证明：延长ED交AG于点H, 点O是正方形ABCD两对角线的交点， .OA=OD,OAXOD.在zAO

7、G和GOE中，1.OA=OD;2.ZAOG=/DOE=90°3.OG=OE .ZAOGBOE.a/AGO=/DEO.vzAGO+/GAO=90°,.zGAO+/DEO=90°.zAHE=90°,即DELAG.(2)在旋转过程中，/OAG成为直角有两种情况：(I)a由0°增大到90°过程中,当/OAG'=90°时,.OA=OD=1/2*OG=1/2*OG.在RtSAG中，sinZAG'O=OA/OG'=1/2.&GO=30vQAXOD,OAXAG；OD/AG.zDOG'=/AGO=30&

8、#176;,即a=30°.(H)a由90°增大到180°过程中,当/OAG'=90°时,同理可求/BOG'=30°,.a=180°30=150°.综上所述，当/。人6'=90°时，a=30°或150°.AF的最大值为2分子根号2+2,止匕时a=315°.提示：如图当旋转到A,O,F在一条直线上时，AF的长最大，.正方形ABCD的边长为1,.OA=OD=OC=OB=2分子根号2.QG=2QD,.OG'=OG=.QFJ2.AF'=AO+OF'

9、=2分子根号2+2zCOE'=45°,.此时a=315°.3.如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=3,M是边CD上一点，将4ADM沿直线AM对折，得到4ANM.当AN平分/MAB时，求DM的长；连接BN,当DM=1时，求zABN的面积；当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值.解：（1）由折叠可知ANM0/ADM,JMAN=/DAM.AN平分/MAB,JMAN=/NAB.zDAM=/MAN=/NAB. 四边形ABCD是矩形， ./DAB=90.azDAM=30°.DM=ADtan/DAM=3M分子根号3=根号3。如图1,延长MN交AB延长线于点Q.丁

10、四边形ABCD是矩形，.AB/DC. ./DMA=/MAQ.由折叠可知ANMzADM./DMA=/AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1.JMAQ=/AMQ.MIQ=AQ.设NQ=x,则AQ=MQ=1+x.在RtzANQ中，AQ2=AN平方+NQ平方，.,（x+1）平方=3的平方+x的平方.解得x=4.NQ=4,AQ=5.AB=4,AQ=5,.SANAB=4/5*S,ANAQ=4/51/2ANNQ=24/5.（3）如图2,过点A作AHBF于点H,则AABHs/BFC,EH/AH=CF/BC.AH系N=3,AB=4,当点N,H重合（即AH=AN）时，DF最大.（AH最大，BH最小，CF最小,DF

11、最大）此时M,F重合，B,N,M三点共线，ABHzBFC（如图3）,/.CF=BH=JaB-AH-=>/42-3-=DF的最大值为4根号7有下FC0内两tij井图工图工类型2动态探究题4.(2016自贡)已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处.邮圉2如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接AP,OP,OA.若4CP与4PDA的面积比为1：4,求边CD的长；如图2,在(1)的条件下，擦去折痕AO,线段OP,连接BP.动点M在线段AP上(点M与点P,A不重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM,连接MN交PB于点F,作MELBP于点E.试问

12、当动点M,N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律.若不变，求出线段EF的长度.解：(1).四边形ABCD是矩形，./C=/D=90°. zAPD+/DAP=90°.v由折叠可得/APO=/B=90°,zAPD+ZCPO=90.zCPO=/DAP.又./Dm/C,.zOCPs/PDA.zOCP与APDA的面积比为1：4,设OP=x，则CO=8x.在RtCO中，/C=90°,由勾股定理得手=(g-疗+举,解得x=5.AB=AP=2OP=10.CD=10.过点M作MQ/AN,交PB于点Q.AP=AB,MQ/AN, .zAPB=ZAB

13、P=/MQP.MP=MQ.BN=PM,BN=QM.MP=MQ,ME±PQ,.EQ=0.5PQ.MQ/AN,.zQMF=/BNF.在融FQ和zNFB中，1./QFM=/NFB;2./QMF=/BNF;3.MQ=BN zMFQNFB(AAS).QF：BF=0.5QB. .EF=EQ+QF=0.5PQ+0.5QB=0.5PB.由(1)中的结论可得PC=4,BC=8,/C=90°,PB=7=4/，EF=24 .在(1)的条件下，当点M,N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2*根号5.5.如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴正半轴上，点B的坐

14、标是(5,2),点P是CB边上一动点(不与点C,B重合)，连接OP,AP,过点O作射线OE交AP的延长线于点E,交CB边于点M,且ZAOP=/COM,令CP=x,MP=y.当x为何值时，OPLAP?求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；在点P的运动过程中，是否存在x,使4OCM的面积与ZXABP的面积之和等于在MP的面积.若存在，请求x的值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意知OA=BC=5,AB=OC=2,/B=/OCM=90°,BC/OA.OPLAP,zOPC+/APB=/APB+/PAB=90°. .zOPC=/PAB. .zOPCs/PAB.CT_OCAnx

15、_1一，即AhPS25-x解得x1=4,x2=1(不合题意，舍去).当x=4时，OPLAP.(2).BC/OA,./CPO=/AOP.v&OP=/COM,.J3OM=/CPO.zOCM=/PCO,HCMs足CO.CM_CO曰产一？一2.,-j艮I：COCP2X.y=x4/x(2<x<5)(3)存在x符合题意.过点E作EDXOA于点D,交MP于点F,则DF=AB=2.vzOCM与BP面积之和等于AEMP的面积，.SzTOA=S矩形OABC=2X5=1/25ED.ED=4,EF=2.PM/OA,.ZEMPszEOA.EF.MP日工解得y=5/2.，由BL士，得又一生4工x2解得

16、力=立落?比二三蚂不合题意舍去).44，在点P的运动过程中，存在工;让咨，ftAOCM与面积之和等于£入的面积.6.如图1,矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD=8,AB=6.如图2,矩形ABCD沿。B方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达点C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒.,rItIH闻工当t=5时，请直接写出点D,点P的坐标；(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出APBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；(3)点

17、P在线段AB或线段BC上运动时，作PEIx轴，垂足为点E,当zTEO与zBCD相似时，求出相应的t值.解：(1)D(4,3),P(12,8).当点P在边AB上时，BP=6t.S=0.5BPAD=0.5(6t)8=4t+24.当点P在边BC上时，BP=t6.S=0.5BPAB=0.5(t-6)6=3t18.卜4t+24(OStWb)、JgI''Pl-IS.(3八0一*为，当点F在边AB上时，P(-1c-3,|i).卜穿孽，含沁得it=20时，点P不在边AB上，不合题意.当点P在边BC上时，P(-14+g，|t+6).当野普与解得t=6若窘热寸?解得t=14-?14"?，

18、等寸，点P不在边BC上不合题意'.当6时，APEO与BCD相似”类型3类比探究题7.如图1,在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE,PE交CD于点F.(1)求证：PC=PE;求/CPE的度数；(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变，当/ABC=120°时，连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由.图图解：(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC,/ABP=/CBP=45°,在aBP和3BP中，1.AB=BC;2.PB=PB;3.ZABP=/CBP.ZABPzCBP(SAS),.PA=PC

19、.又.PA=PE,.PC：PE.(2)由(1)知，AABPzCBP,zBAP=ZBCP.azDAP=/DCP.PA=PE,.zDAP=ZE.zDCP=/E.zCFP=/EFD(对顶角相等)，.180-ZPFC-/PCF=180-ZDFE-ZE,即/CPF=/EDF=90°.(3)在菱形ABCD中，AB=BC,/ABP=/CBP=60°,在MBP和3BP中，1.AB=BC;2.PB=PB;3.ZABP=/CBP.ZABPzCBP(SAS).PA=PC,/BAP=/BCP.PA=PE,.PC=PE.zDAP=/DCP.PA=PE,./DAP=/AEP. .zDCP=/AEP.

20、zCFP=/EFD(对顶角相等)， .180-ZPFC-/PCF=180-ZDFE-/AEP,即/CPF=/EDF=180°ZADC=180°120=60°.z£PC是等边三角形.；PC=CE.AP=CE.8.已知AC,EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在BC内，/CAE+/CBE=90°.如图1,当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF.求证：CAEs/CBF;若BE=1,AE=2,求CE的长；(2)如图2,当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且AB/BC=EF/FC=k时，若BE=1,AE=2,CE=3,求k的值；(3

21、)如图3,当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且/DAB=/GEF=45°时，设BE=m,AE=n,CE=p,试探究m,n,p三者之间满足的等量关系.(直接写出结果，不必写出解答过程)仙图2I生解：（1）证明：二四边形ABCD和EFCG均为正方形, .zACB=45°,/ECF=45°.zACB/ECB=/ECF/ECB,即/ACE=/BCF. .WAEs£BF.£AEs£BF,.J3AE=/CBF,AE/BF=根号2.BF=根号2.又/CAE+/CBE=90°, zCBF+/CBE=90°,即/EBF=90

22、76;.1；CE:=2EF:=；(BE2+BF2)=6.解得CE=根号6.连接BF,.AB/BC=EF/FC=k,/CFE=/CBA, .zCFK£BA. .zECF=/ACB,CE/CF=AC/BC.zACE=ZBCF.aZACEs/BCF.；zCAE=/CBF.vzCAE+/CBE=90°,ZCBF+/CBE=90°,艮fl/EBF二卯"，,BC：AB:AC=1：Jc：,+1、CT：EF：EUI：k：乘+i正+iBCBfBP二巫二：田二吧11e叫之如P+EF)本+15+1k'k:/解得k=乎而房寸十圆P.题型2与圆有关的几何综合题9.(201

23、6成者B)如图，在RtAABC中，/ABC=90°,以CB为半径作。C,交AC于点D,交AC的延长线于点E,连接ED,BE.(1)求证：AABDs/AEB;(2)当BC(AB)=3(4)时,求tanE;(3)在(2)的条件下，作/BAC的平分线，与BE交于点F,若AF=2,求。C的半径.解：（1）证明：vZABC=90°,./ABD=90°/DBC.DE是直径， .zDBE=90°. .zE=90°/BDE.BC=CD,.zDBC=/BDE. .zABD=/E.zBAD=/DAB,.zABDs/AEB.AB:BC=4：3，设AB=4k、SC=3

24、fc-；AC=>/aB:+BC-=5i/BC=CD=3k，A13=AC-CD=2kd.'AASDcoAAEB，,4二心二巴.AB2二ADAE.©以二2k-AEUAE=SkALABBL在RSBE申tatE=KBEALSk2C试点F作FM1AE干点M由（2族口，AB=4kBC=3k,AD=3k，AC=5h则AE=gk，DE=6kYAF钻/BAC，,Sa3fBFABSj,a?eEFAEEF 8k 2，BE=当&二 EF._BF_4k_l/rfl|tE_l；.比二绯rE=Mf=4EI-5-MF=-k.7oi£=-，/.ME=2MF=口2感谢下载载+J,4=?十

25、k=4-'-0C的半径为3k=*b0BC及EF于10.如图，在RtABC中，/ABC=90°,AC的垂直平分线分别与AC,AB的延长线相交于点D,E,F.OO是zBEF的外接圆，/EBF的平分线交点G,交。于点H,连接BD,FH.试判断BD与。O的位置关系，并说明理由；当AB=BE=1时，求。O的面积；在(2)的条件下，求HGHB的值.解：(1)直线BD与。O相切.理由：连接OB.,.BD是RtMBC斜边上的中线，.DB=DC. .zDBC=/C.OB=OE, .zOBE=/OEB.又.zOEB=/CED,.zOBE=/CED. DFXAC,.zCDE=90°. z

26、C+/CED=90°. zDBC+/OBE=90°.BD与。O相切.连接AE.在RtABE中，AB=BE=1,.AE=根号2.DF垂直平分AC,；CE=AE=®#2.BC=1+根号2.zC+/CAB=90°,/DFA+/CAB=90°,.CB=/DFA.又/CBA=/FBE=90°,AB=BE,.,.zCABFEB.二BF=BC=l+m，EF=BF+BF占P+a+4+2.,°EF、._2+S.S£o=工&=(3)AB=BE,/ABE=90°, .&EB=45°.EA=EC,.&#

27、163;=22.5°.H=/BEG=/CED=90°22.5=67.5二.BH平分/CBF, .zEBG=/HBF=45°. .zBGE=/BFH=67.5°.",BG=BE=1iBH=BF=14-2.，GH=BH-6G二隹/.HB-HG-aX(L+->+.11.如图，在AACE中，CA=CE,/CAE=30°,。经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.试说明CE是。O的切线；若CE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示。O的直径AB;设点D是线段AC上任意一点(不含端点),连接OD,当1/2CD+OD的最小值为6时，求。O的直

28、径AB的长.解：（1）证明：连接OC.CA=CE,/CAE=30°,.zE=/CAE=30°,/COE=2ZA=60°.zOCE=90°.CE是。O的切线.过点C作CH1AE于点H，由题可用CH=h在五SAOHC申'CH=OC仪世/COH，/.h=OC J.OC=%=源.；,AB=20C=h3B*OP平分/AOC，交。于点F，连接AF-CFDF则/A0F=/COF=1N&OC=LxI和，-iO4尸EO"22；OA=OF=OC，:GACiFZkCOF是等边三角形.二AF=AO=OC=FC.，四边形AOCF是黄形.，,相据对称性可得

29、DF=OO一过点D作DM1OC干点M，'.'OA=OC，J20Ca=10AC=30L.DM二DC一片/DCM二DC4周30二版，"+OD=DM：FD<£Jr根倨两点之间线段最近可福由FDM三克共豉时81+0即为1>+。口最小，11耐然SNF网二舐=6，则5=46，RE=£Q尸=5由若"十。的最小值为由时，的直径AB的长为812.如图，已知AB是。O的直径，BP是。O的弦，弦CDXAB于点F,交BP于点G,E在CD的反向延长线上，EP=EG,(1)求证：直线EP为。O的切线；点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BFBO.试证明BG=PG;(3)在满足(2)的条件下，已知。O的半径为3,sinB=根号3/3.求弦CD的长.解：(1)证明：连接OP.EP=EG,zEGP=/EGP.又=zEGP=/BGF, .zEPG=/BGF.OP=OB,zOPB=ZOBP.CD±AB,.zBGF+/OBP=90°.zEPG+/OPB=90°,即/EPO=90：.直线EP为。O的切线.(2)证明：连接OG,AP.BG2=BFBO,EG/BO=BF/BG又.zG