高数第3章 微分中值定理与导数的应用ppt课件

1、第三章第三章 微分中值定理微分中值定理与导数的应用与导数的应用 微分中值定理的核心是拉格朗日微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。是它的特例，柯西定理是它的推广。1. 1. 预备定理预备定理费马费马(Fermat)(Fermat)定理定理. 0)( )( ),( )( 000 xfxxfxbaxf可导，则可导，则在点在点且且取得最值，取得最值，内一点内一点在在若函数若函数 费马费马Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何

2、。因提出费马大、小定理而著名于世。同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。第一节第一节 微分中值定理微分中值定理xyo)(xfy 1 2 几何解释几何解释: :.0位位于于水水平平位位置置的的那那一一点点续续滑滑动动时时，就就必必然然经经过过，当当切切线线沿沿曲曲线线连连率率为为显显然然有有水水平平切切线线，其其斜斜曲曲线线在在最最高高点点和和最最低低点点证明证明:达达到到最最大大值值证证明明。在在只只就就0)(xxf),()(,),()(0000 xfxxfbaxxxxf 就就有有内内在在达达到到最最大大值值，所所以以只只要要在在由由于于, 0)()( 00 xfxxf即即;0, 0

3、 )()( 00时时当当从从而而 xxxfxxf;0, 0 )()(00时时当当 xxxfxxf0 )()( lim0)(000 x0 xxfxxfxf这这样样. 0 )()( lim0)(000 x0 xxfxxfxf.0)(0 xf所所以以可导，可导，在点在点而而0)(xxf几何解释几何解释: :2. 2. 罗尔罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理xO yC aby=f(x)AB 如果连续光滑的曲线如果连续光滑的曲线 y=f(x) 在端点在端点 A、B 处处的纵坐标相等。那么，的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点在曲线弧上至少有一点 C(x , f(x)，曲线在，曲线在 C点点的切

4、线平行于的切线平行于 x 轴。轴。如果函数yf(x)满足条件：(1)在闭区间a, b上连续，(2)在开区间(a, b)内可导，(3) f(a)f(b)，则至少存在一点x(a, b)，使得f (x) 0。证证.)1(mM 若若,)(连连续续在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 则则. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使，则则由费马引理由费马引理,.0)( f注意：注意： 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的

5、结如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。论就可能不成立。 f(x)不满足条件不满足条件(1)BxO yAab f(x)不满足条件(3)xO yABab f(x)不满足条件(2)xO yABabc在在, 0 上上连连续续, ,), 0( 内内可可导导, , 且且0)()0( ff, , 例例1 1验证验证，xxfsin)( ，xxfcos)( ，0)2( f. ), 0(2 例2 不求导数，判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几个零点，以及其所在范围。 解 f(1)=f(2)=f(3)=0，f(x)在1, 2，2, 3上满足罗尔定理的三个条件。 在 (1,

6、 2) 内至少存在一点 x1，使 f (x1)=0，x1是 f (x)的一个零点。 在(2, 3)内至少存在一点 x2，使f (x2)=0，x2也是f (x)的一个零点。 f (x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1, 2)及(2, 3)内。可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。 如果函数f(x)满足：(1)在闭区间a, b上连续，(2)在开区间(a, b)内可导，则至少存在一点x(a, b)内，使得几何意义：几何意义： C2h xO yABaby=f(x)C1 得得到到将将罗罗尔尔定定理理条条件件中中去去掉掉),()(bfaf 3. 3.

7、 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理.,ABCAB行于弦行于弦该点处的切线平该点处的切线平在在至少有一点至少有一点上上在曲线弧在曲线弧.)()()(abafbff 证明证明容容易易验验证证, ,)(xF满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件, , 于于是是 ba, , ,使使 即即 abafbff )()()( . . 作辅助函数作辅助函数 ，)()()()()(axabafbfxfxF ，0)()()()( abafbffF 例例3 3，xxf1)( ，1e11e)1() e ( ff，e), 1(1e .1e)1() e ()( fff 使使xxfln)

8、( , ,在在e, 1 上上满满足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的条条件件, , ).10()()()(000 xxxfxfxxf).10()(0 xxxfy拉格朗日中值公式又称有限增量公式拉格朗日中值公式又称有限增量公式.，)()()(abfafbf 之之间间和和介介于于ba 或或)()()(ababafafbf ,10 , 特别地特别地,或或.的的精精确确表表达达式式增增量量 y 拉格朗日中值公式另外的表达方式：拉格朗日中值公式另外的表达方式：如如果果在在),(ba内内恒恒有有0)( xf, ,则则)(xf在在),(ba内内为为一一常常数数. . 推论推论1 1),(, ),(2121xxx

9、xba 内内任任取取两两点点在在)( )()()(211212xxxxfxfxf 则则，0)()(, 0)(12 xfxff . )()(12xfxf 即即由由21,xx的的任任意意性性可可知知, , )(xf常常数数, ,),(bax . . 证明证明在在,21xx上上对对)(xf使使用用拉拉格格朗朗日日定定理理, , 如如果果)(xf和和)(xg在在),(ba内内可可导导, ,且且在在),(ba内内恒恒有有)()(xgxf , ,则则在在),(ba内内)(xf和和)(xg最最多多相相差差一一个个常常数数. . 由由推推论论1 1 即即得得结结论论. . 作作辅辅助助函函数数 )()()(x

10、gxfxF , , 则则 0)()()( xgxfxF, , 推论推论2 2证明证明而而 2)0( f, , 故故 2)( xf, , 1 , 1 x. . 证证明明恒恒等等式式 2arccosarcsin xx, , 1 , 1 x 设设 xxxfarccosarcsin)( , , 1 , 1 x 01111)(22 xxxf, , 1 , 1 x Cxf )( , 1 , 1 x 且且 2)1()1( ff, , 类类似似可可得得：2cotarcarctan xx, ,Rx . . 例例4 4证证由推论由推论1知知,证证明明：aababb1lnln1 , ba 0 令令 xxfln)(

11、, ,在在),(ba上上利利用用拉拉格格朗朗日日定定理理, , 例例5 5利用拉格朗日定理可证明不等式利用拉格朗日定理可证明不等式. . 证证，ababf lnln1)( ,ba ,111ab .1lnln1aababb 即即得得例例6 6.)1ln(1,0 xxxxx 时时证证明明当当证证, 0)(条条件件上上满满足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的在在xtf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1 xxxx 即即得得),1ln()(ttf 设设不不妨妨设设yx

12、 , ,令令ttfsin)( , , 在在,yx上上利利用用拉拉格格朗朗日日定定理理： 而而 1cos , , 故故 yxyx sinsin. . 特特别别, ,令令0 y，得得 xx sin. . ),(yx , ,使使 )(cossinsinyxyx , , 例例7 7证证类似可证：类似可证： ，yxyx arctanarctanRyx ,，yxyx sinsinRyx ,特别，特别，xx sinRx 4. 4. 柯西柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理 设函数f(x)及g(x)满足条件： (1)在闭区间a, b上连续， (2)在开区间(a, b)内可导， (3)在(a,

13、b)内任何一点处g(x)均不为零，则至少存在一点x(a，b)内，使得)()()()()()( gfagbgafbf 如果取g(x)x，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.说明：说明：xO yAB f(b) f(a)g(a)g(b)C1g(x)C2g(h)柯西中值定理的几何意义：柯西中值定理的几何意义：由参数方程确定的函数的导数为由参数方程确定的函数的导数为直线直线AB的斜率为的斜率为曲线在点曲线在点C1和和C2的的斜率为斜率为.)()(ddddddtgtftxtyxy ,)()()()(agbgafbfk .)()(kgf 设设曲曲线线AB是是由由参参数数方方程程 )()(tfytgx

14、)(bta 所所确确定定的的. 证明证明 易知 F(x) 在 a, b 上满足罗尔定理的全部条件，因而，至少存在一点 x (a, b)，使首首先先可可以以断断定定)()(bgag , , 否否则则, ,若若 )()(bgag , , 由由罗罗尔尔定定理理, , ba, , ,使使0)( g, ,矛矛盾盾. . 作辅助函数作辅助函数 ，)()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF 所所以以 )()()()()()( gfagbgafbf . ，0)()()()()()()( gagbgafbffF而而 0)( g, 练习：练习：P132 习题习题3-1 6. 改为改为

15、: 2cotarcarctan xx, ,Rx . . 7. 9. 11.(2)改为改为: xx 1e ( (0 x) ). . 证证明明 xx 1e ( (0 x) ). . 设设ttfe)( , ,则则ttfe)( , , 当当0 x时时, ,在在, 0 x上上对对)(tf应应用用拉拉格格朗朗日日定定理理: : x, 0 , ,使使xxfxfx )0(e1e)0()( , ,得得证证. . 当当0 x时时, , 在在0 ,x上上对对)(tf应应用用拉拉格格朗朗日日定定理理: : 0 , x , ,使使xxxffx )0(ee1)()0( , ,得得证证. . 证证第二节第二节 洛必达法则洛

16、必达法则 在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为未定式，记为洛必达法则是求函数极限的一种重要方法洛必达法则是求函数极限的一种重要方法. . ( (1 1) )0)(lim)(lim xgxfaxax； (2)(2)0)( xg； 则则 Axgxfax )()(lim( (或或 ) ). .( (证证略略) ) ( (3 3) )Axgxfax )()(lim( (或或 ) ), , ，00. 00定定理理( (洛洛必必达达法法则则) ) 设设函函数数)(xf和和)(xg在在点点ax 的的某某去去心心邻邻域域内内有有定定义义且且可可

17、导导, ,且且满满足足下下列列条条件件： )()(lim)()(limxgxfxgxfaxax 1 1. .ax 可可改改为为 x； 2 2. . )(lim)(limxgxfaxax时时洛洛必必达达法法则则仍仍成成立立； 3 3. .若若不不是是 “00” 或或 “ ” 未未定定式式, ,不不能能使使用用洛洛必必达达法法则则； 4 4. .洛洛必必达达法法则则可可多多次次使使用用； 5 5. .当当)()(limxgxf 不不存存在在时时, ,且且不不是是 , ,不不能能说说)()(limxgxf不不存存在在, ,只只能能说说此此时时使使用用洛洛必必达达法法则则失失败败, ,需需另另想想它它

18、法法. . 说明：说明： 例例1 1xxx1)1(lim0 1)1(lim10 xx. 例例2 2123lim2331 xxxxxx12333lim221 xxxx266lim1 xxx.23 )00()00(用洛必达法则求极限例题。用洛必达法则求极限例题。)00(例例3 3xxx1sinarctan2lim 22111limxxx 221limxxx . 1 )00(xxx1arctan2lim 等价无穷等价无穷小替换小替换例例4 4)( 注注: :0lnlim xxx, ,0 . . xxxlnlim xxx211lim xx2lim .0 注注: : xxxelim, ,0 . . 例例

19、5 55elimxxx )( 45elimxxx ! 5elimxx . 例例6 6xxx3tantanlim2 xxx3sec3seclim222 xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxxxxxsin3sinlimcos3coslim22 .3 )( 或解：或解：xxx3tantanlim2 xxxxxxcos3coslim3sinsinlim22 xxxsin3sin3lim2 .3 及时及时分离分离非零非零因子因子 xxxsin3sin3lim2 例例7 7xxxx10)1(elim ，xxy1)1( ，xxy)1ln(ln .

20、)1ln(12xxxxyy )1()1ln()1()1(lim210 xxxxxxxx 2010)1ln()1(lim1)1(limxxxxxxxxx xxx2)1ln(lime0 .2e )00(例例8 8解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原原式式. 1 .)1ln(1coslim20 xxxx 求求例例9 9不能使用洛必达法则。不能使用洛必达法则。xxxxxx1coslim)1ln(lim00 原式原式.001 解解型型未未定定式式解解法法00,1,0,0

21、例例1010)0( 关键关键: :将其它类型未定式化为将其它类型未定式化为 或或 型未型未定式。定式。00 型型） 0 1 步骤步骤:,10 .0100 或或xxxlnlim0 ( (0 ) ) xxxlnlim0101lim xxx xx0lim1 .0 例例1111)( 0101 .0000 型型） 2步骤步骤: xxx1)1ln(1lim0)1ln()1ln(lim0 xxxxx 20)1ln(limxxxx xxx2111lim0 .21)1(21lim0 xx)00(步骤步骤:型型00,1,0)3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 例例1212)0(00e . 1 xxx

22、tan0lim xxxlntanlim0e xxx20sinlime xxxlntan0elim 对数恒等式对数恒等式xxlne xxxcotlnlim0e 例例1313xxx 111lim)1( xxxln111elim xxx 1lnlim1e11 lim1e xx.e1 或解或解( (重要极限法重要极限法) )： xxx 111lim xxx 111)1(1lim.e1 例例1414.)(cotlimln10 xxx )(0 ,ln)ln(cotln xxy 取取对对数数得得xxxln)ln(cotlim0 xxxx1csccot1lim20 xxxxsincoslim0 ,1 .e1

23、原式原式,)(cotln1xxy 令令解解第三节第三节 泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)公式公式1 1. .设设)(xf在在0 x处处连连续续, ,则则有有2 2. .设设)(xf在在0 x处处可可导导, ,则则有有例例如如, , 当当x很很小小时时, , xex 1 , , xx )1ln( )()(0 xfxf )()()()(0000 xxoxxxfxfxf )()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf 缺乏缺乏:问题问题:寻寻找找多多项项式式)(xP, ,使使得得)()(xPxf 误误差差 )()()(xPxfxR 可可估估计计1、精确度不高；、精确度不高； 2、

24、误差不能估计。、误差不能估计。设设函函数数)(xf在在含含有有0 x的的开开区区间间),(ba内内具具有有直直到到)1( n阶阶导导数数, ,)(xP为为多多项项式式函函数数nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 误误差差 )()()(xPxfxRnn nP和和nR的的确确定定 0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在 点相交点相交0 x),(00 xfa 代代入入)(xPn中中得得nnnxxn

25、xfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn nkxfxPkkn, 2 , 1 , 0)()(0)(0)( 假假设设nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 N 阶接触阶接触泰泰勒勒( (T Ta ay yl lo or r) )中中值值定定理理 如如果果函函数数)(xf在在含含有有0 x的的某某个个开开区区间间),(ba内内具具有有直直到到)1( n阶阶的的导导数数, ,则则当当x在在),(ba内内时

26、时, ,有有 问问题题：)(xPn与与)(xf在在0 x附附近近的的偏偏差差如如何何估估计计？ ，其其中中10)1()()!1()()( nnnxxnfxR .0之之间间和和在在xx 拉格朗日型余项拉格朗日型余项)()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 证明证明: : 由由假假设设, ,)(xRn在在),(ba内内具具有有直直到到)1( n阶阶导导数数, ,且且对对两两函函数数)(xRn及及10)( nxx在在以以0 x及及 x 为为端端点点的的区区间间上上应应用用柯柯西西中中值值定定理理, ,得得 )()(1()(01011之

27、间之间与与在在xxxnRnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn如如此此下下去去, ,经经过过)1( n次次后后, ,得得 再再对对两函数两函数)(xRn 及及nxxn)(1(0 在以在以 0 x及及 1 为端点的区间上为端点的区间上应用应用柯西中值定理柯西中值定理, ,得得 0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR ( (之间之间与与在在nx 0, ,因因而而也也在在0 x与与x之之间间) ) )()(1()(1021022之之间间与与在在 xxnnRnn !1)()()(

28、)1(10 nRxxxRnnnn )()(1()()()(0101110之之间间与与在在xxxnRxxxRnnnn nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()( 称称为为)(xf按按)(0 xx 的的幂幂展展开开的的带带有有拉拉格格朗朗日日余余项项的的 n 阶阶泰泰勒勒公公式式. . )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 则由上式得则由上式得 , 0)()1( xPnn)()()1()1(xfxRnnn )()()(xRxPxfnn !1)()()()1(10 nRxxxRnnnn 说明说明: :1 1. . 当当0 n时时, ,泰泰勒勒公公式式变

29、变成成拉拉格格朗朗日日中中值值公公式式 )()()()(000之之间间与与在在xxxxfxfxf 2.2.若在若在0 x附近附近)()1(xfn 有界有界, ,即存在常数即存在常数0 M, ,使使Mxfn )()1(, , 则则 于于是是 0)()(lim00 nnxxxxxR, , 即即当当0 xx时时)(xRn是是比比nxx)(0 高高阶阶的的无无穷穷小小, , 记记)()(0nnxxoxR 称称为为皮皮亚亚诺诺余余项项. . 10)1()(!1)()( nnnxxnfxR ，10!1 nxxnM)(!) 0(! 2) 0() 0() 0()()(2nnnxoxnfxfxffxf 麦克劳林

30、麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式,0, . 30 x取取特特别别此时泰勒公式称为麦克劳林公式此时泰勒公式称为麦克劳林公式. 在在 0 0 与与x之之间间, ,可可写写为为x ) 10( , ,于于是是余余项项为为 )10()!1()()(1)1( nnnxnxfxR)10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf拉格朗日型余项拉格朗日型余项皮亚诺型余项皮亚诺型余项例例 1 1 推推导导xxfe)( 的的n阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式 . . 解解,e)()(xkxf nkfk, 2 , 1 , 0 ,1)0

31、()( ).10()!1(e! 21e12 nxnxxnnxxx近似公式近似公式，! 21e2nxxxnx 误差误差.)!1(e)!1(e)(11 nxnxnxnxnxR ,!1! 2111e, 1 ,nx 取取例例如如.)!1(3 n其误差其误差)!1(e nRn0)0()2( mf, ,mmf)1()0()12( , , 其其中中 32)!32(sin nxnR , , 例例如如, ,Rxxxx 53! 51! 31sin, ,7! 71xR . . 例例2 2 推推导导xxfsin)( 的的n阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式 . . 解解，)2sin()(sin)( kxxk, )2sin(

32、)0()( kfk Rxnxxxxnn 1253)!12(1) 1(! 51! 31sin，32)!32(1 nxnRxysin xy xy xysin ! 33xxy xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy xysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(

33、32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!) 1() 1(! 2) 1(1)1(2nnxoxnnxxx )(! 21e2nnxxonxxx 解解, 5)1( f的的幂幂的的多多项项式式。化化为为含含将将例例)1(2531)( 332 xxxxxf,13)1( f,22)1( f,12)1( f32)1(!3)1( )1(!2)1()1)(1()1()( xfxfxffxf.)1(2)1(11)1(13532 xxx例例4 4 求求函函数数xxfln)( 按按)2( x的的幂幂展展开开的的带带皮皮亚亚诺诺型型余余项项的的n阶阶泰泰勒勒公公式式. . 解解x

34、xfln)( )2(2ln x221ln2ln x)(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx .)2(2)2() 1( 23)2(22)2(222ln13322nnnnxonxxxx 例例 5 5 计计算算 403cos2elim2xxxx . . 解解)(! 211e4422xoxxx )(! 4! 21cos542xoxxx ，)()! 412! 21(3cos2e442xoxxx .127)(127lim4440 xxoxx原式原式利用泰勒展开式求极限利用泰勒展开式求极限例例6 6.)11ln(lim 2xxxx 求求极极限限解解)1(3121limxoxx 原原式式)1

35、(31211)11ln(332xoxxxx )1(3121)11ln(2xoxxxx .21 练习：练习：P143 习题习题3-31. 3. 5. 7. 10. 第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法一、函数单调性的判定法函数的单调性与导数符号的关系函数的单调性与导数符号的关系观察与思考：观察与思考：函数单调增加函数单调增加函数单调减少函数单调减少 函数的单调性与导数的符号有什么关系？函数的单调性与导数的符号有什么关系？0)( xf0)( xf 函数单调增加时导数大于零，函数单调减少时导数小于零。0)( xf0)( xf函数的单调性与导数符号的

36、关系函数的单调性与导数符号的关系观察结果：观察结果：函数单调减少函数单调减少函数单调增加函数单调增加xyo)(xfy xyo)(xfy 0)( xf0)( xf定理定理.),(,)(内内可可导导上上连连续续，在在在在设设函函数数babaxfy 上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在）（,)(0)(),(1 baxfyxfba .,)(0)(),()2( 上单调减少上单调减少在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在baxfyxfba 证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉格朗日定理应用拉格朗日定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012

37、 xx, 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf ；上上单单调调增增加加在在,)(baxfy , 0)(),( xfba内内，若若在在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 例例1 1解解.ln的的单单调调性性讨讨论论函函数数xy . 1e xy,)0 ,(内内在在 , 0 y函数单调减少；函数单调减少；,), 0(内内在在, 0 y.函函数数单单调调增增加加).,(:D定义域定义域又又例例2 2.1e的的单单调调性性讨讨论论函函数数 xyxxy1 ,0 .)(ln单单调调增增加加严严格格在在定定义义域域内内

38、所所以以xy 解解例例3 3解解.)(32的的单单调调性性确确定定函函数数xxf ).,(: D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时时，当当0 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 0 时，时，当当 x0, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在0 ,(32xy 例例4 4解解.31292)(23的的单单调调区区间间确确定定函函数数 xxxxf).,(: D12186)(2 xxxf，)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx时时，当当1 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在 1 ,(时时，当当21 x,

39、0)( xf上单调减少；上单调减少；在在2 , 1 时，时，当当 x2, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 2 例例4 4解解.31292)(23的的单单调调区区间间确确定定函函数数 xxxxf).,(: D12186)(2 xxxf，)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx也可用列表的方式，也可用列表的方式，x1,(2, 1 ), 2 y y.,)(内导数的符号内导数的符号然后判断区间然后判断区间的定义区间的定义区间数数分函分函用驻点及不可导点来划用驻点及不可导点来划xf导数等于零的点和不可导点，可能导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点

40、是单调区间的分界点方法方法: :注意注意: 区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区不影响区间的单调性间的单调性.例如例如,3xy .),(上严格单调增加上严格单调增加但在但在,032 xy y2O24224x y=x3 驻点驻点, 0)0( y例例5 5证证.)1ln(,0成成立立试试证证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则, 0)( ,), 0(,), 0)( xfxf且且上上可可导导在在上上连连续续在在上上单单调调增增加加；在在), 0 , 0)0( f而而时，时，当当0 x,0)( xf).1ln(xx 即即利用函数的单调性证明不等式利用函数的

41、单调性证明不等式，)0()(fxf . ) 10( ,11e 2 xxxx证证明明不不等等式式 , 10原原不不等等式式等等价价于于 x)1()e(1)( 2xxxfx 设设1)e2(1)( 2 xxxf.0,1)( 内内单单调调减减少少在在xf (0,1)0,)0()( xfxf.)(0,1 单单调调减减少少时时，当当xfx ,0(0)(0,1) fxfx时时，当当即原式成立。即原式成立。0e4)( 2 xxxf例例6 6证证 0)1()e(12 xxx有且只有一个实根。有且只有一个实根。证明方程证明方程0arctan4 xx ，设设xxxfarctan4)( .1)1( ,4)0( ff

42、.)(至少有一个零点至少有一个零点函数函数xf.)( 至多有一个零点至多有一个零点xf.)( 单单调调增增加加xf0111)(2 xxf又又由连续函数的零点存在定理知，由连续函数的零点存在定理知，有且只有一个实根。有且只有一个实根。0)( xf利用函数的单调性讨论方程的根。利用函数的单调性讨论方程的根。例例7 7证证小结小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和

43、证明不等式程实根的个数和证明不等式.问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?二、曲线的凹凸与拐点二、曲线的凹凸与拐点xyoNABM观察与思考：观察与思考：函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？ 定义一 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是凹的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸的。曲线凹向的定义曲线凹向的定义凹的凹的凸的凸的设设函函数数)(xf在在,ba上上连连续续，在在),(ba内内可可导导. . 若若对对),(ba中中任任一一点点0 x, ,有有 ,

44、 )()()()(000 xxxfxfxf , ),(bax 0 xx 则则称称函函数数曲曲线线在在,ba上上是是上上( (下下) )凹凹的的 曲线凹向的定义曲线凹向的定义凹的凹的凸的凸的xyo)(xfy 图形上任意弧段位于图形上任意弧段位于所张弦的上方：凸的所张弦的上方：凸的xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位于图形上任意弧段位于所张弦的下方：凹的所张弦的下方：凹的221xx 221xx )2(21xxf )2(21xxf 2)()(21xfxf 2)()(21xfxf 1x2x;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121内内的的图图形形是是凹凹的的在在那那末末称称恒恒有有两两点点内内任任意意如如果果对对内内连连续续在在设设baxfxfxfxxfxxbabaxf ;),()(,2)()()2(,),( 212121内内的的图图形形是是凸凸的的在在那那末末称称恒恒有有内内任任意意两两点点如如果果对对baxfxfxf